《一元二次不等式及其解法》典型例題透析類型一:解一元二次不等式例1.解下列一元二次不等式(1)
;(2)
;(3)
思路點(diǎn)撥:轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù),數(shù)形結(jié)合解決,或利用符號法則解答.解析：(1)方法一:因為所以方程
的兩個實數(shù)根為:
,
函數(shù)
的簡圖為:因而不等式的解集是.方法二:

或
解得
或
,即
或
.因而不等式的解集是.(2)方法一:因為，方程的解為.函數(shù)
的簡圖為:所以,原不等式的解集是
方法二：
（當(dāng)
時,
）所以原不等式的解集是(3)方法一:原不等式整理得.因為
,方程
無實數(shù)解,函數(shù)
的簡圖為:所以不等式的解集是.所以原不等式的解集是.方法二:∵
∴原不等式的解集是.總結(jié)升華:1.初學(xué)二次不等式的解法應(yīng)盡量結(jié)合二次函數(shù)圖象來解決,培養(yǎng)并提高數(shù)形結(jié)合的分析能力;2.當(dāng)
時,用配方法,結(jié)合符號法則解答比較簡潔（如第2、3小題）;當(dāng)
且是一個完全平方數(shù)時,利用因式分解和符號法則比較快捷,（如第1小題）.3.當(dāng)二次項的系數(shù)小于0時,一般都轉(zhuǎn)化為大于0后,再解答.舉一反三:【變式1】解下列不等式(1)
;(2)
(3)
;(4)
.【答案】(1)方法一:因為方程
的兩個實數(shù)根為:
,
函數(shù)
的簡圖為:因而不等式
的解集是:
.方法二:∵原不等式等價于
,∴原不等式的解集是:
.（2）整理,原式可化為
,因為,方程
的解
,
,函數(shù)
的簡圖為:所以不等式的解集是.(3)方法一:因為方程
有兩個相等的實根:
,由函數(shù)
的圖象為:原不等式的的解集是.方法二:∵原不等式等價于:
,∴原不等式的的解集是.(4)方法一:因為
,方程
無實數(shù)解,由函數(shù)
的簡圖為:原不等式的解集是.方法二:∵
,∴原不等式解集為.【變式2】解不等式:
【答案】原不等式可化為不等式組
,即
,即
,解得∴原不等式的解集為.類型二:已知一元二次不等式的解集求待定系數(shù)例2.不等式
的解集為
,求關(guān)于
的不等式
的解集。思路點(diǎn)撥:由二次不等式的解集為
可知：4.5是方程
的二根,故由韋達(dá)定理可求出
、
的值,從而解得.解析:由題意可知方程
的兩根為
和
由韋達(dá)定理有
,
∴，∴
化為
,即

