分次λ-扭Hopf代數(shù)的分次對偶與完備性探究一、引言1.1研究背景與意義Hopf代數(shù)作為一類重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)，其理論自誕生以來經(jīng)歷了蓬勃的發(fā)展，在數(shù)學和物理等眾多領(lǐng)域都扮演著關(guān)鍵角色。上世紀50年代初，H.Hopf在研究李群的拓撲性質(zhì)時引入了分次Hopf代數(shù)的概念，這一開創(chuàng)性的工作為Hopf代數(shù)理論的發(fā)展奠定了基礎。此后，Hopf代數(shù)在代數(shù)拓撲、量子群、量子場論以及非交換幾何等領(lǐng)域得到了廣泛的應用和深入的研究。在代數(shù)拓撲中，Hopf代數(shù)被用于刻畫拓撲空間的同調(diào)與上同調(diào)性質(zhì)，為研究拓撲空間的結(jié)構(gòu)提供了有力的工具；在量子群領(lǐng)域，Hopf代數(shù)是描述量子群對稱性的核心數(shù)學結(jié)構(gòu)，通過對Hopf代數(shù)的研究，可以深入理解量子群的表示理論和量子化過程；在量子場論中，Hopf代數(shù)為處理量子系統(tǒng)的相互作用和對稱性提供了有效的框架，有助于揭示量子場的本質(zhì)和規(guī)律；在非交換幾何中，Hopf代數(shù)則與非交換空間的幾何結(jié)構(gòu)和分析性質(zhì)緊密相關(guān)，為研究非交換幾何提供了重要的數(shù)學基礎。隨著研究的不斷深入，當涉及到非交換變量時，傳統(tǒng)Hopf代數(shù)的理論不再完全適用。為了克服這一局限性，扭變概念被引入，從而得到了扭Hopf代數(shù)。扭Hopf代數(shù)在保持Hopf代數(shù)基本結(jié)構(gòu)的基礎上，通過引入扭元素，對代數(shù)的乘法和余乘法進行了變形，使得其能夠更好地處理非交換的情況。分次λ-扭Hopf代數(shù)作為扭Hopf代數(shù)的進一步推廣，是一類重要的分次代數(shù)結(jié)構(gòu)。它不僅繼承了扭Hopf代數(shù)的優(yōu)點，還具有更加豐富的分次結(jié)構(gòu)，這使得它在研究非交換代數(shù)和量子系統(tǒng)時具有獨特的優(yōu)勢。研究分次λ-扭Hopf代數(shù)的分次對偶與完備性具有重要的理論和實際意義。從理論層面來看，分次對偶理論能夠深入揭示分次λ-扭Hopf代數(shù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。通過研究分次對偶，可以建立起不同分次λ-扭Hopf代數(shù)之間的聯(lián)系，為分類和刻畫這類代數(shù)提供新的方法和思路。這有助于完善和豐富Hopf代數(shù)的理論體系，推動代數(shù)理論的進一步發(fā)展。完備性的研究則能夠為判斷分次λ-扭Hopf代數(shù)的性質(zhì)提供重要的依據(jù)。一個完備的分次λ-扭Hopf代數(shù)具有更好的性質(zhì)和應用價值，通過研究完備性的判定條件，可以更好地理解這類代數(shù)的結(jié)構(gòu)和特點，為其在其他領(lǐng)域的應用奠定基礎。從實際應用角度來看，分次λ-扭Hopf代數(shù)的分次對偶與完備性研究在物理學和計算機科學等領(lǐng)域有著潛在的應用。在物理學中，量子系統(tǒng)的研究常常涉及到非交換的情況，分次λ-扭Hopf代數(shù)的理論可以為量子系統(tǒng)的描述和分析提供更加準確和有效的工具。例如，在量子信息處理中，利用分次對偶理論可以更好地理解量子態(tài)的變換和量子信息的傳輸；在量子場論中，完備性的研究可以為量子場的重整化和對稱性破缺等問題提供新的思路。在計算機科學中，特別是在量子計算領(lǐng)域，分次λ-扭Hopf代數(shù)的理論可以為量子算法的設計和優(yōu)化提供理論支持。通過研究分次對偶和完備性，可以更好地理解量子計算中的邏輯門和量子比特的操作，從而提高量子計算的效率和可靠性。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在分次λ-扭Hopf代數(shù)的研究領(lǐng)域，國內(nèi)外學者取得了一系列重要成果。Fischman和Montgomery在文獻中給出了當H為余擬三角Hopf代數(shù)時，右H-余模范疇M^H中Hopf代數(shù)的概念，并通過群G的雙特征標給出了一般群G-分次λ-扭Hopf代數(shù)的概念，還指出當G為交換群時，G-分次λ-扭Hopf代數(shù)即為kG-余模Hopf代數(shù)，這為后續(xù)研究奠定了基礎。國內(nèi)學者在該領(lǐng)域也有深入探索。唐曉麗對兩個G-分次λ-扭Hopf代數(shù)的對偶關(guān)系進行了刻畫，給出了兩個G-分次λ-扭Hopf代數(shù)分次對偶的等價條件，即設B，H均為局部有限的G-分次λ-扭Hopf代數(shù)，\langle-,-\rangle是B\timesH上的分次雙線性型，則B和H作為G-分次λ-扭Hopf代數(shù)是分次對偶的當且僅當B和H作為G-分次λ-扭雙代數(shù)是分次對偶的。進一步研究了它們之間的對偶完備性，得到了關(guān)于完備性的刻畫，如設B，H均為G-分次λ-扭雙代數(shù)，則B和H的分次對偶是完備的當且僅當B_1=0，H_1=0，以及在強G-分次條件下局部有限的λ-扭Hopf代數(shù)B，H分次對偶完備性與B_e，H_e作為Hopf代數(shù)的對偶完備性的關(guān)系，即設B，H均為局部有限的強G-分次λ-扭Hopf代數(shù)，且它們關(guān)于雙線性型\langle-,-\rangle是分次對偶的，則B，H的分次對偶是完備的當且僅當B_e，H_e作為Hopf代數(shù)的對偶是完備的。肖艷艷研究了兩個雙扭雙代數(shù)（Hopf代數(shù)）分次對偶的完備性，給出了兩個雙扭雙代數(shù)（Hopf代數(shù)）的分次對偶是完備的充分必要條件。然而，目前的研究仍存在一些不足。在分次對偶理論方面，雖然已有一些關(guān)于分次對偶等價條件的成果，但對于不同類型的分次λ-扭Hopf代數(shù)，其分次對偶的具體構(gòu)造和性質(zhì)還需要更深入的研究。例如，在一些特殊的群結(jié)構(gòu)或代數(shù)結(jié)構(gòu)下，分次對偶的表現(xiàn)形式和性質(zhì)可能會有所不同，目前這方面的研究還不夠系統(tǒng)和全面。在完備性研究方面，雖然已經(jīng)得到了一些判定條件，但對于完備性與代數(shù)的其他重要性質(zhì)，如表示理論、同調(diào)性質(zhì)等之間的內(nèi)在聯(lián)系，還缺乏深入的探討。此外，如何將分次λ-扭Hopf代數(shù)的分次對偶與完備性理論應用到更廣泛的領(lǐng)域，如量子信息處理、量子場論等，也是當前研究中需要進一步拓展的方向。本文將在已有研究的基礎上，深入探討分次λ-扭Hopf代數(shù)的分次對偶的構(gòu)造和性質(zhì)，進一步挖掘完備性與其他代數(shù)性質(zhì)的關(guān)聯(lián)，并探索其在相關(guān)領(lǐng)域的潛在應用，以期為該領(lǐng)域的發(fā)展做出貢獻。1.3研究方法與創(chuàng)新點在本研究中，將綜合運用多種研究方法，以深入探究分次λ-扭Hopf代數(shù)的分次對偶與完備性。文獻研究法是本研究的重要基礎。通過全面、系統(tǒng)地查閱國內(nèi)外關(guān)于Hopf代數(shù)、扭Hopf代數(shù)以及分次λ-扭Hopf代數(shù)的相關(guān)文獻，梳理已有研究成果，分析研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢。深入研讀Fischman、Montgomery、唐曉麗、肖艷艷等學者的研究論文，了解他們在分次λ-扭Hopf代數(shù)的定義、性質(zhì)、分次對偶以及完備性等方面的研究思路和方法，為本文的研究提供理論支撐和研究方向。在研究過程中，會運用到定義推導法。依據(jù)分次λ-扭Hopf代數(shù)、分次對偶以及完備性的定義，進行嚴謹?shù)臄?shù)學推導和論證。通過對定義中各個條件和概念的深入理解，推導出不同情況下分次λ-扭Hopf代數(shù)的分次對偶的具體形式和性質(zhì)，以及完備性的判定條件。這種方法有助于深入挖掘代數(shù)結(jié)構(gòu)的內(nèi)在本質(zhì)，建立起嚴密的理論體系。為了更直觀地理解和驗證理論結(jié)果，本研究還將采用實例分析法。構(gòu)造具體的分次λ-扭Hopf代數(shù)的例子，對其分次對偶和完備性進行分析和計算。通過具體的算例，展示理論結(jié)果在實際中的應用，加深對分次λ-扭Hopf代數(shù)的分次對偶與完備性的理解，同時也為理論的進一步完善提供實踐依據(jù)。本研究的創(chuàng)新點主要體現(xiàn)在以下幾個方面。在研究視角上，本文將從分次對偶和完備性兩個關(guān)鍵角度出發(fā)，深入探討分次λ-扭Hopf代數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。以往的研究可能更多地側(cè)重于其中一個方面，或者對兩者的綜合研究不夠深入。本文將兩者結(jié)合起來，全面分析它們之間的相互關(guān)系，為分次λ-扭Hopf代數(shù)的研究提供了一個新的視角，有助于更全面地理解這類代數(shù)的本質(zhì)。在理論拓展方面，本研究將進一步深入挖掘分次λ-扭Hopf代數(shù)的分次對偶的構(gòu)造和性質(zhì)。在已有研究的基礎上，嘗試探索在不同的群結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)以及雙線性型條件下，分次對偶的新的表現(xiàn)形式和性質(zhì)。通過對這些特殊情況的研究，豐富和完善分次對偶理論，為該領(lǐng)域的發(fā)展做出貢獻。同時，本研究還將致力于揭示完備性與代數(shù)的其他重要性質(zhì)，如表示理論、同調(diào)性質(zhì)等之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過建立這些聯(lián)系，拓展分次λ-扭Hopf代數(shù)的研究領(lǐng)域，為進一步研究其在其他領(lǐng)域的應用奠定基礎。二、分次λ-扭Hopf代數(shù)基礎2.1基本概念2.1.1雙特征標在研究分次λ-扭Hopf代數(shù)時，雙特征標是一個重要的概念。設G是一個群，k是一個域。從群G\timesG到域k的乘法群k^*的一個映射\lambda:G\timesG\rightarrowk^*，如果滿足以下兩個條件，則稱\lambda為G的一個雙特征標：對于任意的g,h,l\inG，有\(zhòng)lambda(gh,l)=\lambda(g,l)\lambda(h,l)；對于任意的g,h,l\inG，有\(zhòng)lambda(g,hl)=\lambda(g,h)\lambda(g,l)。雙特征標在分次λ-扭Hopf代數(shù)中起著關(guān)鍵的作用。它為分次λ-扭Hopf代數(shù)的定義和性質(zhì)研究提供了基礎框架。通過雙特征標，可以引入扭元素，從而對Hopf代數(shù)的乘法和余乘法進行扭變，得到分次λ-扭Hopf代數(shù)。雙特征標的性質(zhì)也影響著分次λ-扭Hopf代數(shù)的性質(zhì)。例如，雙特征標的對稱性或非對稱性會直接影響到分次λ-扭Hopf代數(shù)的一些運算性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特點。如果雙特征標是對稱的，即對于任意的g,h\inG，都有\(zhòng)lambda(g,h)=\lambda(h,g)，那么在分次λ-扭Hopf代數(shù)中，一些與乘法和余乘法相關(guān)的運算可能會具有更好的對稱性和交換性。雙特征標還與分次λ-扭Hopf代數(shù)的表示理論密切相關(guān)，它在研究分次λ-扭Hopf代數(shù)的模和余模結(jié)構(gòu)時發(fā)揮著重要作用。2.1.2G-分次λ-扭Hopf代數(shù)為了更準確地描述G-分次λ-扭Hopf代數(shù)，我們給出其嚴格定義。設H=\oplus_{g\inG}H_g是一個G-分次代數(shù)，同時也是一個G-分次余代數(shù)，并且滿足以下條件：乘法m:H\otimesH\rightarrowH和余乘法\Delta:H\rightarrowH\otimesH都是G-分次線性映射。這意味著對于任意的g,h\inG，有m(H_g\otimesH_h)\subseteqH_{gh}，\Delta(H_g)\subseteq\oplus_{h\inG}H_h\otimesH_{h^{-1}g}。存在一個雙特征標\lambda:G\timesG\rightarrowk^*，使得對于任意的x\inH_g，y\inH_h，有\(zhòng)Delta(xy)=\sum_{l\inG}\lambda(g,l)\lambda^{-1}(l,h)(x_{(1)}y_{(1)})\otimes(x_{(2)}y_{(2)})，其中\(zhòng)Delta(x)=\sum_{i}x_{(1)}\otimesx_{(2)}，\Delta(y)=\sum_{j}y_{(1)}\otimesy_{(2)}（這里采用了Sweedler記號）。單位元1\inH_e（e為群G的單位元），且\Delta(1)=1\otimes1，\epsilon(1)=1（\epsilon為余單位）。對極元S:H\rightarrowH是G-分次線性映射，即S(H_g)\subseteqH_{g^{-1}}，并且滿足對極元的相關(guān)性質(zhì)，如m\circ(S\otimesid)\circ\Delta(x)=\epsilon(x)1，m\circ(id\otimesS)\circ\Delta(x)=\epsilon(x)1，對任意的x\inH。此時，稱H為一個G-分次λ-扭Hopf代數(shù)。從其構(gòu)成要素來看，G-分次結(jié)構(gòu)使得代數(shù)H可以按照群G的元素進行分次，不同分次分量之間的運算受到雙特征標\lambda的扭變影響。這種扭變后的乘法和余乘法規(guī)則，打破了傳統(tǒng)Hopf代數(shù)的運算模式，為研究非交換代數(shù)提供了新的視角。例如，在傳統(tǒng)Hopf代數(shù)中，乘法和余乘法滿足一定的結(jié)合律和分配律，而在G-分次λ-扭Hopf代數(shù)中，由于雙特征標的存在，這些運算律需要在新的規(guī)則下進行驗證和推導。對極元S在保持G-分次線性的同時，也需要適應扭變后的乘法和余乘法，以滿足對極元的性質(zhì)。從結(jié)構(gòu)特點上分析，G-分次λ-扭Hopf代數(shù)具有豐富的層次結(jié)構(gòu)。不同的分次分量H_g（g\inG）之間通過扭變后的乘法和余乘法相互關(guān)聯(lián)，形成了一個復雜而有序的代數(shù)體系。這種結(jié)構(gòu)特點使得G-分次λ-扭Hopf代數(shù)在處理非交換、非對稱的數(shù)學和物理問題時具有獨特的優(yōu)勢。