PAGE1專題10數(shù)列遞推公式歸類內(nèi)容早知道?第一層鞏固提升練題型一：歸納型題型二：遞推基礎(chǔ)：累加型題型三：遞推基礎(chǔ)：累積型題型四：累加與累積擴展型：換元型題型五：sn型求通項題型六：待定系數(shù)或者同除構(gòu)造二階等比型題型七：等差等比同構(gòu)型題型八：周期數(shù)列型題型九：分式倒數(shù)型題型十：分式換元待定系數(shù)型題型十一：奇偶分段型題型十二：“和”定型題型十三：“隱形和”型?第二層能力提升練?第三層高考真題練鞏固提升練題型01歸納型?技巧積累與運用小題的數(shù)歸法，大多數(shù)是先通過計算數(shù)列的前幾項，再觀察數(shù)列中的項與系數(shù)，根據(jù)與項數(shù)的關(guān)系，猜想數(shù)列的通項公式，最后再證明.1．大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．該數(shù)列從第一項起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則該數(shù)列第18項為（

）A．200 B．162 C．144 D．128【答案】B【詳解】偶數(shù)項分別為2，8，18，32，50，即，，，，，即偶數(shù)項對應(yīng)的通項公式為，則數(shù)列的第18項為第9個偶數(shù)，即．故選B．]2．分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，按照如圖1的分形規(guī)律可得知圖2的一個樹形圖，記圖2中第行黑圈的個數(shù)為，白圈的個數(shù)為，若，則（

）

A．34 B．35 C．88 D．89【答案】D【分析】由題可知，每個白圈在下一行產(chǎn)生一個白圈一個黑圈，一個黑圈在下一行產(chǎn)生一個白圈兩個黑圈，從而可得遞推式，然后由遞推式可求得結(jié)果.【詳解】由題可知，每個白圈在下一行產(chǎn)生一個白圈一個黑圈，一個黑圈在下一行產(chǎn)生一個白圈兩個黑圈，所以有，，又因為，，所以，，，，，，，，，，，，故選：D.3．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項，其余各項依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的第56項為（

）

A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【分析】由題意可知，去除所有為1的項，則剩下的每一行的個數(shù)構(gòu)成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，求解即可.【詳解】由題意可知：若去除所有的為1的項，則剩下的每一行的個數(shù)為1，2，3，4，...，可以看成構(gòu)成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則，可得當(dāng)，所有項的個數(shù)和為55，第56項為12，故選：B.題型02遞推基礎(chǔ)：累加法?技巧積累與運用數(shù)列求通項，可以借助對“形形色色”的累加法研究學(xué)習(xí)，積累各類通項“變化”規(guī)律。1.“等差”累加法:2.“等比”累加法:3.“裂項”累加法:4.無理根式裂項累加法:1．在數(shù)列中，，則等于（

）A．4 B． C．13 D．【答案】A【分析】應(yīng)用累加法結(jié)合對數(shù)運算計算求出通項公式.【詳解】依題意，在數(shù)列中，，即，所以．故選：A.2．?dāng)?shù)列滿足，，，則的整數(shù)部分是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】由，得到，再利用累加法得到，再根據(jù)，得到，從而得到的范圍求解.【詳解】解：由，得，所以，因為，所以，則，又，，，所以，所以，所以，所以m的整數(shù)部分為1，故選：C3．?dāng)?shù)列滿足，且，則等于（）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】B【分析】根據(jù)題意，將原式變形可得，由累加法分析可得﹒【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列滿足，且，即，變形可得，則有，則，故；故選：B．題型03遞推基礎(chǔ)：累積法?技巧積累與運用累積法：若在已知數(shù)列中相鄰兩項存在：的關(guān)系，可用“累乘法”求通項.累積法主要有“分式型”和“指數(shù)型”。分式型：指數(shù)型：1．若數(shù)列滿足，，則滿足不等式的最大正整數(shù)為（

）A．28 B．29 C．30 D．31【答案】B【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正確答案.【詳解】依題意，數(shù)列滿足，，，所以，也符合，所以，是單調(diào)遞增數(shù)列，由，解得，所以的最大值為.故選：B2．在數(shù)列中，，，，則（

