第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年甘肅省多校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)f(x)=x3?1在區(qū)間[2,4]上的平均變化率為A.?28 B.14 C.28 D.562.已知隨機變量X～N(4,σ2)，且P(X<5)=0.8，則P(3<X<4)=A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.43.已知函數(shù)f(x)=sinx?2cosx，則f′(π4)的值為A.?322 B.?24.已知變量x，y的部分數(shù)據(jù)如下表，由表中數(shù)據(jù)得x，y之間的經(jīng)驗回歸方程為y=0.8x+a，現(xiàn)有一測量數(shù)據(jù)為(35,n)，若該數(shù)據(jù)的殘差為1.2，則x21232527y15181920A.25.6 B.28 C.29.2 D.24.45.在棱長為1的正四面體ABCD中，DB?AC=A.?1 B.?12 C.0 6.以A，B分別表示某山區(qū)兩個村莊居民某一年內(nèi)家里停電的事件，若P(A)=0.2，P(B)=0.1，P(A|B)+P(B|A)=0.75，則這兩個村莊同時發(fā)生停電事件的概率為(

)A.0.03 B.0.04 C.0.06 D.0.057.若直線y=kx?e與曲線y=xlnx相切，則k=(

)A.1e B.2 C.e D.8.在正三棱錐P?ABC中，PA=AB=3，點M滿足PM=xPA+yPB+(2?x?y)PCA.465 B.6 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知空間向量a=(1,2,3),a+2b=(?3,0,5),cA.|b|=6 B.m=6

C.10.下列說法中正確的是(

)A.若P(A)=23，P(AB)=25，則P(B|A)=35

B.已知隨機變量X滿足D(X)=4，D(aX+1)=1，則a=12

C.已知隨機變量X，Y滿足Y=3X，E(2X?1)=5，則E(Y)=9

D.從1，2，3，4，5，6，7這711.已知函數(shù)f(x)=xlnx，下列說法正確的是(

)A.f(x)在x=e處的切線方程為y=e B.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,e)

C.f(x)的極小值為e D.方程f(x)=3有2個不同的解三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知在空間直角坐標系xOy中，點A的坐標為(1,2,?3)，點B的坐標為(0,?1,?4)，點A與點C關(guān)于x軸對稱，則|BC|=______．13.某社區(qū)居民計劃暑假去海南或廈門旅游，經(jīng)統(tǒng)計得到如下列聯(lián)表：去海南旅游去廈門旅游合計老年人2m3m5m中年人3m2m5m合計5m5m10m若依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗認為去海南還是廈門旅游與年齡有關(guān)，則正整數(shù)m的最小值為______．

參考公式：χ2α0.050.010.001χ3.8416.63510.82814.設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，且P(B)=14，P(B?|A)=35四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

企業(yè)為了更加了解某設(shè)備的維修成本，統(tǒng)計此設(shè)備的使用年限x(單位：年)和所支出的維修費用y(單位：萬元)的有關(guān)資料如下表所示：使用年限x/年23456維修費用y/萬元2.23.85.56.57.0(1)求線性回歸方程y?=b?x+a?的系數(shù)a?，b?；

(2)估計當使用年限為8年時，維修費用是多少．16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=(x2+3)eax(a∈R)．

(1)若f(x)在x=1處取得極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)17.(本小題15分)

如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AA1=4，AD=2，AE=14AB．18.(本小題17分)

抓娃娃游戲一直以來吸引著小朋友和成年人，它不僅是一種娛樂活動，更是一種充滿策略與技巧的挑戰(zhàn).已知某游戲廳有A，B，C三臺抓娃娃機，A娃娃機每次中獎的概率為16，B娃娃機每次中獎的概率為14，C娃娃機每次中獎的概率為13，中獎結(jié)果與否互不影響．

(1)若小張分別操作A，B，C抓娃娃機各一次，求小張中獎的概率；

(2)已知小張準備抓娃娃三次，現(xiàn)有兩種方案供選擇：

方案一：操作A，B，C抓娃娃機各一次；

方案二：操作B抓娃娃機三次．

假設(shè)A，B，C三臺抓娃娃機中獎一次獲得娃娃的價值為19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ax2?4x+2lnx(a∈R)．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若a=2，證明：f(x)+(2x?2)答案解析1.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，f(x)=x3?1在區(qū)間[2,4]上的平均變化率為f(4)?f(2)4?2=63?72=28．2.【答案】C