,解得
,故不等式的解集為.總結(jié)升華:二次方程的根是二次函數(shù)的零點(diǎn),也是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn).根據(jù)不等式的解集的端點(diǎn)恰為相應(yīng)的方程的根,我們可以利用韋達(dá)定理,找到不等式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系,這一點(diǎn)是解此類題的關(guān)鍵。舉一反三:【變式1】不等式ax2+bx+12>0的解集為{x|-3<x<2},則a=_______,b=________?！敬鸢浮坑刹坏仁降慕饧癁閧x|-3<x<2}知a<0,且方程ax2+bx+12=0的兩根為-3,2。由根與系數(shù)關(guān)系得解得a=-2,b=-2?！咀兪?】已知的解為,試求、,并解不等式.【答案】由韋達(dá)定理有:
,
,∴
,
.∴代入不等式
得
,即
,
,解得
,故不等式
的解集為:
.【變式3】已知關(guān)于
的不等式
的解集為
,求關(guān)于
的不等式
的解集.【答案】由韋達(dá)定理有:
,解得
,代入不等式
得
,即
,解得
或
.∴
的解集為:
.類型三:二次項系數(shù)含有字母的不等式恒成立恒不成立問題例3.已知關(guān)于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0對一切實數(shù)x恒成立,求實數(shù)m的取值范圍。思路點(diǎn)撥:不等式對一切實數(shù)恒成立,即不等式的解集為R,要解決這個問題還需要討論二次項的系數(shù)。解析：(1)當(dāng)m2+4m-5=0時,m=1或m=-5若m=1,則不等式化為3>0,對一切實數(shù)x成立,符合題意。若m=-5,則不等式為24x+3>0,不滿足對一切實數(shù)x均成立,所以m=-5舍去。(2)當(dāng)m2+4m-5≠0即m≠1且m≠-5時,由此一元二次不等式的解集為R知,拋物線y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3開口向上,且與x軸無交點(diǎn),所以，即
,∴1<m<19。綜上所述,實數(shù)m的取值范圍是{m|1≤m<19}。總結(jié)升華：情況(1)是容易忽略的,所以當(dāng)我們遇到二次項系數(shù)含有字母時,一般需討論。舉一反三:【變式1】若關(guān)于
的不等式
的解集為空集,求
的取值范圍.【答案】關(guān)于的不等式的解集為空集即的解集為R當(dāng)
時,原不等式為:
,即
,不符合題意,舍去.當(dāng)
時,原不等式為一元二次不等式,只需
且
,即
,解得
,綜上,
的取值范圍為:
.【變式2】若關(guān)于
的不等式
的解為一切實數(shù),求
的取值范圍.【答案】當(dāng)
時,原不等式為:
,即
,不符合題意,舍去.當(dāng)
時,原不等式為一元二次不等式,只需
且
,即
,解得
,綜上,
的取值范圍為:
.【變式3】若關(guān)于
的不等式
的解集為非空集,求
的取值范圍.【答案】當(dāng)
時,原不等式為:
,即
,符合題意.當(dāng)
時,原不等式為一元二次不等式,顯然也符合題意當(dāng)
時,只需
,即
,解得
,綜上,
的取值范圍為：
.類型四:含字母系數(shù)的一元二次不等式的解法例4.解下列關(guān)于x的不等式(1)x2-2ax≤-a2+1;(2）x2-ax+1>0;（3）x2-(a+1)x+a<0;解析：(1)∴原不等式的解集為。(2)Δ=a2-4當(dāng)Δ>0,即a>2或a<-2時,原不等式的解集為
當(dāng)Δ=0,即a=2或-2時,原不等式的解集為
。當(dāng)Δ<0,即-2<a<2時,原不等式的解集為R。(3)(x-1)(x-a)<0當(dāng)a>1時,原不等式的解集為{x|1<x<a}當(dāng)a<1時,原不等式的解集為{x|a<x<1}當(dāng)a=1時,原不等式的解集為
?？偨Y(jié)升華:對含字母的二元一次不等式,一般有這樣幾步:①定號:對二次項系數(shù)大于零和小于零分類,確定了二次曲線的開口方向;②求根:求相應(yīng)方程的根。當(dāng)無法判斷判別式與0的關(guān)系時,要引入討論,分類求解；③定解：根據(jù)根的情況寫出不等式的解集;當(dāng)無法判斷兩根的大小時,引入討論。舉一反三:【變式1】解關(guān)于x的不等式:
【答案】原不等式化為①a=1或a=-1時,解集為(;②當(dāng)0<a<1或a<-1時,
,解集為:
;③當(dāng)a>1或-1<a<0時,
,解集為：
。【變式2】解關(guān)于
的不等式:
（
）【答案】當(dāng)a＜0或a＞1時,解集為
;當(dāng)a=0時,解集為
;當(dāng)0＜a＜1時,解集為
;當(dāng)a=1時,解集為
;例5.解關(guān)于x的不等式:ax2－(a+1)x+1＜0。解析:若a=0,原不等式
－x+1＜0
x＞1；若a＜0,原不等式


或x＞1;若a＞0,原不等式

,其解的情況應(yīng)由
與1的大小關(guān)系決定,故(1)當(dāng)a=1時,原不等式

;（2)當(dāng)a＞1時,原不等式

;(3）當(dāng)0＜a＜1時,原不等式

綜上所述:當(dāng)a＜0,解集為
;當(dāng)a=0時,解集為{x|x＞1};當(dāng)0＜a＜1時,解集為
;當(dāng)a=1時,解集為
;當(dāng)a＞1時,解集為
。總結(jié)升華：熟練掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基礎(chǔ),對最高項含有字母系數(shù)的不等式,要注意按字母的取值情況進(jìn)行分類討論,分類時要"不重不漏"。舉一反三:【變式1】解關(guān)于x的不等式:(ax-1)(x-2)≥0;【答案】當(dāng)a=0時,x∈(-(,2].當(dāng)a≠0時,方程(ax-1)(x-2)=0兩根為
①當(dāng)a>0時,若
,即
時,
;若
,即
時,x∈R;若
,即
時,
.②當(dāng)a<0時,則有：
,∴
?！咀兪?】解關(guān)于x的不等式:ax2＋2x-1<0;【答案】當(dāng)a=0時,
.當(dāng)a≠0時,Δ=4+4a=4(a+1),①a>0時,則Δ>0,
.②a<0時,若a<0,△<0,即a<-1時,x∈R;若a<0,△=0,即a=-1時,x∈R且x≠1;若a<0,△>0,即-1<a<0時,
?！咀兪?】解關(guān)于x的不等式:ax2-x+1>0【答案】若a=0,原不等式化為-x+1>0,解集為{x|x<1};若a≠0,原不等式為關(guān)于x的一元二次不等式.方程的判別式△=1-4a(Ⅰ)當(dāng)△=1-4a<0,即
時,方程
沒有實數(shù)根,故函數(shù)
的圖象開口向上,與x軸沒有交點(diǎn),其簡圖如下：所以,此時不等式
的解集為實數(shù)集R;(Ⅱ)當(dāng)△=1-4a=0,即
時,方程
有兩個相等實數(shù)根x=2,故函數(shù)
的圖象開口向上,與x軸有唯一交點(diǎn)(2,0),其簡圖如下：所以,此時不等式
的解集為
;(Ⅲ)當(dāng)△=1-4a>0,即
時,方程
有兩個不