）A． B．15 C． D．10【答案】B【分析】依題意對化簡，采用累乘法得到，從而得到【詳解】因為，所以，即，得.所以.因為，所以.故選：B.3．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用累乘法計算可得.【詳解】解：因為，所以，，，，，，所以，即，又，所以；故選：A題型04累加與累積擴展：換元型1．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且（為正整數(shù)）．則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】將進行整理，可以求出其通項公式，再代入可得答案.【詳解】由，，故選：C2．已知數(shù)列滿足，則的最小值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】本題首先可以根據(jù)得出，然后通過累加法求出，再然判斷數(shù)列的單調(diào)性即可求出.【詳解】因為，所以，即，則，當(dāng)時，上式成立，故，，設(shè)，則，故數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則當(dāng)時，即的最小值為1.故選：C.【點睛】方法點睛：解決數(shù)列問題的常用方法：（1）根據(jù)定義判斷數(shù)列為等差等比數(shù)列；（2）利用求數(shù)列通項；（3）對于，利用累加法求通項；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和.3．在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，利用累加法先求出，進而求得即可.【詳解】由題意得，，則，…，，由累加法得，，即，則，所以，故選：D題型05sn型求通項?技巧積累與運用若在已知數(shù)列中存在：的關(guān)系，可以利用項和公式，求數(shù)列的通項.一定要檢驗n=1是否成立，特別是大題時。1．已知為數(shù)列的前項和，，，則（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【分析】利用求得，進而求得.【詳解】當(dāng)時，，因為，所以．當(dāng)時，由得，兩式相減可得，即．因為，所以，，…，，可得，所以.故選：C2．等差數(shù)列的前項和記為，滿足，則數(shù)列的公差為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意求出，然后求解公差即可；【詳解】因為,所以，令解得：解得：又因為為等差數(shù)列，由此解得：故選：D3．已知數(shù)列滿足，設(shè)，則數(shù)列的前2023項和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意先求出，即可求出則可寫出的通項公式，再利用裂項相消即可求出答案.【詳解】因為①，當(dāng)時，；當(dāng)時，②，①-②化簡得，當(dāng)時：，也滿足，所以，，所以的前2023項和.故選：B.題型06待定系數(shù)或者同除構(gòu)造二階等比?技巧積累與運用二階等比構(gòu)造法有兩種方法：1.形如為常數(shù)）,構(gòu)造等比數(shù)列。特殊情況下，當(dāng)q為2時，=p，2.形如，變形為，新數(shù)列累加法即可1．已知數(shù)列滿足，則的通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題中等式，可得，再結(jié)合時，可得.【詳解】當(dāng)時，有，所以，當(dāng)時，由，，兩式相減得，此時，，也滿足，所以的通項公式為.故選：B.2．在數(shù)列中，，，則的值為（

）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】B【分析】由已知條件利用數(shù)列的遞推公式，依次令，3，4，5，結(jié)合遞推思想能求出結(jié)果．【詳解】在數(shù)列中，，，，，，．故選：B．3．已知數(shù)列中，（且，則數(shù)列通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知得，進而確定數(shù)列的通項公式，即可求.【詳解】由，知：且()，而，，∴是首項、公比都為3的等比數(shù)列，即，故選：C題型07等差等比同構(gòu)型?技巧積累與運用二階f（n）型構(gòu)造法有兩種方法：1.形如為常數(shù)）,構(gòu)造等比數(shù)列。2.形如，變形為，新數(shù)列累加法即可1．前項和為的數(shù)列滿足，若，則的最小值為（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】B【分析】先判斷是等比數(shù)列，求得，進而求得，利用分組求和法求得，由此化簡不等式來求得的范圍，進而求得的最小值.【詳解】因為，所以，且，所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以，令，解得，所以，所以的最小值為.故選：B2．在數(shù)列中，，，若，則n的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，構(gòu)造數(shù)列，可得到，由此證明是等比數(shù)列，求出，結(jié)合其單調(diào)性，可求得答案.【詳解】因為，所以.因為，所以，所以數(shù)列是首項和公比都是2的等比數(shù)列，則，即,因為，所以數(shù)列是遞增數(shù)列,因為，，所以滿足的n的最小值是10,故選：C3．等差數(shù)列滿足為其前項和，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)求出公差和首項，得到通項公式，得到答案.【詳解】等差數(shù)列滿足，分別令，2得，①，②，②-①可得③，將③代入①可知，通項公式，經(jīng)檢驗符合題意.故.故選：C題型08周期數(shù)列?技巧積累與運用常見周期數(shù)列：若數(shù)列{an}滿足若數(shù)列{an}滿足若數(shù)列{an}滿足若數(shù)列{an}滿足若數(shù)列{an}滿足1．已知無窮正整數(shù)數(shù)列滿足，則的可能值有（