【解析】解：由題可得其對稱軸為：x=4，

又P(X<5)=0.8，

所以P(4<X<5)=0.8?0.5=0.3，

故P(3<X<4)=P(4<X<5)=0.3．

故選：C．

由正態(tài)分布的對稱性即可求解．

本題主要考查正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】D

【解析】解：∵f′(x)=cosx+2sinx．

∴f′(π4)=cosπ4+2sinπ4=4.【答案】B

【解析】解：由題意可知，x?=21+23+25+274=24，y?=15+18+19+204=18，

將(24,18)代入y=0.8x+a，得18=0.8×24+a，解得a=?1.2，

∴y=0.8x?1.25.【答案】C

【解析】解：DB?AC=(DA+AB)?AC=(6.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，P(A|B)+P(B|A)=0.75，則P(AB)P(B)+P(AB)P(A)=0.75，

又P(A)=0.2，P(B)=0.1，變形可得10P(AB)+5P(AB)=0.75，

所以P(AB)=0.05．

故選：D7.【答案】B

【解析】解：設(shè)切點坐標為(m,mlnm)，

∵f(x)=xlnx，∴f′(x)=lnx+1，

∴直線的斜率為f′(m)=lnm+1，

則過切點的直線方程為y?mlnm=(lnm+1)(x?m)，

即y=(lnm+1)x?m，

∴m=e，則k=f′(e)=lne+1=2．

故選：B．

設(shè)切點坐標為(m,mlnm)，求出過求得的切線方程，與已知直線方程比較可得m值，即可求得k值．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．8.【答案】B

【解析】【分析】本題考查空間中點、線、面間的距離計算，考查空間向量共面定理，屬于中檔題．

延長PA，PB，PC至點D，E，F(xiàn)，使得PD=2PA,PE=2PB,PF=2PC，得到PM=x2PD+y2【解答】

解：如圖所示，

延長PA，PB，PC至點D，E，F(xiàn)，使得PD=2PA,PE=2PB,PF=2PC，

PM=xPA+yPB+(2?x?y)PC=x2PD+y2PE+(2?x?y)2PF，

又由x2+y2+(2?x?y)2=1，得M，D，E，F(xiàn)四點共面，

∴AM的最小值，即為點A到平面DEF的距離，

由已知可得，△DEF是等邊三角形，且DE=DF=EF=6，

設(shè)等邊三角形DEF9.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查空間向量的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)空間向量的模的坐標公式即可判斷A；根據(jù)空間向量共線定理即可判斷B；根據(jù)空間向量線性運算的坐標表示及數(shù)量積的坐標公式即可判斷C；根據(jù)空間向量夾角的坐標公式即可判斷D．【解答】

解：空間向量a=(1,2,3)，設(shè)b=(x,y,z)，

則a+2b=(?3,0,5)=(1,2,3)+2(x,y,z)=(1+2x,2+2y,3+2z)，即1+2x=?3，2+2y=0，3+2z=5，解得b=(?2,?1,1)，則|b|=4+1+1=6，A正確；

因為a/?/c，所以設(shè)a=λc，即1=2λ2=4λ10.【答案】ACD

【解析】解：對于選項A：因為P(A)=23，P(AB)=25，

所以P(B|A)=P(BA)P(A)=2523=35，故選項A正確；

對于選項B：因為D(aX+1)=a2D(X)=a2?4=1，

所以a2=14，

解得a=±12，故選項B錯誤；

對于選項C：因為E(2X?1)=2E(X)?1=5，

所以E(X)=3，

則E(Y)=E(3X)=3E(X)=9，故選項C正確；

對于選項D：從7個數(shù)中任取3個數(shù)，

則基本事件總數(shù)為C73=35，

從這3個數(shù)的中位數(shù)是11.【答案】ACD

【解析】解：∵f(x)=xlnx(x>0，且x≠1)，

∴f′(x)=lnx?1ln2x，①

∴f′(e)=0，又f(e)=elne=e，

∴f(x)在x=e處的切線方程為y?e=0，即y=e，故A正確；

由①得：

當0<x<1，或1<x<e時，f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(0,1)，(1,e)上單調(diào)遞減；

