復(fù)變函數(shù)積分題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(f(z)=z\)在閉曲線\(C\)：\(\vertz\vert=1\)上的積分\(\oint_{C}zdz\)的值為（）A.\(0\)B.\(2\pii\)C.\(\pii\)D.\(4\pii\)2.設(shè)\(C\)為正向圓周\(\vertz-1\vert=2\)，則\(\oint_{C}\frac{1}{z-1}dz\)等于（）A.\(0\)B.\(2\pii\)C.\(-2\pii\)D.\(4\pii\)3.若\(f(z)\)在單連通域\(D\)內(nèi)解析，\(C\)是\(D\)內(nèi)任意一條簡單閉曲線，則\(\oint_{C}f(z)dz\)（）A.與\(C\)的形狀有關(guān)B.恒為\(0\)C.不確定D.等于\(2\pii\)4.函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z^2}\)在\(\vertz\vert=1\)上的積分\(\oint_{\vertz\vert=1}\frac{1}{z^2}dz\)為（）A.\(0\)B.\(2\pii\)C.\(\pii\)D.\(-2\pii\)5.設(shè)\(C\)是正向圓周\(\vertz\vert=3\)，則\(\oint_{C}\frac{e^z}{z-2}dz\)的值是（）A.\(2\piie^2\)B.\(0\)C.\(\piie^2\)D.\(4\piie^2\)6.若\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，\(z_0\inD\)，\(C\)是以\(z_0\)為中心的正向圓周，則\(\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz\)等于（）A.\(f(z_0)\)B.\(2\piif(z_0)\)C.\(0\)D.\(\piif(z_0)\)7.函數(shù)\(f(z)=z+1\)在\(\vertz\vert=2\)上的積分\(\oint_{\vertz\vert=2}(z+1)dz\)為（）A.\(0\)B.\(4\pii\)C.\(2\pii\)D.\(8\pii\)8.設(shè)\(C\)為正向圓周\(\vertz\vert=1\)，則\(\oint_{C}\frac{\sinz}{z}dz\)等于（）A.\(0\)B.\(2\pii\)C.\(\pii\)D.\(-2\pii\)9.若\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，\(C_1\)與\(C_2\)是\(D\)內(nèi)兩條同向簡單閉曲線，且\(C_1\)在\(C_2\)內(nèi)部，則\(\oint_{C_2}f(z)dz-\oint_{C_1}f(z)dz\)（）A.大于\(0\)B.小于\(0\)C.等于\(0\)D.不確定10.函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z-3}\)在\(\vertz\vert=2\)上的積分\(\oint_{\vertz\vert=2}\frac{1}{z-3}dz\)為（）A.\(0\)B.\(2\pii\)C.\(\pii\)D.\(-2\pii\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些條件能保證\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)的積分\(\oint_{C}f(z)dz=0\)（\(C\)為\(D\)內(nèi)簡單閉曲線）（）A.\(f(z)\)在\(D\)內(nèi)解析B.\(f(z)\)在\(D\)內(nèi)連續(xù)C.\(f(z)\)在\(D\)內(nèi)有界D.\(D\)是單連通域且\(f(z)\)解析2.設(shè)\(C\)為正向圓周\(\vertz\vert=R\)，下列積分值為\(0\)的有（）A.\(\oint_{C}z^ndz\)（\(n\)為非負整數(shù)）B.\(\oint_{C}\frac{1}{z^n}dz\)（\(n\geq2\)整數(shù)）C.\(\oint_{C}\coszdz\)D.\(\oint_{C}\sinzdz\)3.關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分\(\oint_{C}f(z)dz\)，下列說法正確的是（）A.積分值與積分路徑的起點和終點有關(guān)B.