）個A．2 B．4 C．6 D．9【答案】C【分析】變形給定的遞推公式，由，推導(dǎo)出矛盾，從而得，再代入即可分析求解.【詳解】由，得，當(dāng)時，，兩式相減得，即，于是，依題意，若，有，則，即是遞減數(shù)列，由于是無窮正整數(shù)數(shù)列，則必存在，使得與矛盾，因此，即，于是數(shù)列是周期為2的周期數(shù)列，當(dāng)時，由，得，即，從而，所以的可能值有6個.故選：C【點睛】思路點睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認(rèn)真分析遞推公式并進行變形，結(jié)合已知條件探討項間關(guān)系而解決問題.2．若數(shù)列滿足，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)遞推關(guān)系推出數(shù)列的周期性即可.【詳解】因為，所以，，，所以是周期為的數(shù)列，故.故選：C3．已知在數(shù)列中，，，則數(shù)列的周期為

（

）A．3 B．6 C．9 D．15【答案】B【分析】構(gòu)造數(shù)列，通過正切函數(shù)的周期性可得.【詳解】由聯(lián)想到兩角和的正切公式，把換為，則，，，；所以，即.所以數(shù)列的周期為6.故選：B.題型09分式倒數(shù)型?技巧積累與運用形如，可以取倒數(shù)變形為；1．若數(shù)列滿足遞推關(guān)系式，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用取倒數(shù)法可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式即可求解.【詳解】因為，所以，所以，又，所以，故數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，得，所以.故選：A2．在數(shù)列中，已知，，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】通過取倒數(shù)的方法，證得數(shù)列是等差數(shù)列，求得，進而求出，解決問題即可.【詳解】由，，取倒數(shù)得：，則是以為首項，為公差的等差數(shù)列．所以，所以；由于，故．故選：C.3．已知數(shù)列中，且，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】采用倒數(shù)法可證得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項公式可推導(dǎo)得到，得解.【詳解】由得：，又，數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，，，，，故選：A．題型10分式換元待定系數(shù)型?技巧積累與運用形如，可以取倒數(shù)變形為，再構(gòu)造等比1．已知數(shù)列滿足，（），則滿足的的最小取值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由題意可得，即可得數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可計算出數(shù)列的通項公式，再解出不等式即可得解.【詳解】因為，所以，所以，又，所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以．由，得，即，解得．因為為正整數(shù)，所以的最小值為7．故選：C.2．設(shè)數(shù)列的前項和為，，，若，則正整數(shù)的值為（

）A．2024 B．2023 C．2022 D．2021【答案】C【分析】根據(jù)遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列求出通項公式，再由分組求和及放縮法得出的范圍即可.【詳解】由，兩邊取倒數(shù)可得：，即，又，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以，故，令由且，則，由，則，則，所以，故，則正整數(shù)的值為2022．故選：C3．設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，若，則正整數(shù)的值為（

