微振動基礎1引言往復運動是自然界中非常普遍的現(xiàn)象；振動是力學系統(tǒng)普遍的現(xiàn)象。微振動是系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡位置附近的微幅振動，通常是線性振動。線性系統(tǒng)是在動力學中可以解析求解的一大類系統(tǒng)。單自由度系統(tǒng)自由振動（無阻尼、有阻尼）單自由度系統(tǒng)強迫振動二自由度系統(tǒng)的振動多自由度系統(tǒng)的振動2φxxyABORCφ

O基本概念自由振動：強迫振動：激勵：響應：單自由度振動：多自由度振動：連續(xù)系統(tǒng)振動：3kcm單自由度振動4例1物塊B的質(zhì)量M、彈簧系數(shù)k，桿的質(zhì)量m、長度l；忽略摩擦力。建立微幅振動的微分方程。5代入拉格朗日方程可得：單自由度系統(tǒng)自由振動固有圓頻率固有頻率周期6km初始條件：單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由振動粘性阻尼（或線性阻尼）阻尼系數(shù)標準形式7kcm阻尼比：

=c/2mn=n/

n特征方程n=c/2m弱阻尼情況(

<1)特征方程根是兩個共軛復數(shù)。方程的通解為：初始條件：衰減周期：減幅系數(shù)：兩個鄰近振幅之間的比值。對數(shù)減幅系數(shù)：過阻尼(

>1)和臨界阻尼(

=1)情況9

>1時特征方程有兩個不同的實根，并且為負數(shù)。方程的通解為：

=1時特征方程有兩個相同的實根。方程的通解為：例210kcm如圖質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，在自由振動了10周后期振幅減為原來的50%。求其阻尼比。

=c/2mn=n/n單自由度系統(tǒng)的強迫振動主要討論簡諧激勵下的強迫振動問題。11kcm該方程的解＝齊次通解＋非齊次特解：稱為穩(wěn)態(tài)響應。與激勵頻率相同的簡諧振動。振幅與相位與初始條件無關。考慮非簡諧激勵如何？幅頻響應特性12定義振幅放大因子：稱為共振。無阻尼時，如果激勵頻率與系統(tǒng)固有頻率相同，根據(jù)常微分方程理論，特解的形式不同。幅頻特性13低頻區(qū)λ<<1，振動幅值比趨于1高頻區(qū)λ>>1，振動幅值比趨于0共振區(qū)λ≈1，振動幅值比在小阻尼時，可以很大；低頻區(qū)λ<<1：

相位趨于014高頻區(qū)

λ>>1：相位趨于

。共振區(qū)

λ≈1：相位為/2；系統(tǒng)共振時的重要特征：相位差為/2，與阻尼比無關。相頻特性例315kcx如圖所示，具有偏心轉子的電機模型，角速度為ω，偏心率為e,偏心質(zhì)量為m，分析強迫振動規(guī)律。由x方向質(zhì)心運動定理：例4如圖所示汽車在dsin(2πx/l)的路面上以12.5m/s運動時求激振頻率。再求車的臨界速度。其中16mk多自由振動17多自由度系統(tǒng)的自由振動（兩個自由度為例）工程中的絕大多數(shù)系統(tǒng)是多自由度的。二自由度系統(tǒng)包含了多自由度系統(tǒng)主要的運動特性。18mck二自由度系統(tǒng)的振動問題張緊的弦上有兩個質(zhì)點（m），張力為T。由于研究微振動，可認為兩個質(zhì)點上下運動過程中張力不變。19質(zhì)量矩陣：M剛度矩陣：K坐標列陣：x張緊的弦振動幾個自由度？主振型20可假設方程組的特解為：分別為兩個質(zhì)點的振幅代入方程得：振幅非零的充要條件為：稱為原微分方程組的特征方程。對應的多項式稱為特征多項式。

稱為特征值。稱為第i階固有圓頻率?？傻贸鰞蓚€特征向量：稱為第i階主振型（主模態(tài)）。模態(tài)坐標21四個未定參數(shù)由位置、速度四個初始條件確定。系統(tǒng)的兩個特解為：第i階主振動。根據(jù)線性常微分方程理論，系統(tǒng)通解為：一般情況下實際的運動不是簡諧振動，也不一定是周期運動，兩個頻率之比為有理數(shù)時周期運動。稱為第i階主剛度。稱為第i階主質(zhì)量。q稱為模態(tài)坐標。模態(tài)疊加法。模態(tài)矩陣模態(tài)一定正交嗎？例522k2k2m1.5mm3kx1x2x3如圖所示系統(tǒng)，系統(tǒng)的具體參數(shù)見圖。試寫出系統(tǒng)的振動方程，并求固有頻率和主振型。解：建立如圖所示坐標系：用分析力學或牛頓力學方法建立系統(tǒng)微分方程。多自由度系統(tǒng)的強迫振動23系數(shù)矩陣不滿秩對應系統(tǒng)自由振動，也就是對應齊次方程的