江蘇新區(qū)二模數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|x>3}

D.{x|x<1}

2.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的定義域是（）

A.(-∞,-1)

B.(-1,∞)

C.(-∞,-1]∪(-1,∞)

D.(-∞,∞)

3.已知向量a=(3,4)，b=(1,-2)，則向量a+b的模長為（）

A.3

B.4

C.5

D.7

4.直線y=2x+1與直線y=-x+3的交點坐標是（）

A.(1,2)

B.(2,1)

C.(-1,-2)

D.(-2,-1)

5.若等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，且a?=2，d=3，則S?等于（）

A.n(n+1)

B.n(n+2)

C.3n(n+1)

D.3n(n+2)

6.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(1)=2，則f(-1)等于（）

A.-2

B.2

C.0

D.1

7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C等于（）

A.75°

B.105°

C.120°

D.135°

8.拋擲一枚硬幣兩次，事件“兩次都是正面”的概率是（）

A.1/4

B.1/2

C.1/3

D.1

9.已知圓的方程為(x-1)2+(y+2)2=9，則該圓的圓心坐標是（）

A.(1,-2)

B.(-1,2)

C.(2,-1)

D.(-2,1)

10.函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)的圖像關(guān)于哪個點對稱（）

A.(0,0)

B.(π/4,0)

C.(π/2,0)

D.(π/4,1)

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是增函數(shù)的有（）

A.y=x2

B.y=3x+2

C.y=1/x

D.y=sin(x)

2.已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a2=b2+c2-2bc*cosA，則△ABC是（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等邊三角形

D.鈍角三角形

3.下列命題中，正確的有（）

A.若a>b，則a2>b2

B.若a>b，則log?(a)>log?(b)

C.若a>b，則1/a<1/b

D.若a>b，則a*sin(π/4)>b*sin(π/4)

4.已知數(shù)列{a?}的前n項和為S?，且a?=1，a?=2a???+1（n≥2），則該數(shù)列的前五項分別為（）

A.1,3,7,15,31

B.1,2,4,8,16

C.1,3,5,7,9

D.1,2,5,10,17

5.下列函數(shù)中，是周期函數(shù)的有（）

A.y=tan(x)

B.y=cos(2x)

C.y=ex

D.y=|sin(x)|

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，且頂點坐標為(1,-3)，則a的取值范圍是________。

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=162，則該數(shù)列的公比q等于________。

3.已知圓O的半徑為2，圓心O在直線L:x-y+1=0上，則圓O上到直線L距離最短的點的坐標是________。

4.執(zhí)行以下算法語句：

S=0

i=1

WHILEi<=10

S=S+i2

i=i+1

ENDWHILE

則循環(huán)結(jié)束后，變量S的值等于________。

5.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5，則cosB的值等于________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解方程：2^(x+1)-5*2^x+2=0。

2.已知函數(shù)f(x)=(x-1)/(x+2)，求f(0)，f(-1)，f(1)的值。

3.計算：lim(x→∞)[(3x^2-2x+1)/(x^2+4x-5)]。

4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=5，b=7，C=60°，求邊c的長度。

5.已知數(shù)列{a?}的前n項和為S?，且滿足關(guān)系式S?=n(a?+1)，求該數(shù)列的通項公式a?。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：A∩B為集合A和集合B的交集，即同時屬于A和B的元素構(gòu)成的集合。A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，故A∩B={x|2<x<3}。

2.B

解析：函數(shù)f(x)=log?(x+1)有意義，則x+1>0，即x>-1。故定義域為(-1,∞)。

3.C

解析：向量a+b=(3+1,4-2)=(4,2)，其模長|a+b|=√(42+22)=√(16+4)=√20=2√5。選項中無2√5，但根據(jù)向量模長計算公式，結(jié)果應為√20，而非選項中的數(shù)字，此處題目可能存在錯誤或選項設(shè)置問題。按標準計算，結(jié)果為2√5。

4.A

解析：聯(lián)立方程組：

{y=2x+1

{y=-x+3

將第二個方程代入第一個方程，得：

-x+3=2x+1

3-1=2x+x

2=3x

x=2/3

將x=2/3代入y=-x+3，得：

y=-(2/3)+3=-2/3+9/3=7/3

故交點坐標為(2/3,7/3)。選項中無此坐標，題目可能存在錯誤或選項設(shè)置問題。按標準計算，結(jié)果為(2/3,7/3)。

5.D

解析：等差數(shù)列{a?}的前n項和公式為S?=n/2*(a?+a?)。已知a?=2，d=3，則a?=a?+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1。代入前n項和公式：

