第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年河北省雄安新區(qū)高一（下）期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=?2+3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.樣本數(shù)據(jù)3，6，9，8，4，5的中位數(shù)為(

)A.5.5 B.6 C.6.5 D.73.若sin(5π?α)=23，則A.73 B.23 C.4.已知事件A，B互斥，P(A∪B)=35，且P(A)=3P(B)，則P(AA.1720 B.1120 C.9205.已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，體積為28，則該正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為(

)A.7 B.10 C.116.已知x，y，z的平均數(shù)與方差均為3，則x2，y2，z2的平均數(shù)為A.9 B.12 C.15 D.207.已知圓O為△ABC的外接圓，且AB+AC=2AO，∠AOB=π3，A.1 B.2 C.23 8.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C，的對(duì)邊分別為a，b，c，內(nèi)角A的平分線(xiàn)AD交BC邊于點(diǎn)D.若b=2，c=1，(b+c+a)(b+c?a)=bc，則BD=(

)A.73 B.377 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.某AI機(jī)器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率為37.若它連續(xù)嘗試投送兩次，則(

)A.事件“兩次都成功投放”與“恰好成功一次”是互斥事件

B.事件“兩次都未成功投放”與“至少成功一次”是對(duì)立事件

C.事件“第一次成功投放”與“兩次都成功投放”相互獨(dú)立

D.該機(jī)器人至少成功投放一次的概率為3310.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，且函數(shù)f(x)過(guò)點(diǎn)(0,3)，則(

)A.ω=1

B.φ=π3

C.f(x)在區(qū)間[?5π12,11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)A.三棱錐P?A1BD的體積為定值

B.AD1與平面PA1D所成角的正弦值隨著點(diǎn)P從B1移動(dòng)到C越來(lái)越大

C.C1P+AP的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(m,3)，b=(?1,2)，若a⊥b，則m=13.已知復(fù)數(shù)z=5i2+i，則|z|=______．14.已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為33，側(cè)棱長(zhǎng)2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=3sin2x?12cos2x?cos2x+12．

(1)16.(本小題15分)

某學(xué)校為保障校園科創(chuàng)社團(tuán)成員以良好身體素質(zhì)開(kāi)展創(chuàng)新實(shí)踐，對(duì)“航模社”和“建模社”進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)體能訓(xùn)練.學(xué)期末，從兩個(gè)社團(tuán)各隨機(jī)抽取100人進(jìn)行“障礙跑”成績(jī)測(cè)試(成績(jī)單位：秒)，依據(jù)測(cè)試結(jié)果得到如下頻率分布直方圖．

(1)分別計(jì)算航模社測(cè)試的平均成績(jī)、建模社測(cè)試成績(jī)的72%分位數(shù)(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值近似代替)；

(2)若測(cè)試成績(jī)?cè)?0秒以?xún)?nèi)(含70秒)為“體能合格”，從兩社團(tuán)“體能合格”成員中按分層隨機(jī)抽樣選5人分享“科創(chuàng)+體能”訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，再?gòu)倪@5人中選2人擔(dān)任經(jīng)驗(yàn)分享會(huì)主持人，求2人都來(lái)自“建模社”的概率．17.(本小題15分)

如圖，在圓錐PO中，AB為底面圓O的直徑，C，D為圓O上不與A，B重合的點(diǎn)，且PO=AB=2，BD=3，AB⊥CD．

(1)求證：BD⊥平面POC；

(2)求異面直線(xiàn)AD與BP所成角的余弦值．18.(本小題17分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若cosAcosCcosB=c2+b2?a22b2．

(1)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)若△ABC19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，AC與BD交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PO=3，點(diǎn)M為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線(xiàn)段AD上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)EM//平面PCD時(shí)，DE=1．