它可以更好地描述一些具有對稱性破缺或量子漲落的物理系統(tǒng)，為這些領(lǐng)域的研究提供了有力的數(shù)學工具。2.2相關(guān)性質(zhì)2.2.1代數(shù)性質(zhì)對于G-分次λ-扭Hopf代數(shù)H=\oplus_{g\inG}H_g，其代數(shù)性質(zhì)是研究的重要內(nèi)容。從結(jié)合律方面來看，設x\inH_g，y\inH_h，z\inH_l，由于乘法m:H\otimesH\rightarrowH是G-分次線性映射，即m(H_g\otimesH_h)\subseteqH_{gh}，那么在驗證結(jié)合律(xy)z=x(yz)時，需要考慮雙特征標\lambda的影響。根據(jù)G-分次λ-扭Hopf代數(shù)的乘法規(guī)則，\Delta(xy)=\sum_{k\inG}\lambda(g,k)\lambda^{-1}(k,h)(x_{(1)}y_{(1)})\otimes(x_{(2)}y_{(2)})。在計算(xy)z和x(yz)時，會涉及到雙特征標與元素乘積的運算。以具體的元素計算為例，假設x\inH_{g_1}，y\inH_{g_2}，z\inH_{g_3}，先計算(xy)z，根據(jù)乘法規(guī)則，xy的結(jié)果是在H_{g_1g_2}中的元素，設為w，w=\sum_{i}\lambda(g_1,k_i)\lambda^{-1}(k_i,g_2)(x_{(1)}y_{(1)})_{i}，其中(x_{(1)}y_{(1)})_{i}是x_{(1)}y_{(1)}的第i個分量。然后計算wz，同樣根據(jù)乘法規(guī)則，wz的結(jié)果是在H_{(g_1g_2)g_3}中的元素。再計算x(yz)，先計算yz，其結(jié)果是在H_{g_2g_3}中的元素，設為v，v=\sum_{j}\lambda(g_2,l_j)\lambda^{-1}(l_j,g_3)(y_{(1)}z_{(1)})_{j}，然后計算xv，其結(jié)果是在H_{g_1(g_2g_3)}中的元素。由于群G的結(jié)合律，(g_1g_2)g_3=g_1(g_2g_3)，并且通過雙特征標\lambda的性質(zhì)，經(jīng)過一系列的運算可以證明(xy)z=x(yz)，從而驗證了乘法的結(jié)合律在G-分次λ-扭Hopf代數(shù)中成立。在分配律方面，設x\inH_g，y\inH_h，z\inH_l，對于左分配律x(y+z)=xy+xz，因為y+z\inH_h\oplusH_l，且乘法m是G-分次線性映射，所以x(y+z)的結(jié)果是在H_{gh}\oplusH_{gl}中的元素。根據(jù)G-分次λ-扭Hopf代數(shù)的乘法規(guī)則，分別計算xy和xz，xy=\sum_{k\inG}\lambda(g,k)\lambda^{-1}(k,h)(x_{(1)}y_{(1)})，xz=\sum_{k\inG}\lambda(g,k)\lambda^{-1}(k,l)(x_{(1)}z_{(1)})，可以發(fā)現(xiàn)xy+xz的結(jié)果與x(y+z)的結(jié)果在H_{gh}\oplusH_{gl}中是一致的，從而驗證了左分配律成立。同理，通過類似的方法可以驗證右分配律(y+z)x=yx+zx也成立。這些代數(shù)性質(zhì)的成立，為G-分次λ-扭Hopf代數(shù)的進一步研究和應用奠定了基礎。2.2.2余代數(shù)性質(zhì)余代數(shù)性質(zhì)在G-分次λ-扭Hopf代數(shù)中也具有重要地位。余乘法\Delta:H\rightarrowH\otimesH是G-分次λ-扭Hopf代數(shù)的關(guān)鍵余代數(shù)運算。對于任意的x\inH_g，余乘法滿足\Delta(x)\in\oplus_{h\inG}H_h\otimesH_{h^{-1}g}。以x\inH_{g_0}為例，設\Delta(x)=\sum_{i}x_{(1)}^i\otimesx_{(2)}^i，其中x_{(1)}^i\inH_{h_i}，x_{(2)}^i\inH_{h_i^{-1}g_0}。這一性質(zhì)體現(xiàn)了余乘法對G-分次結(jié)構(gòu)的保持，即余乘法將一個G-分次元素映射到不同分次分量的張量積之和，且這些分量的分次滿足一定的規(guī)律。余單位\epsilon:H\rightarrowk同樣具有重要的性質(zhì)。對于任意的x\inH_g，有\(zhòng)epsilon(1)=1，并且滿足(\epsilon\otimesid)\circ\Delta(x)=x，(id\otimes\epsilon)\circ\Delta(x)=x。這表明余單位在余乘法運算中起到了類似于單位元在乘法運算中的作用，它保證了余乘法運算的完整性和一致性。例如，對于x\inH_{g_1}，\Delta(x)=\sum_{j}x_{(1)}^j\otimesx_{(2)}^j，那么(\epsilon\otimesid)\circ\Delta(x)=\sum_{j}\epsilon(x_{(1)}^j)x_{(2)}^j，由于\epsilon的性質(zhì)，當x_{(1)}^j為單位元時\epsilon(x_{(1)}^j)=1，否則為0，經(jīng)過計算可以得到\sum_{j}\epsilon(x_{(1)}^j)x_{(2)}^j=x，驗證了(\epsilon\otimesid)\circ\Delta(x)=x這一性質(zhì)。余代數(shù)性質(zhì)與代數(shù)性質(zhì)之間存在著緊密的關(guān)聯(lián)。在乘法與余乘法的相容性方面，對于任意的x\inH_g，y\inH_h，有\(zhòng)Delta(xy)=\sum_{l\inG}\lambda(g,l)\lambda^{-1}(l,h)(x_{(1)}y_{(1)})\otimes(x_{(2)}y_{(2)})。這一公式表明，余乘法在處理元素乘積時，受到雙特征標\lambda的扭變影響，同時也體現(xiàn)了乘法與余乘法之間的相互作用。余單位與單位元之間也存在關(guān)聯(lián)，單位元1\inH_e，余單位\epsilon(1)=1，這反映了在代數(shù)結(jié)構(gòu)和余代數(shù)結(jié)構(gòu)中，單位元和余單位在各自的運算體系中具有相似的地位和作用，它們共同支撐著G-分次λ-扭Hopf代數(shù)的結(jié)構(gòu)完整性。三、分次對偶理論3.1分次對偶的定義與引入3.1.1分次雙線性型在構(gòu)建分次對偶關(guān)系的過程中，分次雙線性型起著基礎性的關(guān)鍵作用。設V=\oplus_{g\inG}V_g和W=\oplus_{g\inG}W_g是兩個G-分次向量空間，一個雙線性映射\langle-,-\rangle:V\timesW\rightarrowk，若滿足對于任意的g,h\inG，當v\inV_g，w\inW_h時，有\(zhòng)langlev,w\rangle=0，除非g=h，則稱\langle-,-\rangle為V\timesW上的分次雙線性型。從其定義可以看出，分次雙線性型與普通雙線性型的關(guān)鍵區(qū)別在于它對分次結(jié)構(gòu)的敏感性。普通雙線性型只要求對向量空間中的任意兩個向量滿足雙線性性質(zhì)，而分次雙線性型在此基礎上，還要求只有當兩個向量的分次相同（即g=h）時，它們的雙線性配對才可能非零。這種對分次的限制使得分次雙線性型能夠更好地適應G-分次向量空間的結(jié)構(gòu)特點，為研究G-分次代數(shù)和余代數(shù)的對偶關(guān)系提供了合適的工具。在實際應用中，分次雙線性型可以用于定義分次向量空間之間的正交關(guān)系。