素養(yǎng)拓展01立體幾何建系求點技巧與應(yīng)用

知識點01：建系設(shè)點有關(guān)的基礎(chǔ)儲備

1、與垂直相關(guān)的定理與結(jié)論

（1）線面垂直

①如果一條直線與一個平面上的兩條相交直線垂直，則這條直線與該平面垂直

②兩條平行線，如果其中一條與平面垂直，那么另外一條也與這個平面垂直

③兩個平面垂直，則其中一個平面上垂直交線的直線與另一個平面垂直

④直棱柱：側(cè)棱與底面垂直；

⑤有一條側(cè)棱垂直于底面的椎體。

⑥正三棱柱、正四棱柱：頂點在底面的投影為底面的中心。

⑦側(cè)面與底面所成角均相等或側(cè)棱長均相等可得頂點在底面的投影為底面的中心。

（2）線線垂直（相交垂直）

①正方形，矩形，直角梯形

②等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直（三線合一）

③菱形的對角線相互垂直

④勾股定理逆定理：若AB2AC2BC2，則ABAC

知識點02：建立直角坐標系的原則

1、z軸的選取往往是比較容易的，依據(jù)的是線面垂直，即z軸要與坐標平面xOy垂直，在幾何體中也是很

直觀的，垂直底面高高向上的即是，而坐標原點即為z軸與底面的交點

2、x,y軸的選?。捍藶樽鴺耸欠褚子趯懗龅年P(guān)鍵，有這么幾個原則值得參考：

（1）盡可能的讓底面上更多的點位于x,y軸上

（2）找角：x,y軸要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直條件

（3）找對稱關(guān)系：尋找底面上的點能否存在軸對稱特點

3、常用的空間直角坐標系滿足x,y,z軸成右手系，所以在標x,y軸時要注意。

4、同一個幾何體可以有不同的建系方法，其坐標也會對應(yīng)不同。但是通過坐標所得到的結(jié)論（位置關(guān)系，

角）是一致的。

5、解答題中，在建立空間直角坐標系之前，要先證明所用坐標軸為兩兩垂直（即一個線面垂直底面兩條

線垂直），這個過程不能省略。

1

知識點03：坐標的書寫

1、能夠直接寫出坐標的點

（1）坐標軸上的點，例如在正方體（長度為1）中的A,C,D'點，坐標特點如下：

x軸：x,0,0y軸：0,y,0z軸：0,0,z

（2）底面上的點：坐標均為x,y,0，即豎坐標z0，由于底面在作立體圖時往往失真，所以要快速正

確寫出坐標，強烈建議在旁邊作出底面的平面圖進行參考：以下圖為例：

11

則可快速寫出H,I點的坐標，位置關(guān)系清晰明了H1,,0,I,1,0

22

2、空間中在底面投影為特殊位置的點

如果'在底面的投影為，那么（即點與投影點的橫縱坐標相同）

Ax1,y1,zAx2,y2,0x1x2,y1y2

這條規(guī)律出發(fā)，在寫空間中的點時，可看下在底面的投影點，坐標是否好寫。如果可以則直接確定了橫縱

坐標，而豎坐標為該點到底面的距離。例如：正方體中的B'點，其投影為B，而B1,1,0所以B'1,1,z，

而其到底面的距離為1，故坐標為B'1,1,1

以上兩個類型已經(jīng)可以囊括大多數(shù)幾何體中的點，但總還有一些特殊點，那么就要用到第三個方法：

3、需要計算的點

xxyyzz

①中點坐標公式：，則中點121212

Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2ABM,,

222

②利用向量關(guān)系進行計算（先設(shè)再求）：向量坐標化后，向量的關(guān)系也可轉(zhuǎn)化為坐標的關(guān)系，進而可以求

出一些位置不好的點的坐標，方法通常是先設(shè)出所求點的坐標，再選取向量，利用向量關(guān)系解出變量的值，

例如：求A'點的坐標，如果使用向量計算，則設(shè)A'x,y,z，可直接寫出A1,0,0,B1,1,0,B'1,1,1，

x10x1

觀察向量ABA'B'，而AB0,1,0，A'B'x1,y1,z1y11y0

z10z1

A'1,0,1

2

知識點04：空間直角坐標系建立的模型

1、墻角模型：已知條件中有過一點兩兩垂直的三條直線，就是墻角模型．

建系：以該點為原點，分別以兩兩垂直的三條直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，當然條

件不明顯時，要先證明過一點的三條直線兩兩垂直(即一個線面垂直面內(nèi)兩條線垂直)，這個過程不能省

