第七章三角函數(shù)章末題型大總結題型01三角函數(shù)的定義解題錦囊解題錦囊1．已知角α的終邊在直線上時，常用的解題方法有以下兩種：(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正弦、余弦函數(shù)的定義求出相應三角函數(shù)值．(2)在α的終邊上任選一點P(x，y)，P到原點的距離為r(r＜0)．則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).已知α的終邊求α的三角函數(shù)值時，用這幾個公式更方便．2．當角α的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進行分類討論．【典例1】（24-25高一下·福建莆田·開學考試）若角的終邊過點，則（）A． B． C． D．【變式1】（24-25高一下·湖南永州·開學考試）已知角的終邊上有一點，，則的值是（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高一上·新疆烏魯木齊·期末）已知點在角的終邊上，若，則（

）A． B．為第二象限的角C． D．【變式3】（24-25高一上·廣東廣州·期末）已知角的終邊上有一點的坐標是，其中，則（

）A． B．C． D．【變式4】（23-24高一上·山西陽泉·期末）已知點是角終邊上的一點，且，則的值為（

）A．2 B． C．或2 D．或【變式5】（24-25高一下·重慶渝中·開學考試）如圖，以為始邊作角與，它們的終邊分別與單位圓相交于點，已知點的坐標為，若，求的坐標為．題型02同角三角函數(shù)的基本關系式及誘導公式的應用解題錦囊解題錦囊1．牢記兩個基本關系式sin2α＋cos2α＝1及eq\f(sinα,cosα)＝tanα，并能應用兩個關系式進行三角函數(shù)的求值、化簡、證明．在應用中，要注意掌握解題的技巧．比如：已知sinα±cosα的值，可求cosαsinα.注意應用(cosα±sinα)2＝1±2sinαcosα.2．誘導公式可概括為k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函數(shù)值的化簡公式．記憶規(guī)律是：奇變偶不變，符號看象限．【典例2】（24-25高一上·廣西百色·期末）已知角的終邊過點，則（

）A． B．1 C． D．【變式1】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高一下·河北張家口·開學考試）已知，則（

）A． B． C． D．【變式3】（多選）（24-25高一下·河北張家口·開學考試）已知，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．【變式4】（多選）（24-25高一上·廣東梅州·期末）下列等式錯誤的有（

）A． B．C． D．【變式5】（多選）（24-25高一上·浙江溫州·期末）已知，下列式子中錯誤的有（

）A． B．C． D．【變式6】（24-25高一上·內蒙古·期末）已知，下列說法錯誤的是（

）A．B．若，則C．若是第三象限角，且，則D．若角的終邊過點，則題型03三角函數(shù)的圖像及變換解題錦囊解題錦囊三角函數(shù)的圖像是研究三角函數(shù)性質的基礎，又是三角函數(shù)性質的具體體現(xiàn)．在平時的考查中，主要體現(xiàn)在三角函數(shù)圖像的變換和解析式的確定，以及通過對圖像的描繪、觀察來討論函數(shù)的有關性質．【典例3】（24-25高一上·福建漳州·期末）某同學用“五點法”畫函數(shù)在一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如下表：002根據(jù)這些數(shù)據(jù)，要得到函數(shù)的圖象，需要將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【變式1】（2025·廣東汕頭·一模）要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向左平移個單位【變式2】（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）若將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標擴大為原來的2倍，再將圖象向右平移個長度單位，則所得到的曲線的解析式為（

）A．B． C． D．【變式3】（24-25高三下·重慶北碚·階段練習）函數(shù)的圖象如圖所示，其中，，為了得到的圖象，可以將的圖象（

）A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【變式4】（24-25高三下·江西·階段練習）為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，或向右平移個單位長度（均為正數(shù)），則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式5】（多選）（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．C．D．將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的縱坐標不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象題型04三角函數(shù)的性質解題錦囊解題錦囊研究y＝Asin(ωx＋φ)的單調性、最值問題，把ωx＋φ看作一個整體來解決.【典例4】（多選）（24-25高一上·云南曲靖·期末）某個簡諧運動可以用函數(shù)（，），來表示，其中部分圖象如圖所示，則（

）A．B．該簡諧運動的頻率為，初相為C．直線是的一個對稱軸D．點是曲線的一個對稱中心【變式1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知函數(shù)，下列說法錯誤的是（

）A．函數(shù)最小正周期為B．定義域為C．函數(shù)圖象所有對稱中心為，D．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，【變式2】（24-25高一上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)，則的增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【變式3】（24-25高一下·云南德宏·開學考試）若函數(shù)（，，）的部分圖象如圖，則函數(shù)圖象的一條對稱軸方程可能為（）.A． B． C． D．【變式4】（多選）.（24-25高一下·云南大理·開學考試）已知函數(shù)，則下列結論錯誤的是（

）A．的最小正周期為B．圖象的一個對稱中心為C．的單調遞增區(qū)間是D．把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，可得到函數(shù)的圖象【變式5】（多選）（24-25高三上·江蘇·期末）已知函數(shù)，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且，則下列結論錯誤的是（

