第08講基本不等式內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習練習題講典例：教材習題學(xué)解題、快速掌握解題方法練考點強知識：4大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習目標復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習效果、查漏補缺快速提升知識點1基本不等式1.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號.(3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).知識點2兩個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.(2)ab≤(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.知識點3利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是(簡記：和定積最大).注意：1.≥2(a，b同號)，當且僅當a＝b時取等號.2.ab≤≤.3.(a>0，b>0).知識點4基本不等式的拓展三元基本不等式：（a，b，c均為正實數(shù)），當且僅當a=b=c時取等號。多元基本不等式：（a，b，c均為正實數(shù)），當且僅當時取等號。教材習題01設(shè)，，求證下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．解題方法（1）因為，所以，所以，當且僅當，即時取得等號，所以，命題得證.（2）要證明，只用證明，只用證明，因為，當且僅當時取得等號，所以成立，則成立，命題得證.（3），當且僅當時取得等號，所以，命題得證.（4）因為，，所以要證，只用證，只用證，根據(jù)基本不等式可知顯然成立，當且僅當時取得等號，所以成立，命題得證.【答案】證明見解析教材習題02（1）把64寫成兩個正數(shù)的積，當這兩個正數(shù)各取何值時，它們的和最小？（2）把24寫成兩個正數(shù)的和，當這兩個正數(shù)各取何值時，它們的積最大？解題方法（1）設(shè)兩正數(shù)為，則，由基本不等式得，，當且僅當時等號取到，即當兩個正數(shù)都取時，它們的和最小，最小為.（2）設(shè)兩正數(shù)為，則，由基本不等式得，，當且僅當時等號取到，即當兩個正數(shù)都取時，它們的積最大，最大為.【答案】（1）當兩個正數(shù)都取時，它們的和最??；（2）當兩個正數(shù)都取時，它們的積最大教材習題03某罐裝飲料廠為降低成本要將制罐材料減小到最少．假設(shè)罐裝飲料筒為圓柱體，上、下底半徑均為r，高為h，體積為定值V，上、下底厚度分別是側(cè)面厚度的2倍．試問：當r與h之比是多少時，用料最少？（可以到市場上進行調(diào)查，看看哪些罐裝飲料大體上符合你的計算結(jié)果）解題方法圓柱底面積為，則．上、下底厚度分別是側(cè)面厚度的2倍，設(shè)側(cè)面厚度為1個單位，則上、下底厚度為2個單位，則所用材料的量值為：，當且僅當時等號成立，這時，解得．故.【答案】考點一利用基本不等式比較大小1．已知，設(shè)，，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．不確定【答案】A【詳解】，當且僅當時，等號成立，故.2．已知，，，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，，，所以，即，當且僅當時等號成立．故選：A.（多選題）3．已知，下列不等式正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】對于選項A：因為，，當且僅當時取等號，故A正確。對于選項B：因為，所以，當且僅當時取等號，故B正確.對于選項C：當時，，故C錯誤.對于選項D：，當且僅當，即時取等號.故D正確.故選：ABD（多選題）4．已知a，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】對于A，B：由題知，，所以，當且僅當時取等號，因為，則，即，故，A錯誤，B正確；對于C，D：因為，所以，當且僅當即時取等號，所以，C正確，D錯誤．故選：BC考點二由基本不等式證明不等關(guān)系1．已知．(1)若，證明：；(2)若，證明：；(3)若，證明．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）要證，因為，兩邊同時平方，即證.展開得，已知，所以即證，也就是證，即證.對于，有，已知，所以，則，當且僅當時等號成立.所以得證.（2）根據(jù)二項式，將，代入可得：整理得因為，所以已知，可得，即，當且僅當時取等號.同時，由第一問可知（當且僅當時等號成立）.將和代入可得：，當且僅當時等號成立.綜上，若，得證.（3）因為，所以，以上三個式子相加得，所以，當且僅當時等號成立，因為，且，所以，所以，所以.2．（1）已知，求函數(shù)的最小值；（2）若，，證明:.【答案】（1）4；（2）證明見解析【詳解】（1），，則．當且僅當，即時等號成立．所以函數(shù)的最小值為．（2），，，即，當且僅當時等號成立．3．（1）已知，，，求證：．（2）已知，，，，求證：．【答案】證明見解析；證明見解析【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴；（2）證明：∵，，，且，∴，當且僅當時取等號．.4．已知，都是正數(shù)，求證：.【答案】證明見解析【詳解】證明∵，都是正數(shù)，∴，，，，，∴，（當且僅當時等號成立）.∴，即，當且僅當時，等號成立.5．（1）若，，，都是正數(shù)，求證：；（2）若，，都是正數(shù)，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【詳解】證明

