第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年內(nèi)蒙古巴彥淖爾市高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z=5?7i，則z?=(

)A.5?7i B.5+7i C.?5?7i D.?5+7i2.已知向量a，b滿足|a|=3，|b|=2，且向量a，b的夾角為60°，則向量a在向量bA.32b B.34b C.3.已知某圓錐的軸截面是邊長為10的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積是(

)A.25 B.25π C.50 D.50π4.若虛數(shù)z=a+bi(a,b∈R)是關于x的一元二次方程x2+4x+m=0(m∈R)的一個根，則a=(

)A.4 B.?4 C.2 D.?25.下列結(jié)論正確的是(

)A.若事件A與事件B互斥，則P(A)+P(B)=1

B.若事件A與事件B互斥，則P(AB)=P(A)+P(B)

C.若事件A與事件B對立，則P(A)+P(B)=1

D.若事件A與事件B對立，則P(AB)=P(A)+P(B)6.已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出以下結(jié)論：①若α//β，m?α，n?β，則m//n；②若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n；③若α//γ，β//γ，則α//β；④若α⊥γ，β⊥γ，則α⊥β.其中正確結(jié)論的個數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.47.已知點A在點B的正西方向，為了測量A，B兩點之間的距離，在觀測點C處測得A在C的北偏西15°方向，B在C的北偏東45°方向，且B，C兩點之間的距離為20米，則A，B兩點之間的距離為(

)A.(302?106)米 B.(302+108.甲、乙、丙三人每人投籃一次，投中的總次數(shù)記為X.已知甲、乙、丙投籃命中的概率分別為23,35,1A.15 B.45 C.1330二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復數(shù)z=(1+2i)(1?3i)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.z的實部是?5 B.z的虛部為?1

C.|z|=26 D.10.一分鐘跳繩是某省中考體育選考項目之一.小明在平時訓練時通常會將自己的訓練成績記錄下來，以此評估自己的訓練成果.小明記錄了他在3月份的10次訓練成績和4月份的20次訓練成績.通過計算，他發(fā)現(xiàn)3月份的訓練成績的平均值為177，方差為5.4；4月份的訓練成績的平均值為186，方差為6.3.下列結(jié)論正確的是(

)A.小明這兩個月的30次訓練成績的平均數(shù)為181.5

B.小明這兩個月的30次訓練成績的平均數(shù)為183

C.小明這兩個月的30次訓練成績的方差為6

D.小明這兩個月的30次訓練成績的方差為2411.如圖，在正四棱錐P?ABCD中，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點，則下列結(jié)論正確的是(

)A.設PD∩平面BEF=Q，則PQPD=13

B.三棱錐E?BDF與正四棱錐P?ABCD的體積之比為1：4

C.若PAAB=52，則正四棱錐P?ABCD內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1：6

D.正四棱錐P?ABCD被平面BEF分成的上、下兩部分的體積之比為1：12.數(shù)據(jù)21，19，31，25，28，18，30的極差是______．13.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是14.在△ABC中，BC=3BD，E是線段AD的中點，過點E的直線分別與線段AB，AC交于點M，N，若AM=34AB，AN四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(m,?2)，b=(?1,3)．

(1)若(a+b)⊥(2a+b)，求m的值；

(2)若向量16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，△PAB是等邊三角形，四邊形ABCD是正方形，PC=2AB．

(1)證明：平面PAB⊥平面ABCD．

(2)求平面PCD與平面ABCD17.(本小題15分)

某中學組織了一次文學常識知識競賽(滿分：100分)，從參賽學生中隨機抽取100名學生的成績并進行整理，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)估計該中學學生這次文學常識知識競賽成績的第60百分位數(shù)；

(3)現(xiàn)從被抽取的競賽成績在[50,70)內(nèi)的學生中按分層隨機抽樣的方法抽取5人進行座談了解，再從這5人中隨機抽取2人作發(fā)言，求抽取的2人恰好在同一組的概率．18.(本小題17分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且asin(B?C)=bsinCcosA．

(1)證明：a2+b2=3c2；

(2)求cosC的取值范圍；

19.(本小題17分)

定義：兩個多面體M1，M2的重合度K=V公共V1+V2?V公共，其中V公共是多面體M1，M2的重合部分的體積，V1，V2分別是多面體M1，M2的體積.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E分別是棱BB1，CC1上的點(不包含端點)，且BD=CE，延長AD，AE，分別交A1B1，A1C1的延長線于點F，G．