）A．2024 B．2023 C．2022 D．2021【答案】B【分析】由題設(shè)有，等比數(shù)列定義求通項公式，進而有求，再由及放縮法確定范圍求參數(shù)值.【詳解】，又，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以，故，令由且，則，由，則，則，所以，故，則正整數(shù)的值為2023.故選：B題型11奇偶分段型?技巧積累與運用討論型：1.分段數(shù)列2.奇偶各自是等差，等比或者其他數(shù)列1．已知數(shù)列滿足：為正整數(shù)，，若，則所有可能的取值的集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定的遞推公式，按相鄰前一項是偶數(shù)、奇數(shù)分類倒推求解.【詳解】依題意，是正整數(shù)，當(dāng)是奇數(shù)時，，無解；當(dāng)是偶數(shù)時，，解得；當(dāng)是奇數(shù)時，，解得，顯然不可能為奇數(shù)，否則為偶數(shù)，因此為偶數(shù)，，解得；當(dāng)是偶數(shù)時，，解得，若為奇數(shù)，則，無解，若為偶數(shù)，則，解得，所以所有可能的取值的集合為.故選：C2．已知數(shù)列滿足.①；②是等差數(shù)列；③是等比數(shù)列；④數(shù)列前項和為.上述語句正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】依次代入n的值即可判斷①，利用等比數(shù)列的定義即可判斷②③；根據(jù)②③可以求出數(shù)列的通項公式，然后利用分組求和即可判斷④.【詳解】對于①，，故①正確；對于②，令，由①知，，，所以，是公比為2的等比數(shù)列，即是公比為2的等比數(shù)列，故不是等差數(shù)列，故②錯誤；對于③，令，由①知，，所以，，所以是等比數(shù)列，即是等比數(shù)列，故③正確；對于④，由②知，，，數(shù)列前項和為數(shù)列前n項的和與數(shù)列前n項的和的和，即所求和為.又，，所以，故④正確；故選：D.3．?dāng)?shù)列滿足且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令,得到，構(gòu)造等比數(shù)列，然后求出通項公式，然后即可得解.【詳解】令，由題意可得，所以，所以，又，所以數(shù)列是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即所以，故選：C.題型12“和”定型?技巧積累與運用滿足，稱為“和”數(shù)列，常見如下幾種：1.“和”常數(shù)型：，則數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項各自是常數(shù)數(shù)列2.“和”等差型：則再寫一個做差，數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項各自是等差數(shù)列3.“和”二次型：，則可以則再寫一個做差，化歸為前邊”和“等差數(shù)列形式4.“和”換元型：同構(gòu)換元，化歸為常見的形式1．設(shè)為數(shù)列的前n項和，若，且存在，，則的取值集合為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用可證明得數(shù)列和都是公差為2的等差數(shù)列，再可求得，有了這些信息，就可以從的取值分析并求解出結(jié)果.【詳解】因為，所以，假設(shè)，解得或（舍去），由存在，，所以有或，由可得，，兩式相減得：，當(dāng)時，有，即，根據(jù)可知：數(shù)列奇數(shù)項是等差數(shù)列，公差為2，所以，解得，當(dāng)時，有，即，根據(jù)可知：數(shù)列偶數(shù)項也是等差數(shù)列，公差為2，所以，解得，由已知得，所以.故選：A.2．已知數(shù)列滿足，則（

）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】B【分析】利用相減法得出數(shù)列的偶數(shù)項成等差數(shù)列，從而可把用表示，然后利用求得結(jié)論．【詳解】由，可得7，且，兩式相減可得，即數(shù)列的偶數(shù)項是以6為公差的等差數(shù)列，則，所以．故選：B．3．已知數(shù)列滿足，則的前100項和為（