S?=n/2*(2+(3n-1))=n/2*(3n+1)=3n2/2+n/2=n(3n/2+1/2)=n(n(3/2)+1/2)=n(n+2)/2*3/2。此處S?=3n(n+2)/2。選項D符合。根據(jù)公式S?=n/2*(2a?+(n-1)d)=n/2*(4+3(n-1))=n/2*(3n+1)=3n2/2+n/2。選項D是3n2/2+3n/2。重新計算S?=n/2*(2+(n-1)*3)=n/2*(3n-1)=3n2/2-n/2。選項D為3n2/2+3n/2。題目可能存在錯誤或選項設(shè)置問題。按標準計算，S?=3n2/2+3n/2。

6.A

解析：根據(jù)奇函數(shù)的定義，f(-x)=-f(x)。已知f(1)=2，則f(-1)=-f(1)=-2。

7.A

解析：三角形內(nèi)角和為180°。A+B+C=180°。已知A=60°，B=45°，則C=180°-60°-45°=75°。

8.A

解析：拋擲兩次硬幣，共有4種等可能的基本事件：(正,正)，(正,反)，(反,正)，(反,反)。事件“兩次都是正面”只有一種情況，即(正,正)。故概率為1/4。

9.A

解析：圓的標準方程為(x-h)2+(y-k)2=r2，其中(h,k)為圓心坐標，r為半徑。由方程(x-1)2+(y+2)2=9可知，圓心坐標為(1,-2)，半徑為√9=3。

10.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)的圖像是將y=sin(x)的圖像向左平移π/4個單位得到的。正弦函數(shù)y=sin(x)的圖像關(guān)于點(π/2,0)對稱。因此，y=sin(x+π/4)的圖像關(guān)于點(π/4,0)對稱。

二、多項選擇題答案及解析

1.B,D

解析：

A.y=x2在(-∞,0)上遞減，在(0,∞)上遞增，不是在其定義域內(nèi)的增函數(shù)。

B.y=3x+2是一次函數(shù)，其圖像是直線，斜率為正，因此在整個定義域R上遞增。

C.y=1/x在(-∞,0)上遞增，在(0,∞)上遞減，不是在其定義域內(nèi)的增函數(shù)。

D.y=sin(x)是周期函數(shù)，在每個周期內(nèi)既有遞增區(qū)間也有遞減區(qū)間，不是在其定義域內(nèi)的增函數(shù)。

故選B,D。

2.B

解析：根據(jù)勾股定理的逆定理，若a2=b2+c2-2bc*cosA，則△ABC是直角三角形，其中∠A=90°。因為a2=b2+c2-2bc*cosA等價于a2=b2+c2-2bc*cos(90°)（因為∠A=90°，所以cosA=cos(90°)=0），即a2=b2+c2。

3.C,D

解析：

A.若a>b，則a2>b2不一定成立。例如，a=1,b=-2，則a>b但a2=1<b2=4。需要a,b為正數(shù)時才成立。

B.若a>b，則log?(a)>log?(b)不一定成立。例如，a=2,b=10，則a<b但log?(a)=log?(2)>log?(10)=1。需要底數(shù)大于1時，函數(shù)才單調(diào)遞增。

C.若a>b>0，則1/a<1/b成立。因為兩邊同時乘以正數(shù)ab（ab>0），得b<a，即1/a<1/b。

D.若a>b，則a*sin(π/4)>b*sin(π/4)成立。因為sin(π/4)=√2/2是正數(shù)，所以可以將不等式兩邊同時乘以sin(π/4)（sin(π/4)>0），不等號方向不變。

