§6.2等差數(shù)列01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1.理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義.2.探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系.3.能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.4.體會等差數(shù)列與一元函數(shù)的關(guān)系.課標(biāo)要求第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型課時精練內(nèi)容索引落實主干知識02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1.等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)等差數(shù)列的定義對于一個數(shù)列，如果從第

項起，每一項與它的前一項的差都是同一個_____，那么稱這個數(shù)列為等差數(shù)列，稱這個常數(shù)為等差數(shù)列的

，通常用字母d表示.(2)等差中項如果在a與b之間插入一個數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫作a與b的

，即A＝______.2常數(shù)等差中項公差2.等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：an＝

.(2)前n項和公式：Sn＝

或Sn＝

.a1＋(n－1)d3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)若{an}為等差數(shù)列，且p＋q＝s＋t，則

(p，q，s，t∈N＋).(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性當(dāng)d>0時，{an}是

數(shù)列；當(dāng)d<0時，{an}是

數(shù)列；當(dāng)d＝0時，{an}是

.ap＋aq＝as＋at遞增遞減常數(shù)列4.等差數(shù)列前n項和的常用性質(zhì)(1)當(dāng)d≠0時，等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝

是關(guān)于n的二次函數(shù).(2)在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最

值；若a1<0，d>0，則Sn存在最

值.大小1.等差數(shù)列通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋).2.已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.3.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).這里公差d＝2A.5.若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)2n，則(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；6.若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)2n＋1，則(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(

)(2)等差數(shù)列{an}中，a10＝a1＋a9.(

)(3)若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S6，S12，S18也成等差數(shù)列.(

)(4)若{an}是等差數(shù)列，則對任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)×××√2.已知在等差數(shù)列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，則a4等于A.－2

B.4

C.6

D.8√設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∴a4＝a1＋3d＝6.√4.(2023·安康模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3＋a4＝4，則S6等于A.6

B.12

C.18

D.24返回√由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a1＋a6＝a3＋a4＝4，探究核心題型03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題例1

(1)(2023·全國甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，則S5等于A.25

B.22

C.20

D.15√題型一等差數(shù)列基本量的運算方法一設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，首項為a1，依題意可得，a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5， ①又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45， ②①②聯(lián)立，解得d＝1，a1＝2，方法二依題意可得，a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，于是a3＝a4－d＝5－1＝4，所以S5＝5a3＝20.(2)廣豐永和塔塔高九層，每至夜色降臨，金燈齊明，塔身晶瑩剔透，遠望猶如仙境.某游客從塔底層(一層)進入塔身，即沿石階逐級攀登，一步一階，此后每上一層均沿塔走廊繞塔一周以便瀏覽美景，現(xiàn)知底層共二十六級臺階，此后每往上一層減少兩級臺階，頂層繞塔一周需十二步，每往下一層繞塔一周需多三步，則這位游客從底層進入塔身開始到頂層繞塔一周停止共需A.352步

B.387步

C.332步

D.368步√設(shè)從第n層到第n＋1層所走的臺階數(shù)為an，繞第n＋1層一周所走的步數(shù)為bn，由已知可得a1＝26，an＋1－an＝－2，n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，b8＝12，bn－bn＋1＝3，n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以數(shù)列{an}為首項為26，公差為－2的等差數(shù)列，故an＝28－2n，n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，數(shù)列{bn}為公差為－3的等差數(shù)列，故bn＝36－3n，n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，S8＋T8＝152＋180＝332，故這位游客從底層進入塔身開始到頂層繞塔一周停止共需332步.(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”).(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d.跟蹤訓(xùn)練1

(1)(多選)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S4＝0，a5＝5，則下列選項正確的是A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5C.Sn＝n(n－4) D.d＝－2√√√所以a1＋a4＝a2＋a3＝0，故A正確；a5＝a1＋4d＝5， ①a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0， ②所以an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，故B正確，D錯誤；(2)(2023·洛陽聯(lián)考)《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，前三個節(jié)氣日影長之和為28.5尺，最后三個節(jié)氣日影長之和為1.5尺，則春分時節(jié)的日影長為A.4.5尺

B.3.5尺C.2.5尺

D.1.5尺√冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣日影長構(gòu)成等差數(shù)列{an}，設(shè)公差為d，所以an＝a1＋(n－1)d＝11.5－n，所以a7＝11.5－7＝4.5，即春分時節(jié)的日影長為4.5尺.例2