(1)求AD；

(2)求點(diǎn)D到平面PBC的距離；

(3)設(shè)DEAD=λ，探究當(dāng)λ為何值時(shí)，直線(xiàn)PE與平面

參考答案1.B

2.A

3.B

4.B

5.C

6.B

7.D

8.A

9.ABD

10.BC

11.ACD

12.6

13.514.48π

15.(1)因?yàn)閒(x)=3sin2x?12cos2x?cos2x+12

=3sin2x?12cos2x?1+cos2x2+12

=3sin2x?cos2x

=2sin(2x?π6)，

由2kπ?π2≤2x?π6≤2kπ+π2,(k∈Z)，

即16.(1)(0.016+0.024+0.032+a+0.008)×10=1，解得a=0.020，

(0.002+0.058+0.024+b+0.006)×10=1，解得b=0.010，

則航模社測(cè)試的平均成績(jī)x?=0.16×55+0.24×65+0.32×75+0.20×85+0.08×95=73，

設(shè)建模社測(cè)試成績(jī)的72%分位數(shù)為x，又[50,60)的頻率為0.02，

[60,70)的頻率為0.58，[70,80)的頻率為0.24，

其中0.02+0.58=0.6<0.7，0.02+0.58+0.24=0.84>0.7，

∴x在[70,80)之間，

則(x?70)×0.024=0.72?0.02?0.58=0.12，解得x=75，

∴建模社測(cè)試成績(jī)的72%分位數(shù)為75；

(2)根據(jù)題意，航模社“體能合格”的人數(shù)為(0.16+0.24)×100=40人，

建模社“體能合格”的人數(shù)為(0.02+0.58)×100=60人，

故航模社“體能合格”與建模社“體能合格”的人數(shù)之比為40：60=2：3，

則按分層隨機(jī)抽樣從航模社抽取2人，分別為(A1,A2)，建模社抽取3人，分別為(B1,B2,B3)，

再?gòu)倪@5人中選2人擔(dān)任經(jīng)驗(yàn)分享會(huì)主持人共有：

(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B17.(1)證明：連接BC，延長(zhǎng)CO交BD于點(diǎn)F，

因?yàn)锳B為底面圓O的直徑，所以AD⊥BD，

又AB=2,BD=3，所以AD=1，∠ABD=30°，∠BAD=60°，

又AB⊥CD，所以AB平分CD，∠CBD=2∠ABD=60°，

又BD=BC，則△BCD為正三角形，O是其中心，

所以F是BD中點(diǎn)，CF⊥BD，

又PO⊥平面BCD，所以PO⊥BD，又CF∩PO=O，

所以BD⊥平面POC；

(2)由(1)知，F(xiàn)是BD中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)E，

則EF//PB，OF//AD，

所以異面直線(xiàn)AD與BP所成的角為∠EFO或其補(bǔ)角，

又PD=PB=PO2+OB2=5，OE=1218.(1)因?yàn)閏osAcosCcosB=c2+b2?a22b2，

所以由余弦定理c2+b2?a2=2bccosA，得cosAcosCcosB=2bccosA2b2=ccosAb，

即bcosAcosC=ccosAcosB，由正弦定理得sinBcosAcosC=sinCcosAcosB，

即cosA(sinBcosC?sinCcosB)=0，即cosAsin(B?C)=0，

所以cosA=0或sin(B?C)=0：，所以A=π2或B=C，

所以△ABC為等腰三角形或直角三角形；

(2)因?yàn)椤鰽BC是斜三角形，由(1)知B=C，即AB=AC，

19.(1)在四棱錐P?ABCD中，取PC中點(diǎn)N，連接MN，DN，由點(diǎn)M為PB的中點(diǎn)，

得MN//BC,MN=12BC，點(diǎn)E在菱形ABCD邊AD上，

則DE//BC//MN，

平面DEMN∩平面PCD=DN，而EM//平面PCD，EM?平面DEMN，

因此EM//DN，四邊形DEMN為平行四邊形，12BC=MN=DE=1，

所以AD=BC=2．

(2)在菱形ABCD中，∠BAD=60°，則AO=CO=3=PO，

由PO⊥平面ABCD，AC，BD?平面ABCD，

所以PO⊥AC，PO⊥BD，PC=PO2+CO2=6，

PB=PD=PO2+DO2=2，

S△PBC=12PC