第三章中值定理應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三節(jié))推廣微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用7/28/2025高等數(shù)學(xué)一、羅爾(Rolle)定理第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章7/28/2025高等數(shù)學(xué)費(fèi)馬(fermat)引理一、羅爾(Rolle)定理且存在證:設(shè)則費(fèi)馬目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證畢7/28/2025高等數(shù)學(xué)若M>

m,則M和m

中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè)則至少存在一點(diǎn)使注意:1)定理?xiàng)l件條件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如,則由費(fèi)馬引理得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7/28/2025高等數(shù)學(xué)使2)定理?xiàng)l件只是充分的.本定理可推廣為在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)證明提示:

設(shè)證F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7/28/2025高等數(shù)學(xué)例1.

證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設(shè)另有為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件,至少存在一點(diǎn)但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7/28/2025高等數(shù)學(xué)二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使思路:利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且證:問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)即定理結(jié)論成立.拉氏目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證畢7/28/2025高等數(shù)學(xué)拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論:若函數(shù)在區(qū)間I上滿足則在

I上必為常數(shù).證:在I

上任取兩點(diǎn)日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7/28/2025高等數(shù)學(xué)例2.

證明等式證:設(shè)由推論可知(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經(jīng)驗(yàn):欲證時(shí)只需證在I上機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7/28/2025高等數(shù)學(xué)例3.

證明不等式證:設(shè)中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣室虼藨?yīng)有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7/28/2025高等數(shù)學(xué)三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使?jié)M足:要證柯西目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7/28/2025高等數(shù)學(xué)證:作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn)思考:柯西定理的下述證法對(duì)嗎?兩個(gè)

不一定相同錯(cuò)!機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束上面兩式相比即得結(jié)論.7/28/2025高等數(shù)學(xué)柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7/28/2025高等數(shù)學(xué)例4.設(shè)至少存在一點(diǎn)使證:結(jié)論可變形為設(shè)則在[0,1]上滿足柯西中值定理?xiàng)l件,因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

,使即證明機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7/28/2025高等數(shù)學(xué)例5.

試證至少存在一點(diǎn)使證:

法1

用柯西中值定理.則f(x),F(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理?xiàng)l件,令因此即分析:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7/28/2025高等數(shù)學(xué)例5.

試證至少存在一點(diǎn)使法2令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件,使因此存在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7/28/2025高等數(shù)學(xué)內(nèi)容小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的應(yīng)用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論關(guān)鍵:利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)費(fèi)馬引理機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7/28/2025高等數(shù)學(xué)思考與練習(xí)1.填空題1)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件,則中值2)設(shè)有個(gè)根,它們分別在區(qū)間機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束上.方程7/28/2025高等數(shù)學(xué)2.設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點(diǎn)使提示:由結(jié)論可知,只需證即驗(yàn)證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7/28/2025高等數(shù)學(xué)3.若可導(dǎo),試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有的零點(diǎn).提示:設(shè)欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)驗(yàn)證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7/28/2025高等數(shù)學(xué)4.思考:在即當(dāng)時(shí)問(wèn)是否可由此得出

不能!因?yàn)槭且蕾?lài)于x的一個(gè)特殊的函數(shù).因此由上式得表示x

從右側(cè)以任意方式趨于0.應(yīng)用拉格朗日中值定理得上對(duì)函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7/28/2025高等數(shù)學(xué)作業(yè)P1327,8,10,12,14,15提示:題15.題14.考慮第二節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7/28/2025高等數(shù)學(xué)費(fèi)馬(1601–1665)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛(ài)好.他興趣廣泛,博覽群書(shū)并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn).他特別愛(ài)好數(shù)論,他提出的費(fèi)馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū),費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來(lái)的.7/28/2025高等數(shù)學(xué)拉格朗日(1736–1813)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來(lái),數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.7/28/2025高等數(shù)學(xué)柯西(1789–1857)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)校編寫(xiě)的《分析教程》,《無(wú)窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠(yuǎn).對(duì)數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書(shū)7本,7/28/2025高等數(shù)學(xué)備用題