(1)

答案解析1.【答案】B

【解析】解：由復數(shù)z=5?7i，則z?=5+7i．

故選：B．

根據(jù)共軛復數(shù)的定義求解．2.【答案】B

【解析】解：因為|a|=3，|b|=2，且向量a，b的夾角為60°，

則向量a在向量b上的投影向量為|a|cos60°?b|b3.【答案】D

【解析】解：由圓錐的軸截面是邊長為10的等邊三角形，可知圓錐的底面圓半徑是5，則底面圓周長是2π×5=10π，

且側(cè)面展開圖的半徑為10，弧長為10π的扇形，

由扇形面積公式得：12×10×10π=50π．

故選：D．

由軸截面分析出圓錐的底面半徑，母線長，從而得解．4.【答案】D

【解析】解：虛數(shù)z=a+bi(a,b∈R)是關于x的一元二次方程x2+4x+m=0(m∈R)的一個根，

則z?=a?bi是方程的另一個根，

根據(jù)韋達定理，(a+bi)+(a?bi)=?4，解得a=?2．

故選：D．5.【答案】C

【解析】解：對于A，記事件A=“拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)1點”，事件B=“拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)2點”，

事件A與事件B互斥，但P(A)+P(B)=16+16=13≠1，故A錯誤；

對于B，事件A與事件B互斥，則P(AB)=0≠P(A)+P(B)，故B錯誤；

對于C，若事件A與事件B對立，則P(A)+P(B)=1，故B正確；

對于D，若事件A與事件B對立，則P(AB)=0≠1=P(A)+P(B)，故D錯誤．

故選：C6.【答案】B

【解析】解：若α/?/β，m?α，n?β，則m/?/n或m與n異面，所以①錯誤；

若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n，所以②正確；

若α/?/γ，β/?/γ，則α/?/β，所以③正確；

若α⊥γ，β⊥γ，則α與β可以成[0,π2]的任意角，所以④錯誤．

故選：B．

7.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意作圖，

則BC=20，∠ACB=15°+45°=60°，∠BAC=90°?15°=75°，

sin75°=sin(30°+45°)=12×22+32×22=2+64，

在△ABC中，由正弦定理ABsin∠ACB=BCsin∠BAC8.【答案】C

【解析】解：已知甲、乙、丙投籃命中的概率分別為23,35,12，

設甲、乙、丙三人各投籃一次，甲、乙、丙投籃命中分別為事件A，B，C，

P(A)=23,P(B)=35,P(C)=12，則X=2為事件AB9.【答案】BD

【解析】解：z=(1+2i)(1?3i)=1?3i+2i?6i2=7?i，

A、B：z的實部為7，虛部為?1，故A選項錯誤、B選項正確；

C：|z|=72+(?1)2=52，故C選項錯誤；

D：z在復平面內(nèi)所對應的點的坐標為(7,?1)，位于第四象限，故D選項正確．

故選：BD．

復數(shù)的乘法運算可得10.【答案】BD

【解析】解：已知3月份的訓練成績的平均值為177，方差為5.4；4月份的訓練成績的平均值為186，方差為6.3，

對于AB，這兩個月的30次訓練的平均數(shù)為10×177+20×18610+20=183，故A錯誤，B正確；

對于CD，故這兩個月的30次訓練的方差為1010+20[5.4+(177?183)2]+2010+20[6.3+(186?183)2]=24，故C11.【答案】ABD

