專題13直線的兩點式方程

內(nèi)容導航——預習三步曲

第一步：學

析教材學知識：教材精講精析、全方位預習

練題型強知識：4大核心考點精準練

第二步：記

串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升

知識點01：直線的兩點式方程

1、兩點式方程的推導

yy

如果直線經(jīng)過兩點，，則直線的斜率21．由直線的點斜式方程

lP1x1,y1P2x2,y2(x1x2)lk

x2x1

yyyyxx

得21．當時，方程可以寫成11．

yy1(xx1)y1y2

x2x1y2y1x2x1

2、直線的兩點式方程定義

設直線經(jīng)過兩點，，則方程yy1xx1叫作直線的兩點式

lP1x1,y1P2x2,y2(x1x2,y1y2)l

y2y1x2x1

方程，簡稱兩點式．

3、直線的兩點式方程

已知條件（使用前提）

直線l上的兩點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)（x1x2，y1y2）（已知兩點）

圖示

1

點斜式方程形式

yy1xx1

(x1x2,y1y2)

y2y1x2x1

適用條件斜率存在且不為0；

當直線沒有斜率或斜率為時，不能用兩點式求出它的方程

(x1x2)0(y1y2)

注：（）當過兩點的直線斜率不存在或斜率為時不能用兩點

1P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)0((y1y2),

式方程表示.

（2）在記憶和使用兩點式方程時,必須注意坐標的對應關系,即x1,y1是同一個點的坐標x2,y2是另一個點的

坐標.

知識點02：直線的截距式方程

1、截距式方程的推導

y0xa

如圖，已知直線l經(jīng)過兩點Aa,0，B0,b，其中a0,b0，有直線的兩點式方程得，，

b00a

xy

即1．

ab

2、直線的截距式方程的定義

xy

設直線l在x軸的截距為a，在y軸的截距為b，且a0,b0，則方程1叫作直線的截距式方程，

ab

簡稱截距式．

3、直線的截距式方程

已知條件（使用前提）直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b

圖示

2

點斜式方程形式xy

1

ab

適用條件a0，b0

注：直線的截距式方程是直線的兩點式方程的特殊情況,由直線的截距式方程可以直接讀出直線在x軸和y

軸上的截距,所以截距式在解決直線與坐標軸圍成的三角形的面積和周長問題時非常方便.

知識點03：中點坐標公式

xx

x12

2

若點P,P的坐標分別為(x,y),(x,y)，且線段PP的中點M的坐標為(x,y)，則．此公

12112212yy

y12

2

式為線段P1P2的中點坐標公式．

一、單選題

1．（23-24高二上·河北邢臺·月考）下列直線方程是兩點式方程的是（）

A．ykxbB．yy0kx2x0

xyyy1xx1

C．1D．x1x2,y1y2

a2by2y1x2x1

xyxy

2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）直線1與1mn在同一平面直角坐標系中的圖象可能

mnnm

3

是（）

A．B．C．

D．

3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過兩點x1,y1,x2,y2的直線方程可以表示為（）

xxyyxxyy

A．11B．22

x2x1y2y1x1x2y1y2

yy

21

C．yy1x2x1xx1y2y1D．yy1xx1

x2x1

y9x8

4．（24-25高二上·河北邢臺·月考）已知直線l的兩點式為，則（）

5928

311

A．直線l經(jīng)過點(5,2)B．直線l的斜截式為xy

22

2

C．直線l的傾斜角為銳角D．直線l的點斜式為y2(x5)

3

5．（24-25高二上·廣東江門·月考）下列說法正確的是（）

yy

1

A．方程k表示過點P1x1,y1且斜率為k的直線

xx1

B．直線ykxb與y軸的交點為B0,b，其中截距bOB

xy

C．在x軸、y軸上的截距分別為a、b的直線方程為1

ab

D．方程x2x1yy1y2y1xx1表示過任意不同兩點P1x1,y1，P2x2,y2的直線

一、單選題

1．（23-24高二上·甘肅金昌·月考）已知直線l經(jīng)過點3,2，1,2，則下列不在直線l上的點是（）

A．2,1B．1,0C．0,1D．2,1

2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知點Am,5,B3,n，若AB的中點坐標為2,1，則直線AB的方程

為（）

4

A．x4y90B．x4y90

C．4xy90D．4xy90

3．（23-24高二上·貴州·開學考試）某汽車客運公司托運行李的費用y（元）與行李質(zhì)量x（kg）之間的關

系如圖所示，根據(jù)圖像可知，乘客最多可免費攜帶行李的質(zhì)量為（）

A．20kgB．25kgC．30kgD．35kg

4．（23-24高二上·吉林·月考）一條光線從P(6,4)射出與x軸相交于點Q(2,0)，經(jīng)x軸反射，求反射光線所

在直線的方程（）

A．xy10B．xy50C．xy20D．xy20

二、解答題

5．（23-24高二上·河南·月考）已知VABC的三個頂點分別滿足：點A在x軸上，點B在y軸上，C(2,1)，

1

直線AC的斜率為，直線AC與直線BC垂直．

2

(1)求點A,B的坐標；

(2)求邊BC上的中線所在直線的方程．

6．（23-24高二上·福建漳州·月考）已知三角形ABC的頂點坐標為A1,5，B2,1，C4,3，M是BC

邊上的中點.

