必刷小題10平面向量、復(fù)數(shù)一、單項(xiàng)選擇題1.若復(fù)數(shù)z＝11+i，則2i·z的虛部是（A.i B.2iC.1 D.2解析：Cz＝11+i＝1－i（1+i)(1－i）＝12－12i，2i·z＝2i（12－12i）＝i（1－2.已知△ABC滿足AB2＝2BA·CA，則△ABC的形狀為（A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形解析：D根據(jù)AB2＝2BA·CA得c2＝2bccosA，即c＝2bcosA，由正弦定理可得sinC＝2sinBcosA，又sinC＝sin[π－（A＋B）]＝sin（A＋B），∴sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝2sinBcosA，即sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin（A－B）＝0，且A和B都為三角形的內(nèi)角，∴A＝B，則△ABC的形狀為等腰三角形.故選3.已知復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R），若ai2023＋2＝b＋i，則｜zA.3 B.2C.5 D.3解析：C∵ai2023＋2＝aii2024＋2＝2＋ai＝b＋i，∴a＝1，b＝2，故z＝1＋2i，因此｜4.已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，則t＝（）A.－6 B.－5C.5 D.6解析：C由題意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因?yàn)椋糰，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即a·c｜a||c｜＝b·c｜b||c｜，5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量OA與OB關(guān)于y軸對(duì)稱，向量a＝（1，0），則滿足不等式OA2＋a·AB≤0的點(diǎn)A（x，y）構(gòu)成的集合用陰影表示為（解析：B∵A（x，y），向量OA與OB關(guān)于y軸對(duì)稱，∴B（－x，y），AB＝（－2x，0）.∵OA2＋a·AB≤0∴x2＋y2－2x＝（x－1）2＋y2－1≤0，故滿足要求的點(diǎn)A（x，y）在以（1，0）為圓心，1為半徑的圓上以及圓的內(nèi)部.故選B.6.已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，P為線段AB上一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則PB·PC的取值范圍為（）A.－C.[0，2] D.[0，4]解析：A以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC的方向?yàn)閤，y軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A（－1，0），B（1，0），C（0，3），設(shè)P（m，0）（－1≤m≤1），∴PB＝（1－m，0），PC＝（－m，3），∴PB·PC＝m2－m＝m－122－14，則當(dāng)m＝12時(shí)，（PB·PC）min＝－14；當(dāng)m＝－1時(shí)，（PB·PC）max＝2，∴PB7.已知復(fù)數(shù)z＝cosθ＋isinθ（其中i為虛數(shù)單位），下列說(shuō)法不正確的是（）A.z·z＝1B.z＋1zC.若θ＝8π3，則復(fù)數(shù)D.若θ∈（0，π），復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，則θ＝π解析：C對(duì)選項(xiàng)A，z·z＝（cosθ＋isinθ）（cosθ－isinθ）＝cos2θ－（isinθ）2＝cos2θ＋sin2θ＝1，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)閦＋1z＝cosθ＋isinθ＋1cosθ＋isinθ＝cosθ＋isinθ＋cosθ－isinθ（cosθ＋isinθ)(cosθ－isinθ）＝cosθ＋isinθ＋cosθ－isinθ＝2cosθ，所以z＋1z為實(shí)數(shù).故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)棣龋?π3為第二象限角，所以cos8π3＜0，sin8π3＞0，所以z＝cos8π3＋8.已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是△ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP＝13（2OA＋12OB＋12OC），則點(diǎn)P一定為△A.BC邊中線的中點(diǎn)B.BC邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C.重心D.BC邊的中點(diǎn)解析：B設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則12OC＋12∴OP＝13（OM＋2OA）＝13OM即3OP＝OM＋2OA，也就是MP＝2PA，∴P，M，A三點(diǎn)共線，且P是AM上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).二、多項(xiàng)選擇題9.已知z1，z2均為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有（）A.