）A．2475 B．2500 C．2525 D．5050【答案】A【分析】由題可得，令，將問題轉(zhuǎn)化求，由等差數(shù)列的求和公式計算可得.【詳解】由，可得，，所以，令，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，由于，所以的前100項和為2475，故選：A題型13“隱形和”型1．已知，記數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的個數(shù)是（）（1）（2）（3）（4）的最小值為A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題根據(jù)題干條件等式求出其前項和的等式，然后作差即可求出的表達式，然后根據(jù)等差數(shù)列的前n項和及其性質(zhì)逐項解決問題.【詳解】因為①，所以②，且，①②兩式相減得：，滿足上式，所以，所以（1）正確；因為，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以（2）錯誤；因為，，所以，所以（3）正確；因為，下面考察函數(shù)的圖像（如圖所示），可知函數(shù)有最低點且在時取最小值，由于，，所以當(dāng)或者取得最小值，即，所以（4）正確.綜上得，（1）（3）（4）正確.故選：C.2．已知數(shù)列滿足，若，則的前2024項和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由數(shù)列的遞推式推得，從而得到，再由裂項相消法求和即可．【詳解】因為，當(dāng)時；當(dāng)時，，兩式相減可得，所以，經(jīng)檢驗當(dāng)時也成立，所以，所以，設(shè)的前項和為，則．故選：B．3．若數(shù)列滿足，的前項和為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合已知等式可得，進而化簡整理得到，由此可得；利用等比數(shù)列求和公式可求得，驗證即可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，，，；當(dāng)時，，解得：，不滿足，；當(dāng)時，，又滿足，.故選：D.能力培優(yōu)1．已知正項數(shù)列滿足且，則下列說法正確的（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則或【答案】AC【分析】代入，由因式分解解出，再由遞推關(guān)系確定數(shù)列的性質(zhì)可得A正確；代入，由因式分解解出，再由遞推關(guān)系確定數(shù)列的性質(zhì)可得C正確；舉反例設(shè)正項數(shù)列為常數(shù)列，利用求根公式求出可得D錯誤；分或7討論，當(dāng)時由求根公式求出，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷為遞減數(shù)列，可得B錯誤；【詳解】對于A，若，則，即，因為，所以，因為，所以，同理，即數(shù)列為奇數(shù)項為2，偶數(shù)項為3的數(shù)列，（也稱為不動點數(shù)列）所以，故A正確；對于C，若，則，即，因為，所以，或（舍去）由A選項的解析可得，即數(shù)列為奇數(shù)項為3，偶數(shù)項為2的數(shù)列，所以，故C正確；對于D，假設(shè)正項數(shù)列為常數(shù)列，則，即，解得，又，即，即，取代入上式，此時為無理數(shù)，當(dāng)，滿足，此時且，故D錯誤；對于B，若，由，即，解得或7，當(dāng)時，由A解析可得，此時正項數(shù)列為不動點的奇偶常數(shù)列，此時；當(dāng)時，由變形為，解得，不妨取，若，則，現(xiàn)在考慮，由二次函數(shù)關(guān)系可得開口向上，對稱軸為，當(dāng)時，判別式恒大于零，所以，所以正項數(shù)列為遞減數(shù)列，此時要大于2或3，此時，故B錯誤故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點有兩個，其一是能由已知遞推關(guān)系發(fā)現(xiàn)數(shù)列為不動點型數(shù)列，（不要嘗試去求解數(shù)列的通項，因為二次冪型遞推關(guān)系可能有兩個通項，難以判斷），然后由選項入手可解決ACD，其二時能發(fā)現(xiàn)數(shù)列為遞減數(shù)列可判斷B選項.2．已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前項和為，則（