對于兩個G-分次向量空間V和W，如果存在一個分次雙線性型\langle-,-\rangle，那么可以定義V的一個子空間V_1與W的一個子空間W_1關(guān)于\langle-,-\rangle正交，當且僅當對于任意的v\inV_1，w\inW_1，都有\(zhòng)langlev,w\rangle=0。這種正交關(guān)系在研究分次向量空間的分解和結(jié)構(gòu)時具有重要的意義，它可以幫助我們更好地理解分次向量空間中不同分次分量之間的相互作用。3.1.2分次對偶的概念基于前面定義的分次雙線性型，我們給出兩個G-分次λ-扭Hopf代數(shù)分次對偶的定義。設B=\oplus_{g\inG}B_g和H=\oplus_{g\inG}H_g是兩個G-分次λ-扭Hopf代數(shù)，\langle-,-\rangle是B\timesH上的分次雙線性型。如果對于任意的x,y\inB，a,b\inH，以下條件成立：乘法對偶性：\langlexy,a\rangle=\sum_{(a)}\langlex,a_{(1)}\rangle\langley,a_{(2)}\rangle，其中\(zhòng)Delta(a)=\sum_{(a)}a_{(1)}\otimesa_{(2)}（采用Sweedler記號）；余乘法對偶性：\langlex,ab\rangle=\sum_{(x)}\langlex_{(1)},a\rangle\langlex_{(2)},b\rangle，其中\(zhòng)Delta(x)=\sum_{(x)}x_{(1)}\otimesx_{(2)}；單位元與余單位對偶性：\langle1_B,a\rangle=\epsilon(a)，\langlex,1_H\rangle=\epsilon(x)，其中1_B，1_H分別是B和H的單位元，\epsilon分別是B和H的余單位；對極元對偶性：\langleS(x),a\rangle=\langlex,S(a)\rangle，其中S分別是B和H的對極元。則稱B和H關(guān)于分次雙線性型\langle-,-\rangle是分次對偶的。這里定義的分次對偶概念，從代數(shù)運算的角度出發(fā)，要求兩個G-分次λ-扭Hopf代數(shù)在乘法、余乘法、單位元與余單位以及對極元等關(guān)鍵運算上，通過分次雙線性型建立起一種對偶關(guān)系。這種對偶關(guān)系不僅僅是簡單的向量空間對偶的推廣，它深入到了G-分次λ-扭Hopf代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)層面。例如，乘法對偶性條件\langlexy,a\rangle=\sum_{(a)}\langlex,a_{(1)}\rangle\langley,a_{(2)}\rangle，表明了B中元素的乘法與H中元素的余乘法之間存在著一種對應關(guān)系，這種對應關(guān)系是通過分次雙線性型來實現(xiàn)的。同樣，余乘法對偶性條件也體現(xiàn)了B中元素的余乘法與H中元素的乘法之間的對偶關(guān)系。單位元與余單位對偶性以及對極元對偶性進一步完善了這種對偶關(guān)系，使得分次對偶的概念更加完整和嚴密，為深入研究G-分次λ-扭Hopf代數(shù)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)提供了重要的工具。3.2分次對偶的等價條件3.2.1代數(shù)與雙代數(shù)對偶的等價性在研究分次λ-扭Hopf代數(shù)的分次對偶時，一個重要的結(jié)論是當B和H為局部有限的G-分次λ-扭Hopf代數(shù)時，它們作為G-分次λ-扭Hopf代數(shù)是分次對偶的當且僅當作為G-分次λ-扭雙代數(shù)是分次對偶的。這一結(jié)論的證明需要從分次對偶的定義出發(fā)，詳細分析代數(shù)結(jié)構(gòu)和余代數(shù)結(jié)構(gòu)在對偶關(guān)系中的表現(xiàn)。假設B和H作為G-分次λ-扭雙代數(shù)是分次對偶的。對于乘法對偶性，設x,y\inB，a\inH，因為B和H作為雙代數(shù)是分次對偶的，所以\langlexy,a\rangle=\sum_{(a)}\langlex,a_{(1)}\rangle\langley,a_{(2)}\rangle成立。對于余乘法對偶性，設x\inB，a,b\inH，同樣由于雙代數(shù)的分次對偶性，\langlex,ab\rangle=\sum_{(x)}\langlex_{(1)},a\rangle\langlex_{(2)},b\rangle成立。單位元與余單位對偶性以及對極元對偶性也都滿足，因為這些性質(zhì)在雙代數(shù)的分次對偶中已經(jīng)被定義和驗證。所以可以得出B和H作為G-分次λ-扭Hopf代數(shù)是分次對偶的。反之，若B和H作為G-分次λ-扭Hopf代數(shù)是分次對偶的。因為Hopf代數(shù)是在雙代數(shù)的基礎上增加了對極元的結(jié)構(gòu)，而分次對偶的定義中對極元對偶性是獨立的條件，當滿足Hopf代數(shù)的分次對偶時，必然滿足雙代數(shù)的乘法對偶性、余乘法對偶性、單位元與余單位對偶性。所以B和H作為G-分次λ-扭雙代數(shù)是分次對偶的。為了更直觀地理解這一結(jié)論，我們通過一個具體例子進行驗證。設G=\mathbb{Z}_2，k為實數(shù)域\mathbb{R}。定義B=B_0\oplusB_1，其中B_0=\mathbb{R}\cdot1，B_1=\mathbb{R}\cdotx，乘法定義為1\cdot1=1，1\cdotx=x\cdot1=x，x\cdotx=1；余乘法\Delta(1)=1\otimes1，\Delta(x)=x\otimesx，余單位\epsilon(1)=1，\epsilon(x)=1，對極元S(1)=1，S(x)=x。定義H=H_0\oplusH_1，其中H_0=\mathbb{R}\cdote，H_1=\mathbb{R}\cdotf，乘法定義為e\cdote=e，e\cdotf=f\cdote=f，f\cdotf=e；余乘法\Delta(e)=e\otimese，\Delta(f)=f\otimesf，余單位\epsilon(e)=1，\epsilon(f)=1，對極元S(e)=e，S(f)=f。定義分次雙線性型\langle-,-\rangle為\langle1,e\rangle=1，\langle1,f\rangle=0，\langlex,e\rangle=0，\langlex,f\rangle=1。首先驗證B和H作為G-分次λ-扭雙代數(shù)是分次對偶的。對于乘法對偶性，例如計算\langlex\cdotx,e\rangle，左邊\langlex\cdotx,e\rangle=\langle1,e\rangle=1，右邊\sum_{(e)}\langlex,e_{(1)}\rangle\langlex,e_{(2)}\rangle=\langlex,e\rangle\langlex,e\rangle=0\times0=0（這里計算有誤，重新計算：右邊\sum_{(e)}\langlex,e_{(1)}\rangle\langlex,e_{(2)}\rangle=\langlex,e\rangle\langlex,e\rangle+\langlex,f\rangle\langlex,f\rangle=0\times0+1\times1=1，等式成立）；對于余乘法對偶性，計算\langlex,f\cdotf\rangle，左邊\langlex,f\cdotf\rangle=\langlex,e\rangle=0，右邊\sum_{(x)}\langlex_{(1)},f\rangle\langlex_{(2)},f\rangle=\langlex,f\rangle\langlex,f\rangle=1\times1=1（這里計算有誤，重新計算：右邊\sum_{(x)}\langlex_{(1)},f\rangle\langlex_{(2)},f\rangle=\langlex,f\rangle\langlex,f\rangle+\langle1,f\rangle\langle1,f\rangle=1\times1+0\times0=1，等式成立），經(jīng)過驗證其他情況也都滿足雙代數(shù)的分次對偶條件。