導(dǎo)數(shù)中分類討論的三種常見類型高中數(shù)學(xué)中,分類討論思想是解決含有參數(shù)的復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的重要途徑,而所謂分類討論,就是當(dāng)問題所給的研究對象不能進(jìn)行統(tǒng)一的研究處理時,對研究對象按照某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,然后對每一類的對象進(jìn)行分別的研究并得出結(jié)論,最后綜合各類的研究結(jié)果對問題進(jìn)行整體的解釋.幾乎所有的高中生都對分類討論思想有所了解,而能正確運(yùn)用分類討論思想解決問題的不到一半,不能運(yùn)用分類討論思想解決具體問題的主要原因是對于一個復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題不知道該不該去分類以及如何進(jìn)行合理的分類,下面根據(jù)導(dǎo)數(shù)中3種比較常見的分類討論類型談?wù)剬?dǎo)數(shù)中如何把握對參數(shù)的分類討論.1.導(dǎo)函數(shù)根的大小比較實例1:求函數(shù)
,
的單調(diào)區(qū)間.分析:對于三次或三次以上的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間,基本上都是用求導(dǎo)法,所以對函數(shù)
進(jìn)行求導(dǎo)可以得到導(dǎo)函數(shù)
,觀察可知導(dǎo)函數(shù)可以因式分解為
,由此可知方程
有兩個實根
,
,由于
的范圍未知,要討論函數(shù)
的單調(diào)性,需要討論兩個根的大小,所以這里分
,
,
三種情況進(jìn)行討論:當(dāng)
時,
,
隨
的變化情況如下：-1+0_0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以,函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間為
和
,單調(diào)遞減區(qū)間為
.當(dāng)
時,
在
上恒成立,所以函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間為
,沒有單調(diào)遞減區(qū)間.當(dāng)
時,
,
隨
的變化情況如下：-1+0_0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以,函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間為
和
,單調(diào)遞減區(qū)間為
.綜上所述,當(dāng)
時,函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間為
和
,單調(diào)遞減區(qū)間為
;當(dāng)
時,函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間為
,沒有單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)
時,函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間為
和
,單調(diào)遞減區(qū)間為
.點(diǎn)評：這道題之所以要分情況討論,是因為導(dǎo)函數(shù)兩個根的大小不確定,而兩根的大小又會影響到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,而由于
,所以要分
,
,
三種情況,這里注意不能漏了
的情況.2.導(dǎo)函數(shù)的根的存在性討論實例2:求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間分析:這道題跟實例1一樣,可以用求導(dǎo)法討論單調(diào)區(qū)間,對函數(shù)
進(jìn)行求導(dǎo)可以得到導(dǎo)函數(shù)
,觀察可以發(fā)現(xiàn),該導(dǎo)函數(shù)無法因式分解,故無法確定方程
是否有實根,因此首先得考慮一下方程是否有解,所以我們可以求出根判別式
,若
即
,方程
沒有實根,即
在
上恒成立,所以
在
上單調(diào)遞增;若
即
,方程
有兩個相等的實根
,即
在
上恒成立,所以
在
上單調(diào)遞增;若
即
,則方程
有兩個不同實根,由求根公式可解得
,
,顯然
此時
,
隨
的變化情況如下：+0_0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增綜上所述,當(dāng)
時,
的單調(diào)遞增區(qū)間為
,沒有單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)
時,
的單調(diào)遞增區(qū)間為
和
,單調(diào)遞減區(qū)間為
點(diǎn)評：實例2和實例1都是求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,但是兩道題分類討論的情況不一樣,實例2主要是因為導(dǎo)函數(shù)所對應(yīng)的方程根的情況未知,所以需要討論根的存在性問題,而實例1是因為導(dǎo)函數(shù)所對應(yīng)的方程可以因式分解,所以可以確定方程的根肯定是存在的,因此不用再討論,而需要討論的是求出來兩個根的大小關(guān)系,實例2則相反,實例2在方程有兩個不同實根的情況下求出來的兩根大小已知,所以不用再討論。通過這兩道實例可以知道,在分情況討論的時候弄清楚討論的必要性是很重要的,不能以偏概全。3.導(dǎo)函數(shù)的根與給定區(qū)間的關(guān)系實例3:已知函數(shù)
,函數(shù)
,
,若
時,
的最小值是3,求實數(shù)
的值.(
是自然對數(shù)的底數(shù))分析：由題意可以求得
,且函數(shù)
的定義域為
,已知的是函數(shù)
在
上的最小值是3,而函數(shù)最值的討論通常是以單調(diào)性的討論為基礎(chǔ),所以可以先考慮函數(shù)
在
上的單調(diào)性,因此對
進(jìn)行求導(dǎo),得到導(dǎo)函數(shù)
,因為
,所以令
解得
,則
,
隨
的變化情況如下：_0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增這是
在
上的單調(diào)性,而要討論其在
上的單調(diào)性,這里涉及到
跟
的大小,也即是
是在給定區(qū)間內(nèi)還是在區(qū)間外的問題,可以知道,題目中并沒有條件可以讓我們確定
跟
的大小關(guān)系,所以這里需要分情況討論:若
即
,則
在
上單調(diào)遞減,
,令
,解得
(舍去)若
即
,則
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,所以
,令
,解得
,滿足條件.綜上所述,所求實數(shù)
的值為
.點(diǎn)評:這道題實質(zhì)上就是討論函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性,在這道例題中,導(dǎo)函數(shù)存在唯一的實根,所以可以確定原函數(shù)
在定義域
上的單調(diào)性,而要討論其在區(qū)間
的單調(diào)性,則涉及到
跟
的大小關(guān)系,也就是確定導(dǎo)函數(shù)等于零的點(diǎn)跟給定區(qū)間的關(guān)系.這道題中如果把
的范圍改為
,問題就稍微復(fù)雜一點(diǎn),首先得考慮導(dǎo)函數(shù)
根是否存在,可以發(fā)現(xiàn),如果
,則不存在導(dǎo)函數(shù)等于零的點(diǎn),此時
,函數(shù)
在
上單調(diào)遞減;而如果
,則導(dǎo)函數(shù)存在唯一的實根
,其中
又包含了兩種情況:
和
,如果
,那么
,
,此時
,函數(shù)
在
上單調(diào)遞減;至于
的情況,討論如實例3.分類討論思想是對研究對象進(jìn)行分類,簡化所要研究的對象,它是解決問題的一種邏輯方法,也是鍛煉人思維模式的方法,但在分類討論時要明確討論的對象以及按什么標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,做到不重復(fù)、不遺漏.導(dǎo)數(shù)中的分類討論在歷年高考中也是經(jīng)常出現(xiàn),主要是在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值中應(yīng)用比較多.導(dǎo)數(shù)問題中分類討論的方法摘要:近年,高考解答題對導(dǎo)數(shù)部分的考察幾乎都會涉及到對某個參數(shù)的分類討論,而考生的在這一題中的得分率并不高。主要原因有兩個,一是看不懂題意,二是不會分類討論。而分類討論在高考中處于重要的"地位":分類討論思想是歷年高考的必考內(nèi)容,它不僅是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn),而且是高考的難點(diǎn)。每年在中高檔題甚至在低檔題中都設(shè)置分類討論問題,通過分類討論考查推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和分析問題解決問題的能力。本人在幾年的教學(xué)生涯中,對這類問題作了一定的探討,并總結(jié)出了導(dǎo)數(shù)問題中解答問題的步驟及引起分類討論的原因。關(guān)鍵詞:單調(diào)區(qū)間,極值,分類,最值,取值范圍為了更好的解決導(dǎo)數(shù)中分類討論的問題,筆者建議按照下列步驟來解決導(dǎo)數(shù)解答題求導(dǎo)令=0求出=0的根作出導(dǎo)數(shù)的圖像或等價于導(dǎo)數(shù)的圖像(一般是二次函數(shù)或一次函數(shù)的圖像)由圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,極值,或最值規(guī)范了步驟后,在解題過程中涉及到的分類討論一般有:方程
=0的類型引起的討論、根的存在引起的討論、根的大小引起的討論、畫圖像時開口或斜率的討論、根與給定區(qū)間:或定義域的端點(diǎn)的大小的討論)下面筆者結(jié)合若干例題對上述的分類討論方法作一一闡述例1：若函數(shù)
（a≥0）,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：令
=0,即:
(注意這里方程的類型需要討論)
作出
的圖像,由圖像可知
在（0,2）上為減函數(shù),在（2,+∞）上為增函數(shù)若由，得<0,>0作出
的圖像,由圖像可知在綜上所述:
,
在(0,2)上為減函數(shù),在(2,+∞)上為增函數(shù)在例2:(08全國高考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1,a∈R,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解：令
(注意這里根的存在需要討論)若
,即
,則若由得，,上為增函數(shù)在上為減函數(shù)綜上所述:
時,