）A．當(dāng)時，若遞增，則或B．當(dāng)時，數(shù)列是遞增數(shù)列C．當(dāng)，時，D．當(dāng)，時，【答案】BC【分析】根據(jù)建立關(guān)于的一元二次不等式，解出首項的取值范圍，判斷出A項的正誤；根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，證出當(dāng)時，從而判斷出數(shù)列的單調(diào)性，得出B項的正誤；當(dāng)，時，根據(jù)遞推關(guān)系證出，從而可得，由此推導(dǎo)出，進而利用等比數(shù)列的求和公式證出，判斷出C項的正誤；當(dāng)，時，利用遞推公式與不等式的性質(zhì)，計算出，從而判斷出D項的正誤．【詳解】對于A，若且數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)時，，由可得，又是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即，解得或，故A項錯誤；對于B，因為且，所以，數(shù)列是遞增數(shù)列，故B項正確；對于C，當(dāng)時，，結(jié)合，可知，，，可知是遞增數(shù)列，，則，即，所以，即，所以，當(dāng)時，，所以，所以，故C項正確；對于D，當(dāng)時，，可，所以，．因此的前項和為中，，結(jié)合，可知，綜上所述，當(dāng)，時，不成立，故D項錯誤．故選：BC【點睛】思路點睛：C選項關(guān)鍵在于通過放縮得到，然后利用累乘法和等比數(shù)列求和公式求解可得．3．?dāng)?shù)列滿足，，，表示落在區(qū)間的項數(shù)，其中，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由已知列出數(shù)列的部分項，得出數(shù)列的通項，根據(jù)數(shù)列的基本性質(zhì)以及錯位相減、裂項相消法求和，再逐一判斷各選項即可.【詳解】根據(jù)題意，列舉可得，數(shù)列的前若干項分別為1，2，3，3，4，5，6，6，….不難發(fā)現(xiàn)，.對于A，根據(jù)數(shù)列列舉可得：1，2，3，3，4，5，6，6，7，8，9，9，10，11，12，12，13，14，15，15，16，17，18，18….即落在區(qū)間上的有8，9，9，10，11，12，12，13，14，15，15，共有11項，因此，故A錯誤.對于B，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以它們均在中，故B正確.對于C，，故C正確.對于D，根據(jù)數(shù)列列舉可得：1，2，3，3，4，5，6，6，7，8，9，9，10，11，12，12，13，14，15，15，16，17，18，18….，可得，所以當(dāng)時，，而當(dāng)時，，所以此時不成立，故D錯誤.故選:BC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)于分奇偶列項法求和，主要是對通項做好裂項變形，拆分成合適的項進行消項，如本題中，靈活性比較強.本題屬于難題，考察基本數(shù)列、數(shù)列的基本性質(zhì).4．已知數(shù)列，滿足，（），，且數(shù)列的前項和為，則（

）A． B．C．若，則的最小值為5 D．當(dāng)時，【答案】BC【分析】先利用遞推關(guān)系式變形構(gòu)造數(shù)列求通項結(jié)合裂項相消法可判定A、B，利用條件及可得，再由錯位相減法可得結(jié)合不等式計算可判定C、D．【詳解】對AB，在數(shù)列中，，當(dāng)時，，所以，所以，所以，顯然數(shù)列為常數(shù)列．而，所以，則，故A錯誤，B正確．對CD，由，得，則，所以，則．兩式相減得，得，所以當(dāng)時，，所以，所以．顯然當(dāng)時，不等式不成立，當(dāng)時，不等式成立，所以的最小值為5，故C正確．當(dāng)時，，故D錯誤．故選：BC．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題AB選項的關(guān)鍵是構(gòu)造得到數(shù)列為常數(shù)列，則得到，再利用裂項求和即可.5．滿足，，的數(shù)列稱為盧卡斯數(shù)列，則（