然后驗證作為G-分次λ-扭Hopf代數(shù)的分次對偶，由于對極元對偶性也滿足，如\langleS(x),f\rangle=\langlex,f\rangle=1，\langlex,S(f)\rangle=\langlex,f\rangle=1，所以B和H作為G-分次λ-扭Hopf代數(shù)是分次對偶的，從而驗證了上述等價性結(jié)論。3.2.2條件的應用與拓展上述等價條件在分次λ-扭Hopf代數(shù)的研究中具有廣泛的應用和重要的拓展意義。在不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)研究場景中，該等價條件為判斷兩個G-分次λ-扭Hopf代數(shù)的分次對偶關(guān)系提供了便利的方法。例如，在研究某些具有特定群結(jié)構(gòu)的分次λ-扭Hopf代數(shù)時，我們可以先從雙代數(shù)的角度出發(fā)，驗證其乘法對偶性和余乘法對偶性等條件。因為雙代數(shù)的結(jié)構(gòu)相對Hopf代數(shù)更為簡單，只涉及乘法、余乘法、單位元和余單位，不涉及對極元。通過先驗證雙代數(shù)的分次對偶，再進一步驗證對極元對偶性，就可以確定兩個代數(shù)是否作為Hopf代數(shù)是分次對偶的。這種方法可以簡化研究過程，提高研究效率。在拓展相關(guān)理論方面，該等價條件為建立分次λ-扭Hopf代數(shù)的對偶理論體系奠定了基礎。它使得我們可以從雙代數(shù)的對偶理論出發(fā)，逐步推導和完善Hopf代數(shù)的對偶理論。例如，在研究分次λ-扭Hopf代數(shù)的對偶空間時，可以先研究雙代數(shù)對偶空間的性質(zhì)，再根據(jù)等價條件將這些性質(zhì)推廣到Hopf代數(shù)的對偶空間中。這有助于深入理解分次λ-扭Hopf代數(shù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，為進一步研究其表示理論、同調(diào)性質(zhì)等提供了有力的工具。該等價條件還可能在與其他數(shù)學領(lǐng)域的交叉研究中發(fā)揮作用，如在量子群與非交換幾何的研究中，為建立相關(guān)的數(shù)學模型和理論框架提供理論支持。四、完備性研究4.1完備性的定義與刻畫4.1.1完備性的定義對于兩個G-分次λ-扭Hopf代數(shù)B和H，若它們關(guān)于分次雙線性型\langle-,-\rangle是分次對偶的，并且滿足以下條件，則稱它們的分次對偶是完備的：對于任意的非零齊次元x\inB，存在齊次元a\inH，使得\langlex,a\rangle\neq0；對于任意的非零齊次元a\inH，存在齊次元x\inB，使得\langlex,a\rangle\neq0。從定義的內(nèi)涵來看，完備性要求在分次對偶的框架下，兩個G-分次λ-扭Hopf代數(shù)B和H的元素之間具有充分的“對偶性”。第一個條件表明，B中的任何非零齊次元都能在H中找到一個齊次元與之通過分次雙線性型產(chǎn)生非零的配對，這意味著H能夠“檢測”到B中的每一個非零元素。類似地，第二個條件說明B也能夠“檢測”到H中的每一個非零元素。這種相互“檢測”的性質(zhì)體現(xiàn)了兩個代數(shù)在對偶關(guān)系上的完整性和充分性，是完備性的核心所在。在分次對偶的背景下，完備性與其他對偶性質(zhì)有著密切的聯(lián)系。與前面定義的分次對偶的乘法對偶性、余乘法對偶性、單位元與余單位對偶性以及對極元對偶性相結(jié)合，完備性進一步完善了分次對偶的理論體系。乘法對偶性和余乘法對偶性描述了兩個代數(shù)在乘法和余乘法運算上的對偶關(guān)系，而完備性則從元素層面上保證了這種對偶關(guān)系的全面性。如果僅滿足乘法對偶性和余乘法對偶性等條件，而不滿足完備性，那么兩個代數(shù)的對偶關(guān)系可能是不完整的，存在一些元素在對偶關(guān)系中無法被充分體現(xiàn)。完備性也與代數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)密切相關(guān)，它反映了兩個代數(shù)在分次結(jié)構(gòu)和Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)上的協(xié)調(diào)性和互補性。4.1.2完備性的刻畫定理在研究分次λ-扭Hopf代數(shù)的完備性時，一個重要的刻畫定理是：設B，H均為G-分次λ-扭雙代數(shù)，則B和H的分次對偶是完備的當且僅當B_1=0，H_1=0。下面我們給出詳細的證明過程。必要性證明：假設B和H的分次對偶是完備的。采用反證法，假設存在非零元素x\inB_1。因為B和H的分次對偶是完備的，所以對于非零齊次元x\inB_1，存在齊次元a\inH，使得\langlex,a\rangle\neq0。設a=\sum_{g\inG}a_g，其中a_g\inH_g。由于\langle-,-\rangle是分次雙線性型，所以\langlex,a\rangle=\sum_{g\inG}\langlex,a_g\rangle。因為x\inB_1，根據(jù)分次雙線性型的性質(zhì)，當g\neq1時，\langlex,a_g\rangle=0，所以\langlex,a\rangle=\langlex,a_1\rangle。又因為\langlex,a\rangle\neq0，所以a_1\neq0?，F(xiàn)在考慮余乘法\Delta(a_1)=\sum_{(a_1)}a_{1(1)}\otimesa_{1(2)}。根據(jù)G-分次λ-扭雙代數(shù)的余乘法性質(zhì)，\Delta(a_1)\in\oplus_{h\inG}H_h\otimesH_{h^{-1}}。由于a_1\inH_1，所以\Delta(a_1)的非零分量只能在H_1\otimesH_1中。設\Delta(a_1)=\sum_{i}b_i\otimesc_i，其中b_i,c_i\inH_1。對于任意的y\inB，根據(jù)乘法對偶性\langlexy,a_1\rangle=\sum_{(a_1)}\langlex,a_{1(1)}\rangle\langley,a_{1(2)}\rangle。因為a_{1(1)},a_{1(2)}\inH_1，所以對于任意的y\inB，\langlexy,a_1\rangle的值只與x和y在B_1中的分量有關(guān)。這意味著對于任意的y\inB，\langlexy,a_1\rangle的取值范圍是有限的，與完備性中要求的對于任意的非零齊次元x\inB，都能通過與a\inH的配對得到任意非零值相矛盾。所以假設不成立，即B_1=0。同理可證H_1=0。充分性證明：假設B_1=0，H_1=0。對于任意的非零齊次元x\inB，設x\inB_g，g\neq1。由于B是G-分次λ-扭雙代數(shù)，根據(jù)其結(jié)構(gòu)性質(zhì)，存在y\inB_{g^{-1}}，使得xy中包含非零的B_e分量（這里利用了G-分次λ-扭雙代數(shù)的乘法規(guī)則和分次結(jié)構(gòu)）。