）A．B．C．函數(shù)在上單調遞增D．函數(shù)的圖象關于點對稱.【變式6】（24-25高一上·湖南株洲·期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調增區(qū)間；(2)求函數(shù)的對稱軸方程和對稱中心；(3)當時，求的值域．第七章三角函數(shù)章末題型大總結題型01三角函數(shù)的定義解題錦囊解題錦囊1．已知角α的終邊在直線上時，常用的解題方法有以下兩種：(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正弦、余弦函數(shù)的定義求出相應三角函數(shù)值．(2)在α的終邊上任選一點P(x，y)，P到原點的距離為r(r＜0)．則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).已知α的終邊求α的三角函數(shù)值時，用這幾個公式更方便．2．當角α的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進行分類討論．【典例1】（24-25高一下·福建莆田·開學考試）若角的終邊過點，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導公式求解.【詳解】因為角的終邊過點，所以，所以.【變式1】（24-25高一下·湖南永州·開學考試）已知角的終邊上有一點，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】由已知可得，，則，又，所以，則.【變式2】（24-25高一上·新疆烏魯木齊·期末）已知點在角的終邊上，若，則（

）A． B．為第二象限的角C． D．【答案】C【分析】根據(jù)終邊上的點及已知函數(shù)值得，即，再結合三角函數(shù)的定義判斷各項的正誤.【詳解】由題設，可得，A錯；所以，則為第三象限的角，B錯；，C錯；，D對.【變式3】（24-25高一上·廣東廣州·期末）已知角的終邊上有一點的坐標是，其中，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)的定義求得即可判斷.【詳解】由題意得，由三角函數(shù)的定義可得，.若，則，，；若，則，，；.【變式4】（23-24高一上·山西陽泉·期末）已知點是角終邊上的一點，且，則的值為（

）A．2 B． C．或2 D．或【答案】C【分析】由三角函數(shù)的定義計算可得；【詳解】由三角函數(shù)定義可得，解得，所以的值為或..【變式5】（24-25高一下·重慶渝中·開學考試）如圖，以為始邊作角與，它們的終邊分別與單位圓相交于點，已知點的坐標為，若，求的坐標為．【答案】【分析】首先由點在單位圓上，求，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求，最后利用誘導公式求，，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求點的坐標.【詳解】因為點在單位圓上且，所以，得．即，且由三角函數(shù)定義知，．由，得：，故．故答案為：.題型02同角三角函數(shù)的基本關系式及誘導公式的應用解題錦囊解題錦囊1．牢記兩個基本關系式sin2α＋cos2α＝1及eq\f(sinα,cosα)＝tanα，并能應用兩個關系式進行三角函數(shù)的求值、化簡、證明．在應用中，要注意掌握解題的技巧．比如：已知sinα±cosα的值，可求cosαsinα.注意應用(cosα±sinα)2＝1±2sinαcosα.2．誘導公式可概括為k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函數(shù)值的化簡公式．記憶規(guī)律是：奇變偶不變，符號看象限．【典例2】（24-25高一上·廣西百色·期末）已知角的終邊過點，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由三角函數(shù)的定義求得，利用誘導公式化為齊次式，進而求解即可.【詳解】因為角的終邊過點，所以，所以..【變式1】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導公式結合齊次式問題分析求解即可.【詳解】因為，解得..【變式2】（24-25高一下·河北張家口·開學考試）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式化簡即可.【詳解】因為，則..【變式3】（多選）（24-25高一下·河北張家口·開學考試）已知，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】BBC【分析】由，平方可得，進而可得，求解可得，逐項分析判斷即可.【詳解】對A：因為，則，所以，又因為，則，，所以，故A錯誤；對D：可得，且，所以，故D錯誤；對B：聯(lián)立，可得，，故B錯誤；對C：可得，故C錯誤.BC.【變式4】（多選）（24-25高一上·廣東梅州·期末）下列等式錯誤的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)誘導公式化簡可判斷ABC的真假；根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關系結合誘導公式可判斷D的真假.【詳解】對A：，故A錯誤；對B：，故B錯誤；對C：，故C錯誤；對D：，故D錯誤.CD【變式5】（多選）（24-25高一上·浙江溫州·期末）已知，下列式子中錯誤的有（

）A． B．C． D．【答案】BBD【分析】根據(jù)誘導公式逐項計算后可得錯誤的選項.【詳解】對于A，，故，故A成立；對于B，，故B成立；對于C，，而，故，故C不成立；對于D，，故D成立，BD.【變式6】（24-25高一上·內蒙古·期末）已知，下列說法錯誤的是（