(2021·全國甲卷)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列

是等差數(shù)列；③a2＝3a1.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.題型二等差數(shù)列的判定與證明①③?②.已知{an}是等差數(shù)列，a2＝3a1.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，①②?③.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，②③?①.所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)是關(guān)于n的一次函數(shù)，且a1＝d2滿足上式，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：對于數(shù)列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N＋)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列；(2)等差中項法：對于數(shù)列{an}，2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立?{an}是等差數(shù)列；(3)通項公式法：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列；(4)前n項和公式法：驗證Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練2

(2021·全國乙卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項積，已知

＝2.(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；因為bn是數(shù)列{Sn}的前n項積，(2)求{an}的通項公式.04單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題命題點1項的性質(zhì)例3

(1)(2024·鄭州模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，S3＝S21，則S23等于A.1

B.2

C.3

D.4√題型三等差數(shù)列的性質(zhì)∵S3＝S21，∴S21－S3＝a4＋a5＋…＋a21＝9(a4＋a21)＝0，∴a4＋a21＝0，∴S23＝a1＋a2＋a3＋(a4＋a5＋…a21)＋a22＋a23＝a1＋a2＋a3＋a22＋a23＝a1＋2(a4＋a21)＝a1＝2.(2)(多選)(2023·鄭州模擬)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，S5<S6，S6＝S7，S7>S8，則下列說法正確的有A.公差d<0B.S12>0C.S9>S5D.使Sn<0的最小正整數(shù)n為14√√√由題意得，S5<S6，則S6－S5＝a6>0；S6＝S7，則S7－S6＝a7＝0；S7>S8，則S8－S7＝a8<0.由a6>a7，得d<0，故A正確；S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＝2a8<0，故S9<S5，故C錯誤；命題點2和的性質(zhì)例4

(1)(2023·洛陽模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝63，則a7＋a8＋a9等于A.63

B.71

C.99

D.117√由等差數(shù)列{an}的前n項和性質(zhì)，得S3，S6－S3，S9－S6也成等差數(shù)列，即2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，又S3＝9，S6＝63，則S9＝162，因此a7＋a8＋a9＝S9－S6＝162－63＝99.√因為等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別是Sn，Tn，等差數(shù)列的性質(zhì)(1)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，則ak＋al＝am＋an；(2)若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)組成公差為md的等差數(shù)列；(3)在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，S2n－1＝(2n－1)an.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2023·南充模擬)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝10，a2＋a3＋a4＋a5＝20，則Sn的最大值為√由a1＝10，a2＋a3＋a4＋a5＝2(a1＋a6)＝20，得a6＝0，由于{an}為等差數(shù)列，且a1＝10>0，a6＝0，所以當(dāng)n≤5，n∈N＋時，an>0，√由等差數(shù)列的性質(zhì)可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差數(shù)列，即S6＝3S3，(S6－S3)－S3＝S3，∴S9－S6＝3S3，S12－S9＝4S3，∴S9＝6S3，S12＝10S3，返回課時精練05單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題一、單項選擇題1.已知{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，則n等于A.6

B.7

C.8

D.9√123456789101112131415162.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1－a9＋a17＝7，則a3＋a15等于A.7

B.14

C.21

D.7(n－1)√因為a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.123456789101112131415163.在等差數(shù)列{an}中，a1＝29，S10＝S20，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的最大值為A.S15

B.S16C.S15或S16

D.S17√1234567891011121314151612345678910111213141516∵a1＝29，S10＝S20，∴當(dāng)n＝15時，Sn取得最大值.4.(2023·鷹潭統(tǒng)考)公差不為0的等差數(shù)列{an}滿足

，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則下列各選項正確的是A.a4＝0 B.a5＝0C.S8＝0 D.S9＝012345678910111213141516√12345678910111213141516即2d(a6＋a4)＋2d(a5＋a3)＝0，∵d≠0，∴a6＋a4＋a5＋a3＝0，∴a5＋a4＝0，即S8＝0.5.(2023·河南統(tǒng)考)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S3n－S2n>S2n－Sn”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√1234567891011121314151612345678910111213141516(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝(a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n)－(an＋1＋an＋2＋…＋a2n)＝(a2n＋1－an＋1)＋(a2n＋2－an＋2)＋…＋(a3n－a2n)＝n2d，因為n2>0，若d>0，則S3n－S2n>S2n－Sn，若S3n－S2n>S2n－Sn，則n2d>0，即d>0，故“d>0”是“S3n－S2n>S2n－Sn”的充要條件.6.(2023·青島模擬)已知等差數(shù)列{an}，an＋m＝am＋n(n≠m，n，m∈N＋)，數(shù)列{bn}滿足bn＝a2n＋1＋a2n－1，則b2024－b2023等于A.1