略．然后建系．

2、垂面模型：已知條件中有一條直線垂直于一個平面，就是墻角模型．

情形１垂下(上)模型：直線豎直，平面水平，大部分題目都是這種類型．如圖，此情形包括垂足在平面圖

形的頂點處、垂足在平面圖形的邊上(中點多)和垂足在平面圖形的內(nèi)部三種情況．

第一種建系方法為以垂足為坐標原點，垂線的向上方向為z軸，平面圖形的一邊為x軸或y軸，在平面圖形

中，過原點作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸(其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點)建立空間直

角坐標系．如圖1-1

第二種建系方法為以垂足為坐標原點，垂線的向上方向為z軸，垂足所在的一邊為x軸或y軸，在平面圖形

中，過原點作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸(其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點)建立空間直

角坐標系．如圖1-2

第三種建系方法為以垂足為坐標原點，垂線的向上方向為z軸，連接垂足與平面圖形的一頂點所在直線為為

x軸或y軸，在平面圖形中，過原點作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸(其中很多題目是連接垂足與平面圖形

的另一頂點)建立空間直角坐標系．如圖1-3

圖1－1

3

圖1－2

圖1－3

情形2垂左(右)模型：直線水平，平面豎直，這種類型的題目很少．各種情況如圖，建系方法可類比情形

1．

圖2－1圖2－2圖2－3

情形3垂后(前)模型：直線水平，平面豎直，這種類型的題目很少．各種情況如圖，建系方法可類比情形

1．

圖3－1

4

一、解答題

1．（24-25高二上·廣東陽江·月考）如圖，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90，D,E,F分

別是棱AB，BC，CP的中點，ABAC1，PA2．

(1)求直線PA與平面DEF所成角的正弦值；

(2)求點P到平面DEF的距離．

5

【答案】(1)

5

5

(2)

5

【分析】（1）依題意建立空間直角坐標系，求出直線PA的方向向量及面DEF的法向量，利用向量的夾角

公式，即可求出直線PA與平面DEF所成角的正弦值；

（2）利用向量法可求出點P到平面DEF的距離．

【詳解】（1）依題意：以A為坐標原點，AB,AC,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標

系，

又D,E,F分別是棱AB，BC，CP的中點，ABAC1，PA2．

5

1111

所以A0,0,0,B1,0,0,C0,1,0,P0,0,2,D,0,0,E,,0,F0,,1,

2222

111

所以有：AP0,0,2,DF,,1,DE0,,0，

222

設(shè)平面DEF的法向量為nx,y,z，則有nDF,nDE.

11

nDFxyz0

22x2z

所以，令z1，有n2,0,1，

1y0

nDEy0

2

nAP25

設(shè)直線PA與平面DEF所成角為，則sin.

nAP255

5

所以直線PA與平面DEF所成角的正弦值為.

5

1

（2）因為DP,0,2，由（1）有平面DEF的一個法向量為n2,0,1，

2

nDP125

所以點P到平面DEF的距離為：d.

n55

2．（24-25高二上·北京房山·期末）如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1，ABAD2，AA14，點E為DD1

中點．

6

(1)若平面AB1E與棱C1D1交于點F，求證點F為C1D1的中點；

(2)求平面AB1E與平面ABCD夾角的余弦值．

【答案】(1)證明見解析

6

(2).

6

【分析】（1）方法1：由面面平行性質(zhì)可證：AB1//EF，可得EF//DC1，即可完成證明；

方法2，連結(jié)DC1，由AB1//DC1可得DC1//平面AB1E，再由線面平行性質(zhì)可完成證明；

方法3，建立空間直角坐標系，由向量法可完成證明；

（2）建立空間直角坐標系，求出平面AB1E與平面ABCD的法向量，即可得答案.

