多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第1頁，共38頁。一、鏈鎖法則引入：復(fù)合函數(shù)怎樣求它的偏導(dǎo)數(shù)？問：若上面三個(gè)函數(shù)都是具體函數(shù)，那么，它們的復(fù)合函數(shù)也是具體函數(shù)，當(dāng)然，我們會(huì)求它的偏導(dǎo)數(shù)。但是，若上面三個(gè)函數(shù)中至少有一個(gè)是抽象函數(shù)，那么，它們的復(fù)合函數(shù)也是抽象函數(shù)，它的偏導(dǎo)數(shù)又怎么求？第2頁，共38頁。這是一個(gè)新問題，要求出這樣一個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，還需要新的公式。這就是下面要研究的多元函數(shù)的求導(dǎo)法則（或鏈鎖法則）。第3頁，共38頁。定理1

設(shè)函數(shù)

及

都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

在點(diǎn)t可導(dǎo)，且有1、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形按照多元復(fù)合函數(shù)不同的復(fù)合情形，分兩種情形來討論：第4頁，共38頁。將上式兩邊同時(shí)除以，得證：這時(shí)的對應(yīng)增量為獲得增量由第三節(jié)定理2的證明過程，我們可得到由此，函數(shù)z=f(u,v)相應(yīng)地其中，第5頁，共38頁。令取極限，得，即即第6頁，共38頁。===第7頁，共38頁。如果函數(shù)

都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v,w)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v,w)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

在點(diǎn)t的導(dǎo)數(shù)存在，且有注第8頁，共38頁。2、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形定理2

如果函數(shù)

及

在點(diǎn)(x,y)具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

在點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且有第9頁，共38頁。已知對y的偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)(x,y)具有對x及函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在，將y取定為常數(shù)，則由定理1得+得復(fù)合函數(shù)對x的偏導(dǎo)數(shù)存在，且有同理，將x取定為常數(shù)，則可得（4）式.此即（3）式.第10頁，共38頁。為了掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可畫復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)示意圖，由示意圖可清楚地看出哪些是中間變量，哪些是自變量，以及中間變量和自變量的個(gè)數(shù)，公式(3)、(4)的示意圖如下：zuvxy第11頁，共38頁。在點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且可用下列公式計(jì)算：

設(shè)

都在點(diǎn)(x,y)具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v,w)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v,w)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)注第12頁，共38頁。(1)求下列函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)(3)(2)第13頁，共38頁。解(1)+=+=+第14頁，共38頁。(2)++=++第15頁，共38頁。++=(3)+相同,但所表示的意思不同!必須加以區(qū)別!對自變量x的偏導(dǎo)數(shù)對中間變量x的偏導(dǎo)數(shù)第16頁，共38頁。為了避免混淆,一般地,將對中間變量的偏導(dǎo)數(shù)記為將對自變量的偏導(dǎo)數(shù)記為第17頁，共38頁。例如上面的(3)可寫為:++=+++=+第18頁，共38頁。注意：

這里

與

是不同的，是把復(fù)合函數(shù)

中的y看作常數(shù)而對x的導(dǎo)數(shù),

是把f(u,x,y)中的u及y看作常數(shù)而對x的導(dǎo)數(shù).

與

也有類似的區(qū)別.第19頁，共38頁。由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得解：=+=+第20頁，共38頁。例2解：+=+=+=+++==第21頁，共38頁。例3解：++=++第22頁，共38頁。解：+=+第23頁，共38頁。解注第24頁，共38頁。例6

設(shè)，f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求這里下標(biāo)1表示對第一個(gè)中間變量u求偏導(dǎo)數(shù)，

下標(biāo)2表示對第二個(gè)中間變量v求偏導(dǎo)數(shù).解同理有第25頁，共38頁。因所給函數(shù)由w=f(u,v)及u=x+y+z，v=xyz復(fù)合而成，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有[]=[]=++根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有+=++=+仍是x,y,z的復(fù)合函數(shù)，第26頁，共38頁。++=++()+=+第27頁，共38頁。例7

設(shè)u=f(x,y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系中形式.解==由（1）式得這樣，可看作由復(fù)合而成.得第28頁，共38頁。兩式平方后相加，得根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得第29頁，共38頁。=+=第30頁，共38頁。再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得=+第31頁，共38頁。==[]第32頁，共38頁。=+第33頁，共38頁。同理可得兩式相加，得第34頁，共38頁。二、全微分形式不變性:

設(shè)函數(shù)

具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分若u、v又是x、y的函數(shù),，且這兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)的全微分為第35頁，共38頁。所謂全微分的形式不變性是指:

無論z是自