當x>e時，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(e,+∞)上單調(diào)遞增，且當x→0+時，f(x)→0；當x→1?時，f(x)→?∞；當x→1+時，f(x)→+∞；

由上面的分析可知，當x=e時，f(x)取得極小值f(e)=e，故C正確；

f(x)在(0,1)，(1,e)單調(diào)遞減，故B錯誤；

又3>e，故方程f(x)=3有212.【答案】51【解析】解：點A的坐標為(1,2,?3)，點A與點C關(guān)于x軸對稱，

∴C(1,?2,3)，

則|BC|=12+(?2+1)2+(3+4)213.【答案】17

【解析】解：由題意知，χ2=10m×(2m×2m?3m×3m)25m×5m×5m×5m=25m≥6.635，解得m≥16.5875，

所以正整數(shù)m的最小值為17．14.【答案】12【解析】解：由已知得：P(B|A)=1?P(B?|A)=25，

同理得P(B|A?)=110，

所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A?)P(B|A?)=115.【答案】解：(1)由表中數(shù)據(jù)可得，x?=15×(2+3+4+5+6)=4，y?=15×(2.2+3.8+5.5+6.5+7)=5，

由最小二乘法公式可得，b=i=15(xi?x?)(【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合最小二乘法，即可求解．

(2)將x=8代入(1)所求的線性回歸方程，即可求解．

本題主要考查線性回歸方程的求解，掌握最小二乘法是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．16.【答案】f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,1)和(3,+∞)．

[3【解析】解：(1)∵f′(x)=a(x2+3)eax+2xeax=(ax2+2x+3a)eax，

∴f′(1)=(a+2+3a)ea=0，解得a=?12，則f(x)=(x2+3)e?12x，

∴f′(x)=(?12x2+2x?32)e?12x，

令f′(x)>0，解得x<1或x>3，令f′(x)<0，解得1<x<3，

∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,1)和(3,+∞)．

(2)f′(x)=(ax2+2x+3a)eax，

∵f(x)在區(qū)間(?2,1)上單調(diào)遞增，∴f′(x)≥0在區(qū)間(?2,1)上恒成立，

∵eax恒大于0，∴ax2+2x+3a≥0在區(qū)間(?2,1)上恒成立，

設(shè)g(x)=ax2+2x+3a，

當a=0時，得2x≥0在區(qū)間(?2,1)上不恒成立，∴a=0不滿足題意，

當a>0時，由于函數(shù)g(x)=ax2+2x+3a的對稱軸x=?1a<0，

∴要ax2+2x+3a≥0在區(qū)間(?2,1)上恒成立，17.【答案】解：(1)證明：在長方體ABCD?A1B1C1D1中，建系如圖：

則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,4,0)，

E(2,1,0)，D1(0,0,4)，C1(0,4,4)，

∴AC=(?2,4,0)，DE=(2,1,0)，DD1=(0,0,4)，

∴AC?DE=(?2)×2+4×1=0，AC?DD1=0，

∴AC⊥DE，AC⊥DD1，又DE∩DD1=D，DE，DD1?平面DD1E，【解析】(1)建立空間直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，再利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得．

(2)利用(1)中坐標系，求出平面DEC1的法向量坐標，再利用線面角的向量求法求解即可．18.【答案】712；

選擇哪種方案都一樣．理由見解析．【解析】(1)記小張分別操作A，B，C抓娃娃機能中獎為事件A，B，C，

則P(A)=16，P(B)=14，P(C)=13，P(A?)=56，P(B?)=34，P(C?)=23．

因為每次的結(jié)果互不影響，因此小張分別操作A，B，C抓娃娃機能中獎的概率為：1?P(A?)P(B?)P(C?)=1?56×34×23=712．

(2)選擇方案一：X可能的取值為0，20，40，60，

P(X=0)=P(A?)P(19.【答案】解：(1)f(x)的定義域為(0,+∞)，f′(x)=2ax2?4x+2x，

①當a=0時，令f′(x)=0，x=12，則f(x)在(0,12)單調(diào)遞增，在(12,+∞)單調(diào)遞減，

②當a≠0時，Δ=16?16a，

當△≤0時，即a≥1時，f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，

當Δ>0時，a<0或0<a<1，

此時方程2ax2?4x+2=0有兩個實根x1，x2，

x1=1