，，，

【詳解】（1）解法一：AB//CDAA1//DD1ABAA1ACDDD1D，

平面ABB1A1//平面CDD1C1.

又平面ABB1A1平面AB1EAB1，平面CDD1C1平面AB1EEF，

AB1//EF.

，

又AD//B1C1AD=B1C1，四邊形AB1C1D為平行四邊形.

AB1//DC1，EF//DC1.

又點E為DD1中點，點F為C1D1的中點.

-，，

ABCDA1B1C1D1AD//B1C1AD=B1C1

解法二：連結(jié)DC1，在長方體中，

四邊形AB1C1D為平行四邊形，AB1//DC1.

AB1平面AB1E，DC1平面AB1E，

DC1//平面AB1E，

又DC1平面CDD1C1，平面AB1E平面CDD1C1EF，

EF//DC1.

又點E為DD1中點，點F為C1D1的中點.

解法三：建立空間直角坐標系D-xyz，（建系及求法向量見小問2詳解），

設(shè)F(0,y,4)，則AF(2,y,4).

由nAF0，得22y40，

y1，點F為C1D1的中點.

7

，，

（2）因為DADCDD1兩兩互相垂直，以D為坐標原點，如圖所示建立空間直角坐標系D-xyz，

則D（0,0,0），A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)，AE(2,0,2)，

uuur

,,，,,，,,，,,,,

A1(204)D1(004)C1(024)B1(224)，AB1(024).

，

nAB102y4z0

設(shè)平面AB1E的法向量為n(x,y,z)，則

2x2z0.

nAE10

令x1，得n(1,2,1).

平面ABCD的法向量為m(0,0,1)，

設(shè)平面ABCD與平面AB1E夾角為，

urr

urr|mn|16

所以coscosm,nurr.

|m||n|66

6

平面ABCD與平面AB1E夾角的余弦值為.

6

3．（24-25高二下·四川廣安·期中）如圖，AE平面ABCD，CF//AE，AD//BC，ADAB，ABAD1，

AEBC2.

(1)求證：BF//平面ADE；

(2)求直線CE與平面BDE所成角的大??；.

【答案】(1)證明見解析

4

(2)arcsin.

9

8

【分析】（1）首先根據(jù)垂直關(guān)系證明AB平面ADE，則以點A為原點建立空間直角坐標系，利用法向量

證明線面平行；

（2）首先求平面BDE的法向量，再代入線面角的向量公式，即可求解.

【詳解】（1）因為AE平面ABCD，AB平面ABCD，

所以AEAB，因為ADAB，ADAEA，

AD?AE平面ADE，所以AB平面ADE，

可以建立以A為原點，分別以AB，AD，AE的方向為x軸?y軸?z軸正方向的空間直角坐標系(如圖)，

可得A0,0,0，B1,0,0，C1,2,0，D0,1,0，E0,0,2.

設(shè)CFhh0，則F1,2,h.

依題意，AB1,0,0是平面ADE的法向量，

又BF0,2,h，可得BFAB0，則BFAB，

又因為直線BF不在平面ADE，所以BF//平面ADE.

（2）依題意，BD1,1,0，BE1,0,2，CE1,2,2.

設(shè)nx,y,z為平面BDE的法向量，

nBD0xy0

則，即，

nBE0x2z0

不妨令z1，可得n2,2,1.設(shè)為CE與平面BDE所成的角，

CEn4

因此有sincosCE,n.

CEn9

4

所以，直線CE與平面BDE所成角的大小為arcsin.

9

一、解答題

1．（24-25高二下·上海·月考）棱錐PABC中，平面PAC平面ABC，PAACCP2，ABBC2，

O是棱AC的中點.

9

(1)證明：BO平面PAC;

(2)求二面角BPCA的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

21

(2)

7

【分析】（1）由BOAC結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理即可得證

（2）先求證BO,PO,AC兩兩垂直，接著建立適當?shù)目臻g直角坐標，求出平面PAC和平面BPC的法向量，

再結(jié)合向量夾角余弦公式即可計算得解.