故選C,D。

4.A

解析：已知a?=1，a?=2a???+1（n≥2）。

當n=1時，a?=1。

當n=2時，a?=2a?+1=2*1+1=3。

當n=3時，a?=2a?+1=2*3+1=7。

當n=4時，a?=2a?+1=2*7+1=15。

當n=5時，a?=2a?+1=2*15+1=31。

故前五項分別為1,3,7,15,31。

5.A,B,D

解析：

A.y=tan(x)是周期函數(shù)，周期為π。

B.y=cos(2x)是周期函數(shù)，其基本周期為2π/|2|=π。

C.y=ex是指數(shù)函數(shù)，不是周期函數(shù)。

D.y=|sin(x)|是周期函數(shù)，其基本周期為2π/|1|=2π。因為sin(x)的周期為2π，取絕對值后，一個周期內(nèi)對稱的部分合并為一個周期，周期不變。

故選A,B,D。

三、填空題答案及解析

1.a>0

解析：函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像是拋物線。開口方向由二次項系數(shù)a決定。當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下。題目已知圖像開口向上，故a>0。

2.3

解析：在等比數(shù)列{a?}中，項與項之間的關(guān)系為a?=a?*q^(n-1)。已知a?=6，即a?*q=6。已知a?=162，即a?*q?=162。將a?*q=6代入a?*q?=162，得：(6/q)*q?=162，即6q3=162。解得q3=162/6=27。因為27=33，所以q=3。

3.(5/2,3/2)

解析：圓O的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，圓心為O(1,-2)，半徑為2。直線L的方程為x-y+1=0。點P(x,y)到直線Ax+By+C=0的距離公式為d=|Ax+By+C|/√(A2+B2)。將直線L的方程化為標準形式，得x-y+1=0，即1*x-1*y+1=0。此時A=1,B=-1,C=1。圓心O(1,-2)到直線L的距離為：

d=|1*1+(-1)*(-2)+1|/√(12+(-1)2)=|1+2+1|/√(1+1)=|4|/√2=4/√2=2√2。

圓O上到直線L距離最短的點P，位于圓心O(1,-2)到直線L的垂線上，且垂線段長為2√2。點P在直線L上，故滿足直線L的方程x-y+1=0。又點P在通過圓心O且垂直于L的直線上，該垂線的斜率為L的斜率的負倒數(shù)。L的斜率為1，故垂線斜率為-1。垂線方程為y-(-2)=-1*(x-1)，即y+2=-x+1，即y=-x-1。聯(lián)立方程組：

{x-y+1=0

{-x-y-1=0

將第二個方程兩邊同時乘以-1，得：

{x-y+1=0

{x+y+1=0

將兩個方程相加，得：

2x+2=0

2x=-2

x=-1

將x=-1代入第一個方程，得：

-1-y+1=0

-y=0

y=0

故圓O上到直線L距離最短的點P坐標為(-1,0)。但檢查發(fā)現(xiàn)，垂線方程應為y-(-2)=-1*(x-1)，即y+2=-x+1，即y=-x-1。聯(lián)立：

{x-y+1=0

{-x-y-1=0

{x-y+1=0

{x+y+1=0

相加得2x+2=0,x=-1。

代入x-y+1=0,-1-y+1=0,y=0。

點P(-1,0)到直線L的距離為|-1-0+1|/√2=|0|/√2=0。這顯然不正確，因為圓心到直線的距離是2√2，最短距離點應在圓周上。

正確方法：點P坐標(x,y)滿足(x-1)2+(y+2)2=4，且x-y+1=0。將x=y-1代入圓方程：

((y-1)-1)2+(y+2)2=4

(y-2)2+(y+2)2=4

y2-4y+4+y2+4y+4=4

2y2+8=4

2y2=-4

y2=-2

此處計算出錯，說明之前的推理有誤。重新思考：最短距離點P在線LO上，且在圓上。LO的方程為y=-x-1。P的坐標(x,y)滿足x-y+1=0和(y+2)=-1*(x-1)。聯(lián)立：

{x-y+1=0

{-x-y-1=0

相加得2x+2y+0=0,x+y=-1。

從x-y+1=0得x-y=-1。

解得x=0,y=-1。

點P(0,-1)到直線L的距離為|0-(-1)+1|/√(12+(-1)2)=|1+1|/√2=2/√2=√2。

圓心O(1,-2)到直線L的距離為|1-(-2)+1|/√2=|1+2+1|/√2=4/√2=2√2。

最短距離為圓心到直線距離減去半徑，即2√2-2=2(√2-1)。此時P點坐標應為(0,-1)。但計算得到距離為√2，不是2√2-2。這說明點P坐標(0,-1)不滿足圓方程(x-1)2+(y+2)2=4。重新計算：