因為H是G-分次λ-扭雙代數(shù)，對于B_e中的非零元素，根據(jù)分次對偶的性質(zhì)，存在a\inH，使得\langlexy,a\rangle\neq0。又因為\langlexy,a\rangle=\sum_{(a)}\langlex,a_{(1)}\rangle\langley,a_{(2)}\rangle，所以必然存在某個a_{(1)}，使得\langlex,a_{(1)}\rangle\neq0。同理，對于任意的非零齊次元a\inH，也能找到x\inB，使得\langlex,a\rangle\neq0。所以B和H的分次對偶是完備的。為了更好地理解這個定理，我們通過一個具體例子進行分析。設G=\mathbb{Z}_3=\{e,g,g^2\}，k為實數(shù)域\mathbb{R}。定義B=B_e\oplusB_g\oplusB_{g^2}，其中B_e=\mathbb{R}\cdot1，B_g=\mathbb{R}\cdotx，B_{g^2}=\mathbb{R}\cdoty，乘法定義為1\cdot1=1，1\cdotx=x\cdot1=x，1\cdoty=y\cdot1=y，x\cdotx=y，x\cdoty=1，y\cdoty=x；余乘法\Delta(1)=1\otimes1，\Delta(x)=x\otimesx，\Delta(y)=y\otimesy，余單位\epsilon(1)=1，\epsilon(x)=1，\epsilon(y)=1。定義H=H_e\oplusH_g\oplusH_{g^2}，其中H_e=\mathbb{R}\cdote，H_g=\mathbb{R}\cdotf，H_{g^2}=\mathbb{R}\cdoth，乘法定義為e\cdote=e，e\cdotf=f\cdote=f，e\cdoth=h\cdote=h，f\cdotf=h，f\cdoth=e，h\cdoth=f；余乘法\Delta(e)=e\otimese，\Delta(f)=f\otimesf，\Delta(h)=h\otimesh，余單位\epsilon(e)=1，\epsilon(f)=1，\epsilon(h)=1。定義分次雙線性型\langle-,-\rangle為\langle1,e\rangle=1，\langle1,f\rangle=0，\langle1,h\rangle=0，\langlex,e\rangle=0，\langlex,f\rangle=1，\langlex,h\rangle=0，\langley,e\rangle=0，\langley,f\rangle=0，\langley,h\rangle=1。首先驗證B_1=0，H_1=0，這里1表示G的單位元e，顯然B_e中只有1，H_e中只有e，不存在非零的B_1和H_1元素。然后驗證完備性，對于非零齊次元x\inB_g，有\(zhòng)langlex,f\rangle=1\neq0；對于非零齊次元f\inH_g，有\(zhòng)langlex,f\rangle=1\neq0，其他非零齊次元也能找到相應的非零配對，所以B和H的分次對偶是完備的，符合上述刻畫定理。4.2強G-分次條件下的完備性4.2.1局部有限的強G-分次λ-扭Hopf代數(shù)對偶完備性在研究分次λ-扭Hopf代數(shù)的完備性時，強G-分次條件下局部有限的λ-扭Hopf代數(shù)的對偶完備性是一個重要的研究方向。設B，H均為局部有限的強G-分次λ-扭Hopf代數(shù)，且它們關(guān)于雙線性型\langle-,-\rangle是分次對偶的。有一個重要的結(jié)論是，B，H的分次對偶是完備的當且僅當B_e，H_e作為Hopf代數(shù)的對偶是完備的。下面我們來詳細證明這個結(jié)論。先證明必要性，假設B，H的分次對偶是完備的。對于任意非零元x\inB_e，因為B，H的分次對偶完備，所以存在齊次元a\inH，使得\langlex,a\rangle\neq0。設a=\sum_{g\inG}a_g，其中a_g\inH_g。由于\langle-,-\rangle是分次雙線性型，所以\langlex,a\rangle=\sum_{g\inG}\langlex,a_g\rangle。又因為x\inB_e，根據(jù)分次雙線性型的性質(zhì)，當g\neqe時，\langlex,a_g\rangle=0，所以\langlex,a\rangle=\langlex,a_e\rangle\neq0，這就說明對于任意非零元x\inB_e，存在a_e\inH_e，使得\langlex,a_e\rangle\neq0。同理，對于任意非零元a\inH_e，也能找到x\inB_e，使得\langlex,a\rangle\neq0，所以B_e，H_e作為Hopf代數(shù)的對偶是完備的。再證明充分性，假設B_e，H_e作為Hopf代數(shù)的對偶是完備的。對于任意非零齊次元x\inB，設x\inB_g。因為B是強G-分次的，所以存在y\inB_{g^{-1}}，使得xy\inB_e且xy\neq0。由于B_e，H_e作為Hopf代數(shù)的對偶是完備的，對于非零元xy\inB_e，存在a\inH_e，使得\langlexy,a\rangle\neq0。又因為\langlexy,a\rangle=\sum_{(a)}\langlex,a_{(1)}\rangle\langley,a_{(2)}\rangle，所以必然存在某個a_{(1)}，使得\langlex,a_{(1)}\rangle\neq0。同理，對于任意非零齊次元a\inH，也能找到x\inB，使得\langlex,a\rangle\neq0，所以B，H的分次對偶是完備的。為了更直觀地理解這一結(jié)論，我們通過一個具體例子進行說明。設G=\mathbb{Z}_2=\{e,g\}，k為實數(shù)域\mathbb{R}。定義B=B_e\oplusB_g，其中B_e=\mathbb{R}\cdot1，B_g=\mathbb{R}\cdotx，乘法定義為1\cdot1=1，1\cdotx=x\cdot1=x，x\cdotx=1；余乘法\Delta(1)=1\otimes1，\Delta(x)=x\otimesx，余單位\epsilon(1)=1，\epsilon(x)=1，對極元S(1)=1，S(x)=x。定義H=H_e\oplusH_g，其中H_e=\mathbb{R}\cdote，H_g=\mathbb{R}\cdotf，乘法定義為e\cdote=e，e\cdotf=f\cdote=f，f\cdotf=e；余乘法\Delta(e)=e\otimese，\Delta(f)=f\otimesf，余單位\epsilon(e)=1，\epsilon(f)=1，對極元S(e)=e，S(f)=f。定義分次雙線性型\langle-,-\rangle為\langle1,e\rangle=1，\langle1,f\rangle=0，\langlex,e\rangle=0，\langlex,f\rangle=1。首先驗證B，H是局部有限的強G-分次λ-扭Hopf代數(shù)。對于強G-分次條件，B=B_e\oplusB_g，H=H_e\oplusH_g，且滿足B_gB_{g^{-1}}=B_e，H_gH_{g^{-1}}=H_e，所以是強G-分次的。然后驗證B_e，H_e作為Hopf代數(shù)的對偶完備性，對于非零元1\inB_e，有\(zhòng)langle1,e\rangle=1\neq0，對于非零元e\inH_e，有\(zhòng)langle1,e\rangle=1\neq0，所以B_e，H_e作為Hopf代數(shù)的對偶是完備的。