【詳解】（1）證明：因為ABBC2，O是棱AC的中點，

所以BOAC，因為平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，BO平面ABC，

所以BO平面PAC.

（2）因為BO平面PAC，PO平面PAC，所以BOPO，

因為PAACCP2，O是棱AC的中點，

所以POAC，所以BO,PO,AC兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，

因為POAC2OC23，BOBC2OC21，

所以B1,0,0,C0,1,0,P0,0,3，

所以BC1,1,0,BP1,0,3,OB1,0,0，

由上可知OB1,0,0為平面PAC的一個法向量，設(shè)平面BPC的一個法向量為nx,y,z，

nBCn·BCxy0

則，故，取x1，則n3,3,1，

nBPn·BPx3z0

10

OB·n321

所以cosOB,n，

OBn77

21

所以由圖可知二面角BPCA的余弦值為.

7

，

2．（2025·山東菏澤·一模）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，D,E分別為ABCC1的中點.

(1)證明：CD//平面A1BE；

(2)若側(cè)面AA1C1C底面ABC，底面ABC是等邊三角形，側(cè)面AA1C1C是菱形，且A1AC60，求直線DE

與側(cè)面BCC1B1所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

330

(2)

55

【分析】（1）取A1B的中點F，連接DF,EF，進而得到四邊形CDFE是平行四邊形，利用線面平行的判

定定理即可證明CD//平面A1BE.

（2）因為側(cè)面AA1C1C底面ABC，得到OA1底面ABC，建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法

即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）

如圖，取A1B的中點F，連接DF,EF.

1

因為D為AB的中點，所以DF∥AA，且DFAA.

121

1

因為E為CC的中點，所以CEAA.

121

又CE∥AA1，所以DF∥CE，且DFCE，所以四邊形CDFE是平行四邊形，所以CD∥EF.

又EF平面A1BE,CD平面A1BE，所以CD∥平面A1BE.

（2）如圖，取AC的中點O，連接OB,OA1.因為底面ABC是等邊三角形，

所以O(shè)BAC.

11

因為側(cè)面AA1C1C是菱形，且A1AC60，

所以O(shè)A1AC.

又側(cè)面AA1C1C底面ABC，側(cè)面AA1C1C底面ABCAC,OA1側(cè)面AA1C1C，

所以O(shè)A1底面ABC.

以O(shè)為坐標原點，OB,OC,OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，

建立空間直角坐標系，不妨設(shè)三棱柱的各棱長為2，

3133

則B3,0,0,C0,1,0,D,,0，E0,,，

2222

1333

故CB3,1,0,CE0,,，DE,2,.

2222

設(shè)側(cè)面BCC1B1的法向量為mx,y,z，

3xy0,

mCB0,

則即13

mCE0,yz0.

22

令x1，得y3,z1，所以側(cè)面BCC1B1的一個法向量為m1,3,1.

設(shè)直線DE與側(cè)面BCC1B1所成的角為，

mDE

則sincosm,DE

mDE

33

132(1)3330

22

2255，

335

13142

44

330

故直線DE與側(cè)面BCC1B1所成角的正弦值為.

55

3．（24-25高二下·江蘇南京·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，直線EA⊥平面ABC，直線DC⊥平面ABC，

且EA＝2DC＝23，F(xiàn)是線段EB的中點．

12

(1)求證：DF//平面ABC；

(2)若直線CF與平面ABC所成角為45°，求平面CEF與平面DEF夾角的余弦值．

【答案】(1)證明見解析

25

(2)

5

【分析】（1）取AB的中點M，利用線面垂直的性質(zhì)、線面平行的判定推理得證.

（2）以M為原點建立空間直角坐標系，求出平面CEF與平面DEF的法向量，利用面面角的向量求法求解.

【詳解】（1）取AB的中點M，連接FM和CM，在EAB中，F(xiàn)是EB的中點，M是AB的中點，

1

則FM//EA且FMEA3，

2

由DC平面ABC，而EA平面ABC，得DC//EA//FM，又DC3EA，

因此四邊形FMCD是平行四邊形，DF//CM，

而CM平面ABC，DF平面ABC，所以DF//平面ABC.