【解析】解：對A選項，取{PA,PB,PC}為空間向量的基底．

則PD=PA+AD=PA+BC=PA?PB+PC，

設PQ=λPD=λPA?λPB+λPC=2λPE?λPB+2λPF．

又B，E，Q，F(xiàn)四點共面，

所以2λ?λ+2λ=1，解得λ=13，

所以PQ=13PD，所以A選項正確；

對B選項，如圖，連接AC，設AC∩BD=G，

易知平面PAC⊥平面ABCD，PG⊥平面ABCD．

又E，F(xiàn)分別為PA，PC中點，O為AC中點，

所以S△EFG=14S△PAC，

所以VB?EFG=14VB?PAC，同理VD?EFG=14VD?PAC，

所以VB?EFG+VD?EFG=14VB?PAC+14VD?PAC，即VE?BDF=14VP?ABCD，所以B選項正確；

對C：若PAAB=52，不妨設PA=5，AB=2，則AG=2，PG=3．

所以VP?ABCD=13×S?ABCD?PG=13×4×3=412.【答案】13

【解析】解：由極差的定義可知，數(shù)據(jù)21，19，31，25，28，18，30的極差是31?18=13．

故答案為：13．

利用極差的定義求解即可．

本題主要考查極差的定義，屬于基礎題．13.【答案】15【解析】解：將另一個與正方體ABCD?A1B1C1D1一模一樣的正方體的一個棱與BB1重合，如圖所示，

連接BD，BB2，B2E，易知B1B2//BD，且B1B2=BD，

所以四邊形BDB1B2為平行四邊形，

所以DB1//BB2，且DB1=BB2，所以∠EBB2則為直線BE與B1D所成角或其補角，

設正方體ABCD?A1B114.【答案】310【解析】解：因為BC=3BD，為E是線段AD的中點，AM=34AB，AN=mAC，

所以BD=13BC=13(AC?AB)，

所以AD=AB+BD=AB+13(AC15.【答案】m=0或m=32．

3π【解析】(1)由題意可知，a+b=(m?1,1)，2a+b=(2m?1,?1)．

又因為(a+b)⊥(2a+b)，

所以(m?1)(2m?1)+1×(?1)=0，解得：m=0或m=32．

(2)因為c=(3,1)，b=(?1,3)，

所以b?c=(?4,2)，|b|=(?1)2+32=10．

又因為a=(m,?2)，a//(b?c)，

所以m?4=?22，解得：m=4，

則a=(4,?2)．

所以|a|=416.【答案】證明見解析；

217【解析】(1)證明：設PC=2=2AB，

因此AB=1，即底面正方形邊長是1，等邊三角形△PAB的邊長是1，

由PC=2,PB=BC=1，即PC2=PB2+BC2，因此BC⊥PB，顯然BC⊥AB，

又PB∩AB=B，PB，AB?平面PAB，因此BC⊥平面PAB，

又BC?平面ABCD，因此平面PAB⊥平面ABCD．

(2)

作PE⊥AB垂足為E，作EF⊥CD，垂足為F，連接PF，

平面PAB⊥平面ABCD，PE⊥AB，PE?平面PAB，平面PAB∩平面ABCD=AB，

于是PE⊥平面ABCD，由CD?平面ABCD，因此PE⊥CD，

又PE∩EF=E，PE，EF?平面PEF，因此CD⊥平面PEF，

又PF?平面PEF，因此CD⊥PF，又EF⊥CD，

因此∠PFE為平面PCD與平面ABCD所成角，

由PE=17.【答案】a=0.015；

83；

25．【解析】(1)根據(jù)頻率和乘組距為1可知：10(0.01+a+0.025+0.035+a)=1，解得a=0.015；

(2)[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]對應的頻率依次為：

0.1，0.15，0.25，0.35，0.15，

第60百分位數(shù)累計頻率為0.6，在[80,90)之間，

0.6?0.1?0.15?0.25=0.1，

因此估計該中學學生這次文學常識知識競賽成績的第60百分位數(shù)為：80+0.10.35×10≈83；

(3)[50,60)，[60,70)頻率之比為2：3，

[50,60)抽2人，[60,70)抽3人，

設[50,60)抽中A，B兩人，[60,70)抽中C，D，E三人，

AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10種，

2人恰好在同一組的有：AB，CD，CE，DE，共4種，

因此2人恰好在同一組的概率為：25．

(1)由小矩形的面積之和為1可以求出a的值；

(2)根據(jù)頻率之和，第60百分位數(shù)成績在[80,90)之間，均分該區(qū)間得到答案；

(3)先利用頻率之比求出[50,60)，18.【答案】證明見解答；

[23,1)；

【解析】(1)證明：因為asin(B?C)=bsinCcosA，

所以asinBcosC?acosBsinC=bsinCcosA，

由正弦定理得：abcosC?accosB=bccosA，

由余弦定理得：ab?a2+b2?c22ab?ac?a2+c2?b22ac=bc?b2+c2?a22bc，

所以a2+b2?c22?a2+c2?b22=b2+c2?a22，

即a2+b2?c2?(a2+c2?b19.【答案】①12；②25；

1+【解析】(1)設△A1B1C1的面積為S