若\(f(z)\)在\(C\)所圍區(qū)域內(nèi)解析，積分值與\(C\)的形狀無關(guān)C.可以用參數(shù)方程法計算積分值D.柯西積分定理是計算積分的重要工具4.若\(f(z)\)和\(g(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，\(C\)是\(D\)內(nèi)簡單閉曲線，則（）A.\(\oint_{C}(f(z)+g(z))dz=\oint_{C}f(z)dz+\oint_{C}g(z)dz\)B.\(\oint_{C}kf(z)dz=k\oint_{C}f(z)dz\)（\(k\)為常數(shù)）C.\(\oint_{C}f(z)g(z)dz=\oint_{C}f(z)dz\cdot\oint_{C}g(z)dz\)D.\(\oint_{C}\frac{f(z)}{g(z)}dz\)（\(g(z)\)在\(C\)上不為\(0\)）可以用柯西積分公式計算5.下列積分中，可直接用柯西積分公式計算的有（）A.\(\oint_{\vertz\vert=2}\frac{e^z}{z-1}dz\)B.\(\oint_{\vertz\vert=1}\frac{\cosz}{z}dz\)C.\(\oint_{\vertz\vert=3}\frac{z^2}{z+2}dz\)D.\(\oint_{\vertz\vert=1}\frac{1}{z^2+1}dz\)6.設(shè)\(C\)為正向圓周\(\vertz-a\vert=r\)，則（）A.\(\oint_{C}\frac{1}{z-a}dz=2\pii\)B.\(\oint_{C}\frac{1}{(z-a)^n}dz=0\)（\(n\neq1\)整數(shù)）C.\(\oint_{C}f(z)dz=2\piif(a)\)（\(f(z)\)在\(C\)及\(C\)所圍區(qū)域解析）D.\(\oint_{C}(z-a)^ndz=0\)（\(n\)為整數(shù)）7.復(fù)變函數(shù)積分的計算方法有（）A.參數(shù)方程法B.柯西積分定理C.柯西積分公式D.高階導(dǎo)數(shù)公式8.若\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，\(C_1\)，\(C_2\)是\(D\)內(nèi)兩條簡單閉曲線，且\(C_1\)，\(C_2\)同向，\(C_1\)在\(C_2\)內(nèi)部，則（）A.\(\oint_{C_2}f(z)dz-\oint_{C_1}f(z)dz=0\)B.\(\oint_{C_2-C_1}f(z)dz=0\)C.\(\oint_{C_1}f(z)dz=\oint_{C_2}f(z)dz\)D.可以通過變形將\(C_1\)，\(C_2\)之間的積分關(guān)系轉(zhuǎn)化為單個閉曲線積分9.對于積分\(\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^n}dz\)（\(n\)為正整數(shù)，\(f(z)\)在\(C\)及\(C\)所圍區(qū)域解析，\(z_0\)在\(C\)內(nèi)部），正確的是（）A.當(dāng)\(n=1\)時，積分值為\(2\piif(z_0)\)B.當(dāng)\(n\gt1\)時，積分值可以用高階導(dǎo)數(shù)公式計算C.與\(f(z)\)的具體形式有關(guān)D.與\(z_0\)的位置有關(guān)10.下列函數(shù)中，在\(\vertz\vert=1\)上積分值為\(0\)的有（）A.\(f(z)=z^3\)B.\(f(z)=\frac{1}{z^2+2z+2}\)C.\(f(z)=\sinz^2\)D.\(f(z)=\frac{1}{z-2}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)連續(xù)，則\(\oint_{C}f(z)dz=0\)（\(C\)為\(D\)內(nèi)簡單閉曲線）。（）2.函數(shù)\(f(z)\)在單連通域\(D\)內(nèi)解析，\(C_1\)，\(C_2\)是\(D\)內(nèi)任意兩條簡單閉曲線，則\(\oint_{C_1}f(z)dz=\oint_{C_2}f(z)dz\)。（）3.柯西積分公式中，\(f(z)\)在\(C\)及\(C\)所圍區(qū)域解析，\(z_0\)在\(C\)內(nèi)部，則\(\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=f(z_0)\)。（）4.積分\(\oint_{C}z^ndz\)（\(n\)為整數(shù)，\(C\)為正向圓周\(\vertz\vert=1\)），當(dāng)\(n\neq-1\)時，積分值為\(0\)。（）5.