（2）由（1）得，F(xiàn)M平面ABC，則FCM為直線CF與平面ABC所成角，即FCM45，

在Rt△FMC中，CMFM3，在等邊VABC中，M為AB的中點，則CMAB,AB2，

以M為原點，直線MA,MC,MF分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，

C(0,3,0),E(1,0,23),F(0,0,3),D(0,3,3)，

則CF(0,3,3),FE(1,0,3),FD(0,3,0)，

nFEx3z0

設(shè)平面CEF的法向量為n(x,y,z)，則，取z1，得n(3,1,1)，

nCF3y3z0

mFEa3c0

設(shè)平面DEF的法向量為m(a,b,c)，則，取c1，得m(3,0,1)，

mFD3b0

13

|mn|425

設(shè)平面CEF與平面DEF夾角為θ，則cos|cosm,n|，

|mn|525

25

所以平面CEF與平面DEF夾角的余弦值為．

5

4．（2025·湖南長沙·一模）在多面體ABCDE中，已知ABBC2,AC22,DADBEBEC5，且

平面BCE與平面DAB均垂直于平面ABC,F為DE的中點.

(1)證明：DE∥AC；

(2)求直線BF與平面ACE所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

42

(2).

9

【分析】（1）取AB,BC的中點M,N，證明四邊形DENM為平行四邊形即可得證DE∥AC；

（2）建立空間直角坐標系，運用法向量求解即可.

【詳解】（1）如圖，分別取AB,BC的中點M,N，連接DM,MN,NE，

因為DADB，故DMAB，又平面DAB平面ABC，且平面DAB平面ABCAB，

因此DM平面ABC，

同理可知，EN平面ABC，

因此DM∥EN且DMEN，故四邊形DENM為平行四邊形，所以DE∥MN，

又因為MNAC，所以DE∥AC.

（2）因為ABBC2,AC22，所以AB2BC2AC2，所以ABC90，

以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，過B且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標

系，

14

由題意知，B0,0,0,A2,0,0,C0,2,0,D1,0,2,E0,1,2，

11

F,,2，

22

11

所以AC2,2,0,AE2,1,2,BF,,2.

22

設(shè)平面ACE的法向量為nx,y,z，

nAC0,2x2y0,

則有即

nAE0,2xy2z0,

令x2，則y2,z1，即平面ACE的一個法向量為n2,2,1.

設(shè)直線BF與平面ACE所成角為，

BFn442

則sincosBF,n，

BFn329

3

2

42

即直線BF與平面ACE所成角的正弦值為.

9

一、解答題

1．（24-25高二下·湖南·月考）蒙古包可以近似的看成是由一個圓柱跟一個圓錐拼接而成．如圖，PABCD

為某一個蒙古包的軸截面，AD4,AB2,PAPD22，現(xiàn)沿直線AD將△PAD向上折起得到△PAD，

得到四棱錐PABCD，且P點在平面ABCD上的射影在AD上，E為PC的中點．

(1)求證：PA//平面BDE；

15

(2)求平面BDE與平面ABCD夾角的余弦值．

【答案】(1)證明過程見解析

6

(2)

6

【分析】（1）設(shè)AC,BD交于點O，連接EO，只需證明EO//PA即可；

（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出平面BDE與平面ABCD的法向量，由法向量的夾角的余弦的絕對

值公式即可求解.

【詳解】（1）

設(shè)AC,BD交于點O，連接EO，

因為四邊形ABCD是矩形，所以點O是AC的中點，點E是PC的中點，

所以EO//PA，

又因為PA平面BDE，OE平面BDE，

所以PA//平面BDE；

（2）取AD中點F，連接PF，由題意可知PAPD，平面PAD平面ABCD，

故PFAD，

又因為平面PAD平面ABCDAD，PF平面PAD，

所以PF平面ABCD，

以F為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為PF平面ABCD，所以可取平面ABCD的一個法向量為n10,0,1，

由于AD4,AB2,PAPD22，所以AP2PD2AD2，

1

所以PFAD2，

2

所以B2,2,0,D0,2,0,P0,0,2,C2,2,0,E1,1,1，

16

所以EB1,3,1,ED1,1,1，

設(shè)平面BDE的法向量為n2x2,y2,z2，

EBn2x23y2z20

所以，令z21，解得x22,y21，

EDn2x2y2z20

故n22,1,1為平面BDE的法向量，

n1n216

所以cosn1,n2.

n1n214116

6

所以平面BDE與平面ABCD夾角的余弦值為.