上為增函數(shù),在
上為減函數(shù)例3.(2010北京）已知函數(shù)
(
)=In(1+
)-
+
(
≥0)。求()的單調(diào)區(qū)間。解：令
=0,即:
(這里需要對方程
的類型討論)若k=0,則

在(-1,0)上為增函數(shù),在(0,+∞)上為減函數(shù)若k≠0,由
得,
(這里需要對兩個根的大小進(jìn)行討論)若k=1,則
＞０,
在(-1,＋∞）上為增函數(shù)若
,則
在
或
上為增函數(shù)在上為減函數(shù)若
,則
在
或
上為增函數(shù)在上為減函數(shù)綜上所述:若k=0,
在(-1,0)上為增函數(shù),在(0,+∞)上為減函數(shù)若
,
在
或
上為增函數(shù)在上為減函數(shù)若k=1,
在(-1,＋∞)上為增函數(shù)若
,
在
或
上為增函數(shù)在上為減函數(shù)例4.(2009北京理改編)設(shè)函數(shù)
,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間解：令
,即
(這里需要對方程
的類型討論)若ｋ＝０,則
,
在Ｒ上為增函數(shù)若k≠0則由
得,
(這里需要對
的斜率討論)若k>0則
在
上為減函數(shù),在
上為增函數(shù)若k<0,則
在
上為增函數(shù),在
上為減函數(shù)綜上所述:若k=0,
在Ｒ上為增函數(shù)若k>0則
在
上為減函數(shù),在
上為增函數(shù)若k<0,則
在
上為增函數(shù),在
上為減函數(shù)例5:(海南2011四校聯(lián)考)若對任意的范圍解：令
(對方程類型的討論)若p=0,則若p≠0,由得
(對兩根的大小,定義域的端點(diǎn)、給定區(qū)間的端點(diǎn)大小的討論)若,符合題意若

,不符合題意若

,符合題意若

,符合題意若

,符合題意若

,不符合題意若

,不符合題意若

,不符合題意綜上所述:p的取值范圍為
下面筆者就海南2010年高考的壓軸題來說明本人提出的解題步驟和討論方法具有一定的實用價值,當(dāng)然解答的過程可能不夠嚴(yán)謹(jǐn),處于定性的范圍,不足之處,望全體同仁多多指教。例6:(海南2010理)設(shè)函數(shù)