（1）由，，，都是正數(shù)，利用基本不等式可知，，當且僅當時，等號成立；，當且僅當時，等號成立.所以，即有，當且僅當，時，等號成立.（2）由，，都是正數(shù)，利用基本不等式可知，，當且僅當時，等號成立；，當且僅當時，等號成立；，當且僅當時，等號成立.所以，當且僅當時，等號成立.考點三最值定理（多選題）1．已知，為正實數(shù)，且，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ACD【詳解】由得，所以，當且僅當，即時取等號，此時取得最小值，對,，當且僅當時取等號，此時取得最小值，B錯因為，當且僅當時取等號，解不等式得，故的最大值為，C對，當且僅當即時取等號，此時取得最小值，D正確故選：ACD.2．已知，且，則的最小值為．【答案】【詳解】，且，則（當且僅當，即時取等號），的最小值為．故答案為：3．若，則的最小值是.【答案】/【詳解】因為，所以，當且僅當，即時取等號，故答案為：4．（1）已知正數(shù)a，b滿足，求的最大值；（2）已知，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由正數(shù)滿足，因為，當且僅當時，即時，等號成立，所以，即，所以，即的最大值為；（2）令，即，所以，解得，所以，因為，，可得，所以，所以，即的取值范圍為.5．（1）已知，求的最大值；（2）已知正實數(shù)滿足，求的最大值.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立.因此，當時，取到最大值.（2）由，解得，當且僅當時，取等號.所以的最大值為10.考點四基本不等式的恒成立問題1．對一切x，，都有，則實數(shù)a的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．前3個答案都不對【答案】B【詳解】因為x，，所以，所以，又，當且僅當時，取等號，所以，所以實數(shù)a的最小值是.故選：B.2．已知不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】不等式恒成，即，，當且僅當，即時等號成立，故.故選：.3．已知，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．，或C． D．，或【答案】A【詳解】，，當且僅當時等號成立，恒成立，，解得.故選：A.4．已知，，且.若不等式恒成立，則的最大值為.【答案】6【詳解】要使不等式恒成立，只需要.因為，，所以，當且僅當，即時，等號成立.所以的最小值為6，即，故的最大值為6.5．已知，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】由，不等式恒成立，可得對恒成立，令，當且僅當，即時取等號，所以，所以.故答案為：.考點五基本（均值）不等式的應(yīng)用1．一批貨物隨17列貨車從A市以的速度勻速直達B市．已知兩地鐵路線長，為了安全，兩列貨車的間距不得小于（貨車長度忽略不計），那么這批貨物全部運到B市最快需要（

）A．2小時 B．4小時 C．6小時 D．8小時【答案】D【詳解】設(shè)這批貨物從A市全部運到B市的時間為t，則（小時），當且僅當，即時取等號．2．港珠澳大橋通車后，經(jīng)常往來于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行．由于燃油的價格有升也有降，現(xiàn)劉先生有兩種加油方案，第一種方案是每次均加30升的燃油，第二種方案是每次加200元的燃油，則下列說法正確的是（

）A．采用第一種方案更劃算 B．采用第二種方案更劃算C．兩種方案一樣劃算 D．無法確定采用哪種方案更劃算【答案】B【詳解】任取其中兩次加油，假設(shè)第一次的油價為m元/升，第二次的油價為n元/升．第一種方案的均價為；第二種方案的均價為．因為，當且僅當時，等號成立，所以無論油價如何變化，第二種方案更劃算．3．一家商店用一架兩邊臂不等長的天平稱黃金，一位顧客要購買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；再將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后交給顧客，則商店在銷售后（

）A．黃金少給了 B．黃金剛好C．黃金多給了 D．與砝碼放置順序有關(guān)【答案】C【詳解】設(shè)天平左、右兩臂長分別為，兩次放入的黃金的克數(shù)分別為x，y．由杠桿的平衡原理有，則．由于，且，故．因此，即顧客實際所得黃金大于10克．4．如圖，為滿足居民健身需求，某小區(qū)計劃在一塊直角三角形空地中建一個內(nèi)接矩形健身廣場（陰影部分），則健身廣場的最大面積為．【答案】37.5/70/2【詳解】設(shè)矩形廣場的長為，寬為，且，，由三角形相似得，化簡得，而，當且僅當，即時，等號成立，故，故健身廣場的最大面積為．5．海倫公式亦叫海倫——秦九韶公式．它是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式，表達式為，其中a，b，c分別是三角形的三邊長，．已知一根長為8的木棍，截成三段構(gòu)成一個三角形，若其中有一段的長度為2，則該三角形面積的最大值為．【答案】【詳解】由海倫公式可知，不妨設(shè)，則，則，當且僅當，即時，等號成立．考點六“1”的妙用1．已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．12 C． D．27【答案】C【詳解】由，，得，當且僅當，即時取等號，所以的最小值是.故選：C2．已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為.故選：D（多選題）3．已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】因為，且，所以，當且僅當時，等號成立，所以，A錯誤．因為，所以．因為，所以0，解得，B正確．因為，所以，所以．因為2，所以，即，C正確．因為，所以，當且僅當時，等號成立，D正確．故選：BCD.4．已知，且，則的最小值是.【答案】【詳解】因為，且，所以，當且僅當，即，時取等號.故答案為：知識導(dǎo)圖記憶知識目標復(fù)核1．基本不等式2．兩個重要的不等式3．利用基本不等式求最值4．基本不等式的拓展1．兩個工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別為.為便于調(diào)控生產(chǎn)，分別將、、中的值記為并進行分析.則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【難度】0.85【知識點】基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】解方程可依次求得，結(jié)合基本不等式可得大小關(guān)系.【詳解】由得：，解得：，即；由得：，解得：，即；由得：，解得：，即；又，（當且僅當時取等號），.故選：A.2．已知,,且,則的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】A【難度】0.65【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】因為,利用基本不等式,注意等號成立的條件,即可求得答案.【詳解】當且僅當,取等號,即,結(jié)合,可得時,取得最小值．故選:A.3．函數(shù)的最小值為（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】B【難度】0.85【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)基本不等式求和的最小值.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當即時取“”.故選：B4．已知均為正實數(shù)，且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【難度】0.85【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】解：均為正實數(shù)，且，所以，當且僅當，即，時取等號，則的最小值為故選：C5．已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】A【難度】0.85【知識點】條件等式求最值【分析】利用，可求的最大值.【詳解】因為，所以，當且僅當時，等號成立，即的最大值為8．故選：A.6．若、都有恒成立，則（