6

2．（24-25高二上·山西太原·期中）如圖、四棱錐PABCD的底面ABCD是菱形，PAPD2，

PBABBD2.

(1)求證：平面PAD平面ABCD；

(2)求平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

1

(2).

7

【分析】（1）作出輔助線，得到OPAD，求出各邊長，由勾股定理逆定理得到OPOB，從而得到線面

垂直，面面垂直；

（2）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出兩平面的法向量，利用向量夾角余弦公式求出答案.

【詳解】（1）證明：設(shè)O是AD的中點，連結(jié)OP，OB，

ABBD2，

OBAD，OA1，由勾股定理得OBAB2OA23，

PAPD2，

OPAD，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴ADAB2，故△PAD為等腰直角三角形，

∴OP1，

∵PB2，

17

PB2OP2OB2，

OPOB，

∵OB,AD平面ABCD，OBADO，

OP平面ABCD，

∵OP平面PAD，

平面PAD平面ABCD；

（2）由（1）得OBAD，OPOA，OPOB，以O(shè)為原點，

OA，OB，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖的空間直角坐標系，

則A1,0,0，B0,3,0，C2,3,0，D1,0,0，P0,0,1，

r

設(shè)mx1,y1,z1是平面PAB的一個法向量，

mPA,x1z10,

則令，則m3,1,3，

x13

mAB,x13y10,

設(shè)nx2,y2,z2是平面PCD的一個法向量，

nPC,2x23y2z20,

則令y1，則，

2n3,1,3

nCD,x23y20,

設(shè)平面PAB與平面PCD的夾角為，

3,1,33,1,3

mn1，

coscosm,n

mn3133137

1

平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值為.

7

3．（24-25高二上·福建泉州·月考）如圖所示：多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，四邊形ABEF為

直角梯形，且AF//BE，AF平面ABCD，ABBE2AF2．

18

(1)證明：BD平面ACF；

(2)若直線DA與平面ACF所成的角為60，求平面ACF與平面CEF所成角的正弦值．

【答案】(1)證明見解析

6

(2)

4

【分析】1由線面垂直性質(zhì)定理得BDAF，菱形對角線垂直ACBD，可證；

2建立空間直角坐標系，用平面ACF與平面CEF的法向量，求夾角余弦值，再轉(zhuǎn)換為正弦值.

【詳解】（1）因為AF平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDAF；

底面ABCD為菱形，所以ACBD；

又因為ACAFA，AC,AF平面ACF，所以BD平面ACF.

（2）如圖：設(shè)ACBDO，取CF的中點M，連接OM，則OM//AF

，所以O(shè)M平面ABCD.

故可以以O(shè)為原點，建立如圖空間直角坐標系.

因為DAC為直線DA與平面ACF所成的角，所以DAC60.

又ABBE2AF2，

所以O(shè)0,0,0，A0,1,0，C0,1,0，E3,0,2，F(xiàn)0,1,1，

則FC0,2,1，F(xiàn)E3,1,1.

設(shè)平面CEF的法向量為nx,y,z，

nFCx,y,z0,2,102yz0

則，

nFEx,y,z3,1,103xyz0

19

取y1，則x3,z2，則n3,1,2，

又OD3,0,0為平面ACF的法向量，設(shè)平面ACF與平面CEF所成的角為θ，

ODn366

cosOD,n，則cos，

ODn22344

1010

sin，即平面ACF與平面CEF所成角的正弦值為.

44

4．（24-25高二下·廣東廣州·月考）如圖，在四棱錐PABCD中，三角形PAD是以AD為斜邊的等腰直角

三角形，BC//AD，CDAD，AD2DC2CB2，E為PD的中點.

(1)證明：CE//平面PAB；

(2)若PAB60，求直線CE與平面PBC的夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

33

(2).