(0-1)2+(-1+2)2=(-1)2+(1)2=1+1=2≠4。

說明點P(0,-1)不在圓上。最短距離點應在圓上，且在垂線y=-x-1上。

正確解法：設(shè)P(x,y)為圓上點，滿足(x-1)2+(y+2)2=4且y=-x-1。

代入得(x-1)2+(-x-1+2)2=4

(x-1)2+(-x+1)2=4

(x-1)2+(x-1)2=4

2(x-1)2=4

(x-1)2=2

x-1=±√2

x=1±√2

當x=1+√2時，y=-(1+√2)-1=-2-√2。

當x=1-√2時，y=-(1-√2)-1=-2+√2。

兩個點分別為(1+√2,-2-√2)和(1-√2,-2+√2)。

計算這兩個點到直線L的距離：

點(1+√2,-2-√2)到直線L的距離：

d=|(1+√2)-(-2-√2)+1|/√2=|1+√2+2+√2+1|/√2=|4+2√2|/√2=(4/√2)+(2√2/√2)=2√2+2。

點(1-√2,-2+√2)到直線L的距離：

d=|(1-√2)-(-2+√2)+1|/√2=|1-√2+2-√2+1|/√2=|4-2√2|/√2=(4/√2)-(2√2/√2)=2√2-2。

其中2√2-2是最短的。對應的點坐標為(1-√2,-2+√2)。

題目可能要求的是距離最短的點坐標，即(1-√2,-2+√2)。

另一種理解：題目可能要求的是圓上到直線距離為2√2-2的點坐標。根據(jù)計算，這個點的坐標是(1-√2,-2+√2)。

選項中(5/2,3/2)=(2.5,1.5)不在此集合中。題目可能有誤或選項有誤。

檢查計算：(1-√2)2+(-2+√2+2)2=(1-√2)2+(√2)2=1-2√2+2+2=5-2√2≠4。點不在圓上。

可能是題目或選項錯誤。如果按(1-√2,-2+√2)計算，其到直線距離為2√2-2。

重新審視題目：“圓O上到直線L距離最短的點的坐標是________。”答案應為(1-√2,-2+√2)。

4.36

解析：執(zhí)行算法語句：

S=0

i=1

WHILEi<=10

S=S+i2

i=i+1

ENDWHILE

循環(huán)執(zhí)行10次，計算S?到S??的和。

S?=0+12=1

S?=1+22=1+4=5

S?=5+32=5+9=14

S?=14+42=14+16=30

S?=30+52=30+25=55

S?=55+62=55+36=91

S?=91+72=91+49=140

S?=140+82=140+64=204

S?=204+92=204+81=285

S??=285+102=285+100=385

循環(huán)結(jié)束后，S的值等于385。

題目可能存在錯誤，選項中無385。如果題目要求計算過程或最終結(jié)果，最終結(jié)果為385。

5.3/4

解析：在△ABC中，a=3，b=4，c=5。根據(jù)勾股定理，a2+b2=c2，即32+42=52，9+16=25，25=25。所以△ABC是直角三角形，且∠C=90°。

cosB=鄰邊/斜邊=a/c=3/5。

但選項中沒有3/5。檢查題目條件，a=3,b=4,c=5。cosB=a/c=3/5。

可能是題目或選項錯誤。如果按標準計算，cosB=3/5。

四、計算題答案及解析

1.解：2^(x+1)-5*2^x+2=0

2*2^x-5*2^x+2=0

(2-5)*2^x+2=0

-3*2^x+2=0

-3*2^x=-2

3*2^x=2

2^x=2/3

x=log?(2/3)=log?(2)-log?(3)=1-log?(3)

所以x=1-log?(3)。

2.解：f(x)=(x-1)/(x+2)

f(0)=(0-1)/(0+2)=-1/2

f(-1)=(-1-1)/(-1+2)=-2/1=-2

f(1)=(1-1)/(1+2)=0/3=0

3.解：lim(x→∞)[(3x^2-2x+1)/(x^2+4x-5)]

分子分母同除以x2，得：

lim(x→∞)[(3-2/x+1/x2)/(1+4/x-5/x2)]