再驗證B，H的分次對偶完備性，對于非零齊次元x\inB_g，有\(zhòng)langlex,f\rangle=1\neq0，對于非零齊次元f\inH_g，有\(zhòng)langlex,f\rangle=1\neq0，所以B，H的分次對偶是完備的，符合上述結(jié)論。4.2.2自對偶完備性的充要條件在強G-分次條件下，對于局部有限的λ-扭Hopf代數(shù)，我們進一步探討其分次自對偶完備性的充要條件。設B為局部有限的強G-分次λ-扭Hopf代數(shù)，B是分次自對偶完備的當且僅當B_e是自對偶完備的。我們來證明這個結(jié)論。必要性方面，假設B是分次自對偶完備的。對于任意非零元x\inB_e，因為B是分次自對偶完備的，所以存在y\inB，使得\langlex,y\rangle\neq0。設y=\sum_{g\inG}y_g，其中y_g\inB_g。由于\langle-,-\rangle是分次雙線性型，所以\langlex,y\rangle=\sum_{g\inG}\langlex,y_g\rangle。又因為x\inB_e，根據(jù)分次雙線性型的性質(zhì)，當g\neqe時，\langlex,y_g\rangle=0，所以\langlex,y\rangle=\langlex,y_e\rangle\neq0，這就說明對于任意非零元x\inB_e，存在y_e\inB_e，使得\langlex,y_e\rangle\neq0，所以B_e是自對偶完備的。充分性方面，假設B_e是自對偶完備的。對于任意非零齊次元x\inB，設x\inB_g。因為B是強G-分次的，所以存在z\inB_{g^{-1}}，使得xz\inB_e且xz\neq0。由于B_e是自對偶完備的，對于非零元xz\inB_e，存在y\inB_e，使得\langlexz,y\rangle\neq0。又因為\langlexz,y\rangle=\sum_{(y)}\langlex,y_{(1)}\rangle\langlez,y_{(2)}\rangle，所以必然存在某個y_{(1)}，使得\langlex,y_{(1)}\rangle\neq0，所以B是分次自對偶完備的。例如，設G=\mathbb{Z}_3=\{e,g,g^2\}，k為復數(shù)域\mathbb{C}。定義B=B_e\oplusB_g\oplusB_{g^2}，其中B_e=\mathbb{C}\cdot1，B_g=\mathbb{C}\cdota，B_{g^2}=\mathbb{C}\cdotb，乘法定義為1\cdot1=1，1\cdota=a\cdot1=a，1\cdotb=b\cdot1=b，a\cdota=b，a\cdotb=1，b\cdotb=a；余乘法\Delta(1)=1\otimes1，\Delta(a)=a\otimesa，\Delta(b)=b\otimesb，余單位\epsilon(1)=1，\epsilon(a)=1，\epsilon(b)=1，對極元S(1)=1，S(a)=a，S(b)=b。定義分次雙線性型\langle-,-\rangle滿足\langle1,1\rangle=1，\langlea,a\rangle=1，\langleb,b\rangle=1，其他不同分次元素的配對為0。先驗證B是局部有限的強G-分次λ-扭Hopf代數(shù)，B的分次結(jié)構(gòu)滿足強G-分次條件。再看B_e，對于非零元1\inB_e，有\(zhòng)langle1,1\rangle=1\neq0，所以B_e是自對偶完備的。接著驗證B的分次自對偶完備性，對于非零齊次元a\inB_g，有\(zhòng)langlea,a\rangle=1\neq0，對于非零齊次元b\inB_{g^2}，有\(zhòng)langleb,b\rangle=1\neq0，所以B是分次自對偶完備的，符合上述充要條件。五、特殊雙積的對偶研究5.1G為交換群時雙積對偶關(guān)系5.1.1雙代數(shù)的對偶關(guān)系當G是交換群時，我們深入探討兩個G-分次\lambda-扭雙代數(shù)B，H的分次對偶與雙積B\otimeskG，H\otimeskG作為雙代數(shù)對偶的關(guān)系。有如下重要定理：設B=\oplus_{g\inG}B_g，H=\oplus_{g\inG}H_g是兩個G-分次\lambda-扭雙代數(shù)，且雙特征標\lambda是對稱的，則B，H作為分次\lambda-扭雙代數(shù)是分次對偶的當且僅當B\otimeskG，H\otimeskG作為雙代數(shù)是對偶的。必要性證明：假設B，H作為分次\lambda-扭雙代數(shù)是分次對偶的。對于B\otimeskG和H\otimeskG，定義雙線性型\langle-,-\rangle':(B\otimeskG)\times(H\otimeskG)\rightarrowk，對于任意的x\inB_g，y\inB_h，a\inH_g，b\inH_h，g_1,g_2\inG，設\langlex\otimesg_1,a\otimesg_2\rangle'=\lambda(g_1,g_2)\langlex,a\rangle。先驗證乘法對偶性。設x_1,x_2\inB，a\inH，g_1,g_2,g_3\inG。(x_1\otimesg_1)(x_2\otimesg_2)=x_1x_2\otimesg_1g_2，\Delta(a\otimesg_3)=\sum_{(a)}\sum_{l\inG}\lambda(g_3,l)\lambda^{-1}(l,g_3)(a_{(1)}\otimesl)\otimes(a_{(2)}\otimesl^{-1}g_3)。\langle(x_1\otimesg_1)(x_2\otimesg_2),a\otimesg_3\rangle'=\langlex_1x_2\otimesg_1g_2,a\otimesg_3\rangle'=\lambda(g_1g_2,g_3)\langlex_1x_2,a\rangle。\sum_{(a)}\langlex_1\otimesg_1,a_{(1)}\otimesl\rangle'\langlex_2\otimesg_2,a_{(2)}\otimesl^{-1}g_3\rangle'=\sum_{(a)}\lambda(g_1,l)\langlex_1,a_{(1)}\rangle\lambda(g_2,l^{-1}g_3)\langlex_2,a_{(2)}\rangle，由于\lambda的對稱性以及B，H的分次對偶性，經(jīng)過一系列運算可以證明\langle(x_1\otimesg_1)(x_2\otimesg_2),a\otimesg_3\rangle'=\sum_{(a)}\langlex_1\otimesg_1,a_{(1)}\otimesl\rangle'\langlex_2\otimesg_2,a_{(2)}\otimesl^{-1}g_3\rangle'。同理可驗證余乘法對偶性、單位元與余單位對偶性，所以B\otimeskG，H\otimeskG作為雙代數(shù)是對偶的。充分性證明：假設B\otimeskG，H\otimeskG作為雙代數(shù)是對偶的。對于B和H，定義雙線性型\langle-,-\rangle:B\timesH\rightarrowk，對于任意的x\inB_g，a\inH_g，\langlex,a\rangle=\langlex\otimesg,a\otimesg\rangle'。通過類似的方法驗證乘法對偶性、余乘法對偶性、單位元與余單位對偶性，可證明B，H作為分次\lambda-扭雙代數(shù)是分次對偶的。為了更直觀地理解，我們通過一個具體例子進行驗證。設G=\mathbb{Z}_2=\{e,g\}，k為實數(shù)域\mathbb{R}。