B.2

C.4

D.8√1234567891011121314151612345678910111213141516∵bn＝a2n＋1＋a2n－1，∴b2024＝a4049＋a4047，b2023＝a4047＋a4045，∴b2024－b2023＝(a4049＋a4047)－(a4047＋a4045)＝a4049－a4045.又an＋m＝am＋n，∴an－am＝n－m，∴b2024－b2023＝a4049－a4045＝4049－4045＝4.二、多項選擇題7.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N＋)，若a1>0，S4＝S12，則A.公差d<0B.a7＋a9<0C.Sn的最大值為S8D.滿足Sn<0的n的最小值為16√12345678910111213141516√因為a1>0，S4＝S12，即a1＋a4＝3(a1＋a12)，a7＋a9＝2a1＋14d＝－d>0，故B錯誤；1234567891011121314151612345678910111213141516因為d<0，a1>0，所以數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，且當(dāng)n≤8時，an>0，當(dāng)n≥9時，an<0，所以Sn的最大值為S8，故C正確；令Sn<0，解得n>16，所以滿足Sn<0的n的最小值為17，故D錯誤.8.(2024·南通統(tǒng)考)在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢.則A.駑馬第七日行九十四里B.第七日良馬先至齊C.第八日二馬相逢D.二馬相逢時良馬行一千三百九十五里√√1234567891011121314151612345678910111213141516由題意可知，兩馬日行里數(shù)分別成等差數(shù)列，記數(shù)列{an}為良馬的日行里數(shù)，其中首項a1＝103，公差d1＝13，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝13n＋90，n∈N＋，記數(shù)列{bn}為駑馬的日行里數(shù)，其中首項b1＝97，公差d2＝－0.5，所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝－0.5n＋97.5，n∈N＋，因此，駑馬第七日行里數(shù)為b7＝－0.5×7＋97.5＝94，即駑馬第七日行九十四里，故A正確；1234567891011121314151612345678910111213141516三、填空題9.若一個等差數(shù)列{an}滿足：①每項均為正整數(shù)；②首項與公差的積大于該數(shù)列的第二項且小于第三項.寫出一個滿足條件的數(shù)列的通項公式an＝___________________.2n＋1(答案不唯一)設(shè){an}的公差為d，由題意得a2<a1d<a3，所以a1＋d<a1d<a1＋2d，又a1，d為正整數(shù)，所以可取a1＝3，d＝2，故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.1234567891011121314151610.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前23項和等于前8項和.若a8＋ak＝0，則k的值為________.1234567891011121314151624設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，d≠0，則由題意得S23＝S8，因為a8＋ak＝0，所以a1＋7d＋a1＋(k－1)d＝0，即2a1＋(k＋6)d＝0，所以－30d＋(k＋6)d＝0，因為d≠0，所以k＝24.1234567891011121314151612345678910111213141516依題意，B，C，P三點共線，1234567891011121314151612.等差數(shù)列{an}共有2n＋1項，所有的奇數(shù)項之和為132，所有的偶數(shù)項之和為120，則n＝________.1234567891011121314151610因為等差數(shù)列{an}共有2n＋1項，解得n＝10.12345678910111213141516四、解答題13.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常數(shù).(1)當(dāng)a2＝－1時，求λ及a3的值；12345678910111213141516因為an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1，所以當(dāng)a2＝－1時，－1＝2－λ，解得λ＝3，所以a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.12345678910111213141516(2)數(shù)列{an}是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由.12345678910111213141516數(shù)列{an}不可能為等差數(shù)列.理由如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)，若存在常數(shù)λ，使{an}為等差數(shù)列，則a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3，12345678910111213141516于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，這與{an}為等差數(shù)列矛盾，所以對于任意常數(shù)λ，{an}都不可能是等差數(shù)列.14.(2023·新高考全國Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d>1.令bn＝

，記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項和.(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通項公式；12345678910111213141516∵3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d，∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，an＝a1＋(n－1)d＝nd，∴an＝nd＝3n.12345678910111213141516345678910111213141516(2)若{bn}為等差數(shù)列，且S99－T99＝99，求d.106212345678910111213141516∵{bn}為等差數(shù)列，∴2b2＝b1＋b3，解得a1＝d或