）A． B．C． D．【答案】A【難度】0.65【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】推導(dǎo)出，，將代入各選項中的代數(shù)式，利用基本不等式逐項判斷即可.【詳解】顯然不滿足等式，所以，，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，故，A對B錯；，當且僅當時，即當時，等號成立，即，CD都錯.故選：A.7．已知，且恒成立，則的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【難度】0.65【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立問題【分析】根據(jù)條件，得到，又，利用基本不等式，即可求解.【詳解】因為，則，又恒成立，即恒成立，又，當且僅當，即時取等號，所以，故選：B.（多選題）8．已知，則的值可以是（

）A．4 B．10 C． D．3【答案】ABC【難度】0.65【知識點】基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】分和兩種情況，利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，當時，，當且僅當時，取等號，當時，，當且僅當時，取等號，所以選項ABC滿足題意，故選：ABC.（多選題）9．下列有關(guān)最值的結(jié)論正確的是（

）A．當時，函數(shù)的最小值為2B．若均為正數(shù)，且，則的最小值為4C．若均為正數(shù)，且，則的最小值為1D．若均為正數(shù)，且，則的最小值為2【答案】BCD【難度】0.65【知識點】條件等式求最值、對勾函數(shù)求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】應(yīng)用基本不等式求A、C、D中目標式的最值，由“1”的代換及基本不等式求C中目標式的最值，注意取值條件即可.【詳解】對于A，當時，則，當且僅當，即時等號成立，故當時，函數(shù)的最大值為，錯誤.對于B，因為均為正數(shù)，且，所以，當且僅當，即時等號成立，則的最小值為4，正確.對于C，若均為正數(shù)，且，由基本不等式得，得，即，得，當且僅當，即時等號成立，則的最小值為1，正確.對于D，若均為正數(shù)，且，則，得，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為2，正確.故選：BCD10．若實數(shù)a，b滿足，則的最小值為．【答案】27【難度】0.65【知識點】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值【分析】先根據(jù)求得和的關(guān)系式，進而代入到利用均值不等式求解即可．【詳解】因為，所以，所以當且僅當，即時取等號.所以的最小值為.故答案為：.11．已知，且是方程的一個根，則的最小值是．【答案】8【難度】0.85【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】由題意易得，代入所求式，利用基本不等式計算即得.【詳解】由題意，可得，即得，則，因，故，當且僅當即時等號成立，即當，時，取得最小值8.故答案為：8.12．若命題“，不等式恒成立”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【難度】0.85【知識點】根據(jù)全稱命題的真假求參數(shù)、基本不等式求和的最小值【分析】由已知結(jié)合基本不等式先求出的最小值，然后結(jié)合恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解.【詳解】當時，，當且僅當，即時取等號，因為不等式恒成立，，所以故答案為：13．某種植戶要倚靠院墻建一個高3m的長方體溫室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墻壁和頂棚的搭建，設(shè)溫室中墻的邊長分別為，如圖所示．(1)寫出：滿足的關(guān)系式；(2)求溫室體積的最大值．【答案】(1)(2)【難度】0.85【知識點】基本（均值）不等式的應(yīng)用、用不等式表示不等關(guān)系【分析】（1）根據(jù)長方形面積公式即可得到.（2）首先利用基本不等式即可得到，令，得到，再解不等式即可得到答案.【詳解】（1）由題意得：頂棚所用材料的面積為，3面墻壁所用材料的面積為，所以．（2）因為，當且僅當時取等號，所以，令，則，解得，∴，當且僅當，時取等號，所以溫室體積，則溫室體積的最大值為．14．（1）已知是正實數(shù)，且，求的最小值；（2）函數(shù)的最小值為多少？【答案】（1）；（2）【難度】0.85【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】（1）利用乘“1”法，結(jié)合基本不等式分析求解；（2）利用分離常數(shù)法，結(jié)合基本不等式分析求解.【詳解】（1）因為是正實數(shù)，且，則，當且僅當，即時，等號