(1)求AB邊所在的直線方程；

(2)求中線AM的方程.

一、單選題

1．（24-25高二上·重慶·期末）過A2,0、B0,3兩點的直線方程是（）

xyy

A．1B．x1

2332

23

C．yxD．yx

32

2．（24-25高二上·黑龍江牡丹江·月考）在x軸與y軸上截距分別為2,2的直線的傾斜角為（）

A．150B．135C．90D．45

5

xyxy

3．（24-25高二上·四川綿陽·月考）兩條直線l:1和l:1在同一直角坐標系中的圖象可以是

1ab2ba

（）

A．B．C．D．

1

4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）過點,1作直線l，則滿足在兩坐標軸上截距之積為2的直線l的條數(shù)

3

為（）

A．1B．2C．3D．4

5．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l過點3,5，且在兩坐標軸上的截距相等，則直線l的方程為

（）

A．xy80B．5x3y0

C．5x3y0或xy80D．5x3y0或xy80

二、解答題

6．（24-25高二上·吉林·月考）求符合下列條件的直線方程：

1

(1)直線過點A1,3，且斜率為；

4

(2)直線過點2,1，且橫截距為縱截距的兩倍.

一、單選題

1．（24-25高二上·甘肅白銀·期末）過點1,3且斜率為2的直線l與坐標軸圍成的三角形的面積為（）

252555

A．B．C．D．

2424

2．（24-25高二下·湖南·月考）已知直線l經(jīng)過點P1,2，與兩坐標軸的正半軸分別交于A、B兩點，O為

坐標原點，則△OAB的面積的最小值為（）

A．2B．3C．4D．8

3．（23-24高二上·江蘇徐州·月考）若過點P3,2的直線l與坐標軸交于A,B兩點，圍成三角形AOB的面積

為16，則符合條件的直線的條數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

6

二、解答題

4．（24-25高二上·甘肅慶陽·月考）直線l過點3,4，且在兩坐標軸上的截距之和為12．

(1)求直線l的方程

(2)求直線與兩條坐標軸所圍成三角形的面積．

5．（24-25高二上·廣東東莞·期中）直線l的方程為a1xy3a10，aR.

(1)若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求l的方程；

(2)若直線l分別交x軸、y軸的正半軸于點A、B，點O是坐標原點．若VAOB的面積為16，求a的值.

一、單選題

xy

1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l:1，則直線l在y軸上的截距為（）

52

A．5B．5C．2D．2

2．（24-25高二上·全國·隨堂練習）過點1,2，5,3的直線方程是（）

7

y2x1y2x1

A．B．

51313251

y1x3x2y3

C．D．

51235213

3．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·月考）過點A2,1的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）

A．xy1B．xy3

C．x2y0或xy3D．x2y0或xy1

4．（23-24高二上·四川成都·期中）直線l過點A2,3，則直線l與x軸、y軸的正半軸圍成的三角形的面積

最小值為（）

A．9B．12C．18D．24

二、多選題

5．（23-24高二上·安徽·期中）已知直線l:yx，其中l(wèi)1，l2，l的圖象如圖所示，直線l1，l2的斜率分別

為k1，k2，縱截距分別為b1，b2，則下列說法正確的是（）

A．1k20B．k1k21

b

1

C．b1b2D．0

b2

6．（24-25高二上·吉林·月考）已知直線l過點0,2，3,1，則（）

A．直線l的傾斜角為150°

y1x3

B．直線l的兩點式方程為

2103

C．直線l的一個方向向量為1,3

xy

D．直線l的截距式方程為1

232

7．（23-24高二上·廣東廣州·期中）下列說法不．正．確．的有（）

A．直線的傾斜角越大，斜率越大

xxyy

11

B．過點Px1,y1,Qx2,y2的直線方程是

x1x2y1y2

8

C．經(jīng)過點1,1且在x軸和y軸上截距相等的直線有2條

xy

D．直線1在y軸上的截距是3

23

8．（2024高二上·全國·專題練習）下列說法不正確的是（）

yyxx

11

A．過任意兩點Ax1,y1，Bx2,y2的直線方程可以寫成

y2y1x2x1

B．若直線在x軸和y軸上的截距相等，則直線的斜率為﹣1

C．若直線的斜率為1，則直線在x軸和y軸上的截距之和為0

D．若直線與兩坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，則直線的斜率為1

三、填空題

y3x0

9．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l的兩點式方程為，則l的斜率為．