第二節(jié)函數(shù)求導(dǎo)法則直接用定義去求每一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是極為復(fù)雜和困難的.利用本節(jié)給出的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,就能比較方便地求出初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).一、函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則四、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則

定理1

設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)都在點(diǎn)x處可導(dǎo),那么它們的和、差、積、商在x處也可導(dǎo),且

（2）[u(x)v(x)]

=u(x)

v(x)+u(x)v(x)

（1）[u(x)

v(x)]

=u(x)

v(x)

；（3）【v(x)

0】(2)證:設(shè)則有故結(jié)論成立.乘積求導(dǎo)法則可簡單地表示為(uv)

=u

v+uv

.=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)例1

y=ex(sinx+cosx)–ln3,求y

.=(ex)

(sinx+cosx)+ex(sinx+cosx)

解

y

=(ex(sinx+cosx))+(ln3)=2excosx.

例2

y=tanx,求y

.即(tanx)

=sec2x.這就是正切函數(shù)的求導(dǎo)公式.類似地可求余切函數(shù)的求導(dǎo)公式(cotx)

=

csc2x.例3

y=secx,求y

.即(secx)

=secxtanx.這就是正割函數(shù)的求導(dǎo)公式.類似地可求余割函數(shù)的求導(dǎo)公式(cscx)

=

cscxcotx.二、反函數(shù)的求導(dǎo)公式

定理2

設(shè)函數(shù)在區(qū)間Iy上單調(diào)、可導(dǎo),且,則它的反函數(shù)y=f(x)在對應(yīng)區(qū)間Ix上也單調(diào)、可導(dǎo),且

簡言之，即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)（不等于零）的倒數(shù).例4.

求函數(shù)解:則類似可求得,則的導(dǎo)數(shù).為函數(shù)類似可求得解：的反函數(shù)。例5.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。小結(jié):在點(diǎn)x

可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理3.在點(diǎn)可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)且在點(diǎn)x

可導(dǎo),即因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t)例6解例7解例如,關(guān)鍵:

搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.則復(fù)合函數(shù)y=f(g(h(x)))對x的導(dǎo)數(shù)為

例9.解熟練之后,計算時可以不寫出中間變量,而直接寫出結(jié)果.又如如例11

y=lncos(ex),求y

.例10

解：例12

設(shè)解：設(shè)例13

設(shè)其中函數(shù)可導(dǎo)，求四、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.基本導(dǎo)數(shù)公式(1)(C)

=0;(2)(x

)

=

x

-1;(3)(sinx)

=cosx;(4)(cosx)

=sinx;(5)(tanx)

=sec2x;(6)(cotx)

=-csc2x;(7)(secx)

=secxtanx;(8)(cscx)

=-cscxcotx;(9)(ex)

=ex;(10)(ax)

=axlna;2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)u=u(x),v=v(x)均可導(dǎo),則(1)(u

v)

=u

v

;(2)(uv)

=u

v+uv

;(3)(C

u)

=Cu

;

3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y=f(u),u=g(x),且f(u),g(x)均可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)為利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決.注意:初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).例14.求解:先化簡后求導(dǎo)例15.求解:作業(yè)P842(1),(3),(8),(14)(16),(17),(18),3(3)4(1),(5),(8),(13),(14),

內(nèi)容小結(jié)求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則注意:1)2）分段函數(shù)求導(dǎo)時，分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.3）反函數(shù)的求導(dǎo)法則：注意成立條件;4）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：注意函數(shù)的復(fù)合過程,合理分解正確使用鏈?zhǔn)椒ǚ▌t;例13

例17

求函數(shù)解

的導(dǎo)數(shù).

例21

求函數(shù)

解的導(dǎo)數(shù).證（3）取得增量

u,

v,函數(shù)也取得增量除法求導(dǎo)法則可簡單地表示為當(dāng)x取增量

x時,函數(shù)u(x),v(x)分別解：則特別當(dāng)時,例9.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理3

設(shè)函數(shù)u=g(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u=g(x)處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))在點(diǎn)x處可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為設(shè)x取增量

x,則u取得相應(yīng)的增量

u,因為u=g(x)可導(dǎo),則必連續(xù),所以

x

0時,當(dāng)

u=0時,可以證明上述公式仍然成立.從而y取得相應(yīng)的增量

y,即

u=g(x+

x)

g(x),

y=f(u+

u)

f(u).

u

0,因此當(dāng)

u

0時,有證中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自身變量的導(dǎo)數(shù).設(shè)y=f(u),u=g(v),v=h(x)都是可導(dǎo)函數(shù),則復(fù)合函數(shù)y=f(g(h(x)))對x的導(dǎo)數(shù)為公式表明,復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對

例16

設(shè)x>0,證明冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

(x

)

=

x

-1.證例1

y=x4+sinx–ln3,求y.解

y=(x4)+(sinx)+(ln3)=4x3+cosx.=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx.例2

y=ex(sinx+cosx),求y

.解

y

=(ex)

(sinx+cosx)+ex(sinx+cosx)

例3

例4

y