當x→∞時，2/x→0，1/x2→0，4/x→0，5/x2→0。

所以極限為：

(3-0+0)/(1+0-0)=3/1=3。

4.解：在△ABC中，a=5，b=7，C=60°，求邊c。

根據(jù)余弦定理，c2=a2+b2-2ab*cosC

c2=52+72-2*5*7*cos60°

c2=25+49-2*5*7*(√3/2)

c2=74-35√3

c=√(74-35√3)

由于選項中沒有這個形式，可能題目或選項有誤。如果按標準計算，結(jié)果為√(74-35√3)。

5.解：已知數(shù)列{a?}的前n項和為S?，且滿足關(guān)系式S?=n(a?+1)。

當n=1時，S?=1(a?+1)=a?+1。又S?=a?。所以a?+1=a?，矛盾。說明關(guān)系式S?=n(a?+1)對n=1可能不適用或題目有誤。

假設(shè)關(guān)系式適用于n≥2。

當n≥2時，S?=n(a?+1)。又S?=S???+a?。所以：

n(a?+1)=(n-1)(a???+1)+a?

n*a?+n=(n-1)*a???+(n-1)+a?

n*a?-a?=(n-1)*a???-(n-1)

(n-1)*a?=(n-1)*a???-(n-1)

(n-1)*a?=(n-1)(a???-1)

因為n≥2，所以n-1≠0，可以消去n-1：

a?=a???-1(n≥2)

這表明從第二項起，數(shù)列{a?}是一個公差為-1的等差數(shù)列。

a?=a?+(n-1)*(-1)=a?-(n-1)

需要求出a?。利用S?=a?。如果關(guān)系式對n=1也適用：

S?=1(a?+1)=a?+1。所以a?=-1。

如果關(guān)系式僅對n≥2適用：

利用n=2：

S?=2(a?+1)。又S?=S?+a?=a?+a?。所以：

2(a?+1)=a?+a?

2a?+2=a?+a?

a?=2

由于a?=a?-(n-1)，且a?=-1，a?=2。這與a?=-1-(2-1)=-2矛盾。說明關(guān)系式對n=1不適用。

結(jié)論：關(guān)系式S?=n(a?+1)僅對n≥2適用。此時數(shù)列{a?}從第二項起是公差為-1的等差數(shù)列，通項公式為a?=a?-(n-1)(n≥2)。

但a?無法確定，因為S?=a?，而關(guān)系式對n=1不適用。如果強行假設(shè)a?=-1（從n=2開始推導），則a?=-1-(n-1)=-n。但此時S?=a?=-1，不滿足S?=1(a?+1)=1(-1+1)=0。矛盾。

題目可能存在錯誤或需要補充條件。如果題目要求從n=2開始適用，且假設(shè)a?=-1，則a?=-n(n≥2)。

如果題目要求通項公式，且關(guān)系式僅對n≥2適用，則a?=-n(n≥2)。n=1時a?單獨考慮，S?=a?，關(guān)系式不適用。

知識點總結(jié)：

本試卷主要涵蓋以下理論基礎(chǔ)知識點：

1.**集合與邏輯**：涉及集合的交、并運算，函數(shù)的定義域，命題的真假判斷（選擇題1,2,6；填空題1）。

2.**函數(shù)**：涉及函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、圖像變換、函數(shù)求值（選擇題2,3,10；填空題1）。

3.**向量**：涉及向量的加法、減法、模長計算（選擇題3）。

4.**解析幾何**：涉及直線與點的位置關(guān)系（交點坐標），直線與圓的位置關(guān)系（圓心、半徑、距離），直線方程（斜截式、一般式）（選擇題4；填空題3）。

5.**數(shù)列**：涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式，數(shù)列遞推關(guān)系（選擇題5；填空題2；計算題5）。

6.**三角函數(shù)**：涉及三角函數(shù)的定義、誘導公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、三角恒等變換（sin(A±B),cos(A±B),sin2A+cos2A=1,tan(A±B)），三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（周期性、單調(diào)性）（選擇題6,7,10；填空題5）。

7.**不等式**：涉及不等式的性質(zhì)、解法（選擇題1,3,9；計算題1）。

8.**數(shù)列求和**：涉及數(shù)列求和公式的應用（計算題1）。

9.**極限**：涉及函數(shù)極限的計算（計算題3）。

10.**幾何**：涉及三角