若\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，\(C\)是\(D\)內(nèi)簡單閉曲線，\(g(z)\)在\(C\)上不為\(0\)，則\(\oint_{C}\frac{f(z)}{g(z)}dz\)可以用柯西積分公式計算。（）6.復(fù)變函數(shù)積分\(\oint_{C}f(z)dz\)的值只與\(f(z)\)在\(C\)上的值有關(guān)。（）7.設(shè)\(C\)為正向圓周\(\vertz\vert=1\)，則\(\oint_{C}\frac{1}{z^2}dz=2\pii\)。（）8.函數(shù)\(f(z)\)在多連通域\(D\)內(nèi)解析，\(C\)是\(D\)內(nèi)簡單閉曲線，積分\(\oint_{C}f(z)dz\)一定不為\(0\)。（）9.若\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，\(C\)是\(D\)內(nèi)簡單閉曲線，\(k\)為常數(shù)，則\(\oint_{C}kf(z)dz=k\oint_{C}f(z)dz\)。（）10.積分\(\oint_{C}\coszdz\)（\(C\)為任意簡單閉曲線）的值為\(0\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述柯西積分定理。答案：若函數(shù)\(f(z)\)在單連通域\(D\)內(nèi)解析，\(C\)為\(D\)內(nèi)任意一條簡單閉曲線，則\(\oint_{C}f(z)dz=0\)。2.說明柯西積分公式及其作用。答案：設(shè)\(f(z)\)在\(C\)及\(C\)所圍區(qū)域解析，\(z_0\)在\(C\)內(nèi)部，則\(\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\piif(z_0)\)。可用于計算特定形式的復(fù)變函數(shù)積分。3.復(fù)變函數(shù)積分參數(shù)方程法的步驟是什么？答案：先將曲線\(C\)表示為參數(shù)方程\(z=z(t)\)，\(a\leqt\leqb\)，再將\(f(z)\)中的\(z\)用\(z(t)\)代替，\(dz\)用\(z^\prime(t)dt\)代替，最后計算定積分\(\int_{a}^f(z(t))z^\prime(t)dt\)。4.高階導(dǎo)數(shù)公式在復(fù)變函數(shù)積分中有什么應(yīng)用？答案：對于積分\(\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\)（\(n\)為非負整數(shù)，\(f(z)\)解析，\(z_0\)在\(C\)內(nèi)部），由高階導(dǎo)數(shù)公式可得積分值為\(\frac{2\pii}{n!}f^{(n)}(z_0)\)，方便計算此類積分。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論復(fù)變函數(shù)積分與實函數(shù)積分在計算方法和性質(zhì)上的異同。答案：相同點：都有線性性質(zhì)。不同點：復(fù)變函數(shù)積分路徑是復(fù)平面曲線，計算方法有參數(shù)方程法、柯西積分定理等；實函數(shù)積分路徑在實數(shù)軸，方法有牛頓-萊布尼茨公式等。復(fù)變函數(shù)積分與解析性緊密相關(guān)，實函數(shù)積分主要基于可積性。2.當(dāng)\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)不解析時，復(fù)變函數(shù)積分\(\oint_{C}f(z)dz\)如何計算？答案：若\(f(z)\)不解析，可嘗試將\(f(z)\)分解為部分分式，利用已知積分公式；或用參數(shù)方程法轉(zhuǎn)化為實積分計算；也可根據(jù)留數(shù)定理，若能確定奇點及留數(shù)，可計算積分值。3.分析柯西積分定理在復(fù)變函數(shù)理論中的重要性。答案：柯西積分定理是復(fù)變函數(shù)理論基礎(chǔ)。它建立了解析函數(shù)積分與路徑無關(guān)的性質(zhì)，由此衍生出諸多重要結(jié)論，如柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式等，為復(fù)變函數(shù)積分計算、函數(shù)性質(zhì)研究等提供關(guān)鍵工具。4.舉例說明復(fù)變函數(shù)積分在實際問題中的應(yīng)用。答案：在流體力學(xué)中，可通過復(fù)變函數(shù)積分計算平面流速場的