若｜z1｜＝｜z2｜，則z1＝±z2B.若z1＝z2，則z1＋z2C.（z1－z2）2＝｜z1－z2｜2D.若z1＋z2＝0，則z1z2解析：BDz1＝1，z2＝－i，｜z1｜＝｜z2｜而z1≠±z2，A錯(cuò)；令z1＝a＋bi，則z2＝a－bi，z1＋z2＝2a為實(shí)數(shù)，B對(duì)；z1＝1，z2＝i，（z1－z2）2＝－2i，｜z1－z2｜2＝2，則（z1－z2）2≠｜z1－z2｜2，C錯(cuò)；令z1＝a＋bi，則z2＝－a－bi，z2＝－a＋bi，z1·z2＝（a＋bi）（－a＋bi）＝－a2－b2為實(shí)數(shù)，D對(duì)，故選B10.已知向量a＝（1，3），b＝（2，－4），則下列結(jié)論正確的是（）A.（a＋b）⊥aB.向量a與向量b的夾角為3C.｜2a＋b｜＝10D.向量b在向量a上的投影向量是（1，3）解析：AB對(duì)于A選項(xiàng)，a＋b＝（3，－1），所以（a＋b）·a＝3－3＝0，故（a＋b）⊥a，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，cos＜a，b＞＝a·b｜a｜·｜b｜＝－1010×25＝－22，因?yàn)?≤＜a，b＞≤π，故＜a，b＞＝3π4，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，2a＋b＝2（1，3）＋（2，－4）＝（4，2），故｜2a＋b｜＝25，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，向量b在向量a上的投影向量為｜b｜c(diǎn)os3π4·a｜a｜＝211.引入平面向量之間的一種新運(yùn)算“?”如下：對(duì)任意的向量m＝（x1，y1），n＝（x2，y2），規(guī)定m?n＝x1x2－y1y2，則對(duì)于任意的向量a，b，c，下列說(shuō)法正確的有（）A.a?b＝b?aB.（λa）?b＝λ（a?b）C.a·（b?c）＝（a?b）·cD.｜a｜·｜b｜≥｜a?b｜解析：ABD設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），c＝（x3，y3）.A項(xiàng)，因?yàn)閍?b＝x1x2－y1y2，b?a＝x2x1－y2y1，所以a?b＝8b?a，故正確；B項(xiàng)，因?yàn)椋é薬）?b＝（λx1）x2－（λy1）y2＝λ（x1x2－y1y2）＝λ（a?b），故正確；C項(xiàng)，a·（b?c）＝（x2x3－y2y3）a，（a?b）·c＝（x1x2－y1y2）c，此時(shí)a·（b?c）＝（a?b）·c不恒成立，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，因?yàn)椋ǎ黙｜·｜b｜）2＝（x12＋y12·x22＋y22）2＝x12x22＋y12y22＋x12y22＋x22y12，｜a?b｜2＝x12x22＋y12y22－2x1x2y1y2，所以（｜a｜·｜b｜）2－｜a?b｜2＝x12y22＋x22y12＋2x1x2y1y2＝（x1y2＋x2y1）2≥0，所以（｜a｜·｜b｜）212.設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若AM＝12AB＋12AC，則點(diǎn)B.若AM＝2AB－AC，則點(diǎn)M在邊BC的延長(zhǎng)線上C.若AM＝－BM－CM，則點(diǎn)M是△ABC的重心D.若AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，則△MBC的面積是△ABC面積的解析：ACD若AM＝12AB＋12AC，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，若AM＝2AB－AC，即有AM－AB＝AB－AC，即BM＝CB，則點(diǎn)M在邊CB的延長(zhǎng)線上，故B錯(cuò)誤；若AM＝－BM－CM，即AM＋BM＋CM＝0，則點(diǎn)M是△ABC的重心，故C正確；如圖，AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12可得2AM＝2xAB＋2yAC，設(shè)AN＝2AM，則M為AN的中點(diǎn)，則△MBC的面積是△ABC面積的12，故D正確故選A、C、D.三、填空題13.復(fù)數(shù)z＝（2cosθ－1）＋（2sinθ＋3）i為純虛數(shù)，則tanθ＝.答案：3解析：∵z＝（2cosθ－1）＋（2sinθ＋3）i為純虛數(shù)，∴2cosθ－1=0，2sinθ＋14.已知a＝（2，1），b＝（λ，1），λ∈R，a與b的夾角為θ.若θ為銳角，則λ的取值范圍是.答案：{λλ＞解析：因?yàn)閏osθ＝a·b｜a｜·｜b｜＝2λ+15·λ2+1，且θ為銳角，所以2λ＋1＞0，解得λ＞－12，又當(dāng)λ＝2時(shí)，a＝b，夾角為15.已知平面向量a＝（3，3），則與a夾角為45°的一個(gè)非零向量b的坐標(biāo)可以為.（寫出滿足條件的一個(gè)向量即可）答案：（1，0）（答案不唯一，滿足b＝（x，y），xy＝0且x2＋y2≠0的任意一個(gè)均可）解析：設(shè)b＝（x，y），∴a·b＝3x＋3y＝6·x2＋y2·22，∴x2＋y2＝x＋y，∴xy＝0，且b為非零向量，∴x＝1，y＝0滿足題意，16.如圖是構(gòu)造無(wú)理數(shù)的一種方法：線段OA1＝1；第一步，以線段OA1為直角邊作直角三角形OA1A2，其中A1A2＝1；第二步，以O(shè)A2為直角邊作直角三角形OA2A3，其中A2A3＝1；第三步，以O(shè)A3為直角邊作直角三角形OA3A4，其中A3A4＝1；…，如此延續(xù)下去，可以得到