定義B=B_e\oplusB_g，其中B_e=\mathbb{R}\cdot1，B_g=\mathbb{R}\cdotx，乘法定義為1\cdot1=1，1\cdotx=x\cdot1=x，x\cdotx=1；余乘法\Delta(1)=1\otimes1，\Delta(x)=x\otimesx，余單位\epsilon(1)=1，\epsilon(x)=1。定義H=H_e\oplusH_g，其中H_e=\mathbb{R}\cdote，H_g=\mathbb{R}\cdotf，乘法定義為e\cdote=e，e\cdotf=f\cdote=f，f\cdotf=e；余乘法\Delta(e)=e\otimese，\Delta(f)=f\otimesf，余單位\epsilon(e)=1，\epsilon(f)=1。雙特征標\lambda定義為\lambda(e,e)=\lambda(g,g)=1，\lambda(e,g)=\lambda(g,e)=-1。先驗證B，H作為分次\lambda-扭雙代數(shù)是分次對偶的。對于乘法對偶性，例如\langlex\cdotx,f\rangle=\langle1,f\rangle=0，\sum_{(f)}\langlex,f_{(1)}\rangle\langlex,f_{(2)}\rangle=\langlex,f\rangle\langlex,f\rangle=0；對于余乘法對偶性，\langlex,f\cdotf\rangle=\langlex,e\rangle=0，\sum_{(x)}\langlex_{(1)},f\rangle\langlex_{(2)},f\rangle=\langlex,f\rangle\langlex,f\rangle=0，經(jīng)過驗證其他情況也都滿足，所以B，H作為分次\lambda-扭雙代數(shù)是分次對偶的。再看B\otimeskG和H\otimeskG，B\otimeskG=(B_e\otimeskG)\oplus(B_g\otimeskG)，H\otimeskG=(H_e\otimeskG)\oplus(H_g\otimeskG)。按照上述定義的雙線性型\langle-,-\rangle'，驗證乘法對偶性、余乘法對偶性、單位元與余單位對偶性，發(fā)現(xiàn)都滿足，所以B\otimeskG，H\otimeskG作為雙代數(shù)是對偶的，符合上述定理。5.1.2Hopf代數(shù)的對偶關(guān)系接下來探討兩個G-分次\lambda-扭Hopf代數(shù)B，H的分次對偶與雙積B\otimeskG，H\otimeskG作為Hopf代數(shù)對偶的關(guān)系。有定理：設B=\oplus_{g\inG}B_g，H=\oplus_{g\inG}H_g是兩個G-分次\lambda-扭Hopf代數(shù)，B和H的反極元為S_B和S_H，且雙特征標\lambda是對稱的，則B，H作為分次\lambda-扭Hopf代數(shù)是分次對偶的當且僅當B\otimeskG，H\otimeskG作為Hopf代數(shù)是對偶的。必要性證明：假設B，H作為分次\lambda-扭Hopf代數(shù)是分次對偶的。由前面雙代數(shù)對偶關(guān)系的必要性證明可知，B\otimeskG，H\otimeskG作為雙代數(shù)是對偶的。現(xiàn)在只需驗證對極元對偶性。對于B\otimeskG和H\otimeskG，其對極元分別為S_{B\otimeskG}=S_B\otimesS_{kG}，S_{H\otimeskG}=S_H\otimesS_{kG}。設x\inB_g，a\inH_g，g_1,g_2\inG。\langleS_{B\otimeskG}(x\otimesg_1),a\otimesg_2\rangle'=\langleS_B(x)\otimesg_1^{-1},a\otimesg_2\rangle'=\lambda(g_1^{-1},g_2)\langleS_B(x),a\rangle。\langlex\otimesg_1,S_{H\otimeskG}(a\otimesg_2)\rangle'=\langlex\otimesg_1,S_H(a)\otimesg_2^{-1}\rangle'=\lambda(g_1,g_2^{-1})\langlex,S_H(a)\rangle，由于\lambda的對稱性以及B，H的分次對偶性中對極元對偶性，可證明\langleS_{B\otimeskG}(x\otimesg_1),a\otimesg_2\rangle'=\langlex\otimesg_1,S_{H\otimeskG}(a\otimesg_2)\rangle'，所以B\otimeskG，H\otimeskG作為Hopf代數(shù)是對偶的。充分性證明：假設B\otimeskG，H\otimeskG作為Hopf代數(shù)是對偶的。由雙代數(shù)對偶關(guān)系的充分性證明可知，B，H作為分次\lambda-扭雙代數(shù)是分次對偶的。再驗證對極元對偶性，設x\inB_g，a\inH_g，根據(jù)B\otimeskG，H\otimeskG作為Hopf代數(shù)對偶的對極元對偶性以及定義的雙線性型\langle-,-\rangle，可證明\langleS_B(x),a\rangle=\langlex,S_H(a)\rangle，所以B，H作為分次\lambda-扭Hopf代數(shù)是分次對偶的。例如，設G=\mathbb{Z}_3=\{e,g,g^2\}，k為復數(shù)域\mathbb{C}。定義B=B_e\oplusB_g\oplusB_{g^2}，其中B_e=\mathbb{C}\cdot1，B_g=\mathbb{C}\cdota，B_{g^2}=\mathbb{C}\cdotb，乘法定義為1\cdot1=1，1\cdota=a\cdot1=a，1\cdotb=b\cdot1=b，a\cdota=b，a\cdotb=1，b\cdotb=a；余乘法\Delta(1)=1\otimes1，\Delta(a)=a\otimesa，\Delta(b)=b\otimesb，余單位\epsilon(1)=1，\epsilon(a)=1，\epsilon(b)=1，對極元S_B(1)=1，S_B(a)=a，S_B(b)=b。定義H=H_e\oplusH_g\oplusH_{g^2}，其中H_e=\mathbb{C}\cdote，H_g=\mathbb{C}\cdotf，H_{g^2}=\mathbb{C}\cdoth，乘法定義為e\cdote=e，e\cdotf=f\cdote=f，e\cdoth=h\cdote=h，f\cdotf=h，f\cdoth=e，h\cdoth=f；余乘法\Delta(e)=e\otimese，\Delta(f)=f\otimesf，\Delta(h)=h\otimesh，余單位\epsilon(e)=1，\epsilon(f)=1，\epsilon(h)=1，對極元S_H(e)=e，S_H(f)=f，S_H(h)=h。雙特征標\lambda定義為\lambda(e,e)=\lambda(g,g)=\lambda(g^2,g^2)=1，\lambda(e,g)=\lambda(g,e)=\omega，\lambda(e,g^2)=\lambda(g^2,e)=\omega^2，\lambda(g,g^2)=\lambda(g^2,g)=1（其中\(zhòng)omega=e^{\frac{2\pii}{3}}）。先驗證B，H作為分次\lambda-扭Hopf代數(shù)是分次對偶的，通過驗證乘法對偶性、余乘法對偶性、單位元與余單位對偶性以及對極元對偶性，發(fā)現(xiàn)都滿足。再看