6

【分析】（1）取PA中點為F，連接EF，F(xiàn)B，通過證明EC//FB可完成證明；

（2）通過證明PO平面ADCB，可建立如圖所示空間直角坐標系，求出平面平面PBC法向量，然后由空

間向量知識可得答案.

【詳解】（1）取PA中點為F，連接EF，F(xiàn)B，則EF//AD//BC，

1

且EFADBC，從而四邊形FECB為平行四邊形.

2

則EC//FB，又EC平面PAB，F(xiàn)B平面PAB，則CE//平面PAB；

（2）如圖取AD中點為O，連接OP，OB.

因三角形PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，AD2，

11

則PA2，POAD1.因AOODBCAD1，OD//BC，

22

則四邊形ODCB為平行四邊形，則BO1，BO//CD，結(jié)合CDAD，

則BOAO，AB2，結(jié)合PAB60，則PAB為等邊三角形，

得PB2.又BO1，PO1，則PO2BO2PB2，故POOB.

又POAD，ADOBO，AD，OB平面ADCB，則PO平面ADCB.

20

故如圖建立以O(shè)為坐標原點的空間直角坐標系.

則O0,0,0，B1,0,0，D0,1,0，A0,1,0，C1,1,0，P0,0,1，

11

因E為PD的中點，則E0,,.

22

11

從而CE1,,，PB1,0,1，PC1,1,1.

22

rPBnxz0

設(shè)平面PBC法向量為nx,y,z，則，

PCnxyz0

取n1,0,1，設(shè)直線CE與平面PBC的夾角為，

1

1

2333

則sincosn,CE，從而cos1sin2.

1166

12

44

2

5．（24-25高二下·江蘇·期中）已知平面四邊形ABCD中，AD∥BC,BCCD，且ADCDAB2．以

2

AD為腰作等腰直角三角形PAD，且PAAD，平面PAD平面ABCD

(1)證明：AB平面PAC；

(2)已知點M是線段PD上一點，

①若PB∥平面MAC，求點M到平面PBC的距離；

14

②若直線BM與平面ABCD夾角的正弦值是，求二面角BAMC的正弦值．

14

【答案】(1)證明見解析

2222

(2)①；②

33

【分析】（1）根據(jù)已知有PAAD，再由面面垂直的判定得PA平面ABCD，進而有PAAB，再由已

21

知得ACB45，且ACAB22，即ABC為等腰直角三角形，故ABAC，最根據(jù)線面垂直的判定

定理證明結(jié)論；

（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標系，①若PMPD2,2,2求得M2,2,22，再求出

2

平面MAC的一個法向量，結(jié)合PB//平面MAC求得，由此可得M的坐標，再求平面PBC的法向量，

3

結(jié)合點到平面結(jié)論的向量求法求結(jié)論；②應(yīng)用向量法求線面角的正弦值的不等式，由條件列方程求，再

求平面AMB和平面AMC的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論.

【詳解】（1）以AD為腰作等腰直角三角形PAD，且PAAD，則PAAD，

由平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD,PA平面PAD，

所以PA平面ABCD，而AB平面ABCD，則PAAB，

由AD∥BC,BCCD，則ABCD為直角梯形，故ADCD，

2

由ADCDAB2，即ACD為等腰直角三角形，故ACB45，且ACAB22，

2

所以VABC為等腰直角三角形，故ABAC，

又PAACA，PA,AC平面PAC，

則AB平面PAC．

（2）由（1）PA平面ABCD,ABAC，構(gòu)建如圖示空間直角坐標系A(chǔ)xyz，

所以B22,0,0,C0,22,0,D2,2,0,P0,0,2，

①若PMPD2,2,2，則M2,2,22，

所以AM2,2,22,AC0,22,0，

令mx,y,z是平面MAC的一個法向量，

mAM2x2y21z0

則，

mAC22y0

取z，則x21,y0，

所以m21,0,是平面MAC的一個法向量，

而PB22,0,2，

22

2

由PB∥平面MAC，則mPB4120，解得，

3

2222222422

所以M是PD靠近D的三等分點，則M,,,MC,,，

333333

因為PB22,0,2,BC22,22,0，

設(shè)na,b,c是平面PBC的一個法向量，