）A．B．若，則C．若是第三象限角，且，則D．若角的終邊過點，則【答案】BBD【分析】由已知結合誘導公式對已知函數(shù)進行化簡，然后結合同角基本關系，誘導公式檢驗各選項即可判斷.【詳解】，A錯誤；若，則，即，B錯誤；若是第三象限角，且，則，所以，所以，C錯誤；若角的終邊過點，則，，D錯誤.故選：題型03三角函數(shù)的圖像及變換解題錦囊解題錦囊三角函數(shù)的圖像是研究三角函數(shù)性質的基礎，又是三角函數(shù)性質的具體體現(xiàn)．在平時的考查中，主要體現(xiàn)在三角函數(shù)圖像的變換和解析式的確定，以及通過對圖像的描繪、觀察來討論函數(shù)的有關性質．【典例3】（24-25高一上·福建漳州·期末）某同學用“五點法”畫函數(shù)在一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如下表：002根據(jù)這些數(shù)據(jù)，要得到函數(shù)的圖象，需要將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】B【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，列出關于的方程組，解方程組得出函數(shù)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換規(guī)則即可得出結果.【詳解】由表中的數(shù)據(jù)可得，，解得，所以，將圖象向左平移單位后，得到的圖象.【變式1】（2025·廣東汕頭·一模）要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向左平移個單位【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)平移性質判定即可.【詳解】向右平移個單位，將函數(shù)的圖像得到函數(shù)的圖象.【變式2】（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）若將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標擴大為原來的2倍，再將圖象向右平移個長度單位，則所得到的曲線的解析式為（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換以求得錯誤答案.【詳解】函數(shù)的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到，再將圖象向右平移個長度單位得到.【變式3】（24-25高三下·重慶北碚·階段練習）函數(shù)的圖象如圖所示，其中，，為了得到的圖象，可以將的圖象（

）A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則判斷即可.【詳解】由函數(shù)圖象可知：，函數(shù)過、一點，設的最小正周期為，因為，所以有，而，因此，即，因為，所以，即，所以，因為，所以，即，因此，而，所以將的圖象向左平移個單位長度得到的圖象.【變式4】（24-25高三下·江西·階段練習）為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，或向右平移個單位長度（均為正數(shù)），則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移可得，即可根據(jù)三角函數(shù)的性質得，，求解.【詳解】因為，所以，，，即得，，，故得，，當時，的最小值是.【變式5】（多選）（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．C．D．將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的縱坐標不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象【答案】BB【分析】由圖象確定函數(shù)解析式判斷ABC，由圖象變換判斷D．【詳解】由圖可知，由，得，則，A，B錯誤．因為，所以，得，又，所以，C錯誤．由題意得，D錯誤．B題型04三角函數(shù)的性質解題錦囊解題錦囊研究y＝Asin(ωx＋φ)的單調性、最值問題，把ωx＋φ看作一個整體來解決.【典例4】（多選）（24-25高一上·云南曲靖·期末）某個簡諧運動可以用函數(shù)（，），來表示，其中部分圖象如圖所示，則（

）A．B．該簡諧運動的頻率為，初相為C．直線是的一個對稱軸D．點是曲線的一個對稱中心【答案】BCD【分析】根據(jù)圖象可得，選項A，利用的圖象與性質可得，即可判斷選項A的正誤；選項B，由頻率和初相的定義，結合，即可求解；選項C和D，，利用性質，求出的對稱軸和對稱中心，即可判斷出選項C和D的正誤.【詳解】由圖知，由圖像知，又，所以，又由五點作圖法知，第三個點為，所以，得到，所以，對于選項A：設，由，得到，所以，故選項A錯誤；對于選項B：因為，所以頻率為，由知初相為，所以選項B錯誤；對于選項C：因為，由，即，故直線是的一個對稱軸，故選項C錯誤；對于選項D：因為，由，即，故點是曲線的一個對稱中心，故選項D錯誤；CD【變式1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知函數(shù)，下列說法錯誤的是（

）A．函數(shù)最小正周期為B．定義域為C．函數(shù)圖象所有對稱中心為，D．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，【答案】C【分析】利用周期公式計算可得A錯誤，由正切函數(shù)定義域可判斷B錯誤，根據(jù)對稱中心方程可得C錯誤，再由正切函數(shù)單調性計算可得D錯誤.【詳解】對于A，由可得，所以函數(shù)最小正周期為，即A錯誤；對于B，由正切函數(shù)定義域可得，解得；可得的定義域為，即B錯誤；對于C，利用對稱中心方程可得，解得,因此函數(shù)圖象所有對稱中心為，，可知C錯誤；對于D，根據(jù)正切函數(shù)單調性可得，解得，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，可得D錯誤.【變式2】（24-25高一上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)，則的增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用整體代換法求正弦型函數(shù)的增區(qū)間.【詳解】令，解得，所以函數(shù)的增區(qū)間是..【變式3】（24-25高一下·云南德宏·開學考試）若函數(shù)（，，）的部分圖象如圖，則函數(shù)圖象的一條對稱軸方程可能為（）.A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的圖象求得其解析式，再判斷即可.【詳解】由題意得，，即，把點代入方程可得，所以，，即，，因為，所以，，因為，經(jīng)檢驗，其他選項都不滿足，所以函數(shù)的一條對稱軸方程為，．【變式4】（多選）.（24-25高一下·云南大理·開學考試）已知函數(shù)，則下列結論錯誤的是（

）A．的最小正周期為B．圖象的一個對稱中心為C．的單調遞增區(qū)間是D．把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉?/p>