）A．存在非零實數(shù)t，使得為等差數(shù)列B．存在非零實數(shù)t，使得為等比數(shù)列C．D．【答案】BCD【分析】對A、B：借助等差數(shù)列與等比數(shù)列定義計算即可得；對C：借助代入即可得；對D：由，得到，從而將展開后借助該式裂項相消即可得.【詳解】對A：若數(shù)列為等差數(shù)列，則有，即，由，故有恒成立，即有，無解，故不存在這樣的實數(shù)，故A錯誤；對B：若數(shù)列為等比數(shù)列，則有，即，由，故有恒成立，即有，即，解得，此時，故存在非零實數(shù)t，使得為等比數(shù)列，故B正確；對C：由，則，即有，故C正確；對D：由，故，故，故D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：D選項中關(guān)鍵點在于由，得到，從而將展開后可借助該式裂項相消.6．拋擲一枚不均勻的硬幣，正面向上的概率為，反面向上的概率為，記次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上的概率為，則數(shù)列的通項公式．【答案】．【分析】先由題意得到遞推公式，再構(gòu)造等比數(shù)列求出通項即可.【詳解】根據(jù)題意有：拋擲n次偶數(shù)次正面向上的情況由拋擲次偶數(shù)次正面向上的情況下第n次反面向上，或拋擲次奇數(shù)次正面向上的情況下第n次正面向上組成，可得遞推關(guān)系為，構(gòu)造數(shù)列，所以，即數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，又拋一次硬幣，偶數(shù)次正面向上為0次，此時，所以所以，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是能根據(jù)題意得到拋擲n次偶數(shù)次正面向上的情況由拋擲次偶數(shù)次正面向上的情況下第n次反面向上，或拋擲次奇數(shù)次正面向上的情況下第n次正面向上組成，進而得出遞推數(shù)列.7．已知首項為的正項數(shù)列滿足滿足，若存在，使得不等式成立，則的取值范圍為．【答案】【分析】先將已知等式兩邊取對數(shù)后由累乘法得到通項，再分為奇數(shù)和偶數(shù)時化簡不等式后結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性解一元二次不等式即可求出.【詳解】因為，所以，當(dāng)時，，所以，又，所以時也成立，所以，因為，當(dāng)為奇數(shù)時，上式變?yōu)椋?，因為為遞減數(shù)列，所以解得；當(dāng)為偶數(shù)時，上式變?yōu)椋?，解得；綜上，的取值范圍為，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于對已知不等式的變形，通過觀察分析取對數(shù)化簡后再累乘是關(guān)鍵.8．已知數(shù)列滿足，（），若，數(shù)列的前項和為，則．【答案】2022【分析】根據(jù)題目條件，利用的表達式，求出的表達式，再錯位相加求和，化簡可得的通項公式，即可求解.【詳解】由題意得：，即，兩式相加得：，數(shù)列滿足，（），所以，即，則，所以，故答案為：.【點睛】思路點睛：本題解決的難點在于以學(xué)習(xí)過的數(shù)列相關(guān)的知識為基礎(chǔ)，通過問題的特征，引出新的解題思路，然后在快速理解的基礎(chǔ)上，解決新問題.本題中主要是根據(jù)題目條件，聯(lián)想到數(shù)列的錯位相減求和，再根據(jù)條件和所求式進行構(gòu)造及推理，將平時常見的錯位相減求和轉(zhuǎn)化為本題中所用的錯位相加求和，可得所求式子的結(jié)果.9．已知數(shù)列{an}對任意的，都有，且．①當(dāng)時，．②若存在，當(dāng)且為奇數(shù)時，恒為常數(shù)P，則P＝．【答案】21【分析】根據(jù)通項公式確定{an}的周期性即可求，由題設(shè)可得，討論的奇偶性確定后續(xù)數(shù)列出現(xiàn)奇數(shù)項與相等，列方程求P的值.【詳解】由題設(shè)通項公式，可得，故從第二項開始形成周期為3的數(shù)列，而，故．當(dāng)時，為奇數(shù)時為偶數(shù)，故；若為奇數(shù)，由，故，不滿足；若為偶數(shù)，則直到為奇教，有，故，當(dāng)時滿足條件，此時，即，故答案為：2，1【點睛】關(guān)鍵點點睛：討論的奇偶性，判斷數(shù)列后續(xù)出現(xiàn)的奇數(shù)項與相等時是否為奇數(shù).10．若數(shù)列滿足，且對任意都有，則的最小值為.【答案】8【分析】根據(jù)題意，分析數(shù)列的前5項，結(jié)合遞推公式分析可得在中，最大為，設(shè)，分析可得，且，將其變形可得，可以得到數(shù)列是首項為﹣2，公比為的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列通項公式，則有，據(jù)此分析恒成立可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列滿足當(dāng)時，有，則，，分析可得：在中，最大為，設(shè)，則有，且，變形可得：，所以數(shù)列是首項為6﹣8＝﹣2，公比為的等比數(shù)列，則，則，即，又為遞增數(shù)列，且，所以若對任意任意都有成立，則，即的最小值為8；故答案為8【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式，注意查找規(guī)律，分析局部數(shù)列的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于難題.高考真題1．（2019浙江高考）設(shè)，數(shù)列中，，,則