1破解立體幾何中的三共問題平面的基本性質(zhì)是研究立體幾何的基礎(chǔ)，應(yīng)用基本性質(zhì)研究空間中的共點(diǎn)、共線、共面是立體幾何中不容忽視的問題，下面就這類問題進(jìn)行例析．1．點(diǎn)共線問題例1如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，A1C與截面DBC1交于點(diǎn)O，AC與BD交于點(diǎn)M，求證：C1、O、M三點(diǎn)共線．證明因?yàn)镃1∈平面DBC1，且C1∈平面A1ACC1，所以C1是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點(diǎn)．又因?yàn)镸∈AC，所以M∈平面A1ACC1，因?yàn)镸∈BD，所以M∈平面DBC1，所以M也是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點(diǎn)，所以C1M是平面A1ACC1與平面DBC1的交線．因?yàn)镺為平面A1ACC1與平面DBC1的交點(diǎn)，所以O(shè)∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1，即O也是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，所以O(shè)∈C1M，即C1、M、O三點(diǎn)共線．說明證明點(diǎn)共線，常常采用以下兩種方法：①轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，然后根據(jù)公理3證得這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上；②證明多點(diǎn)共線問題時(shí)，通常是過其中兩點(diǎn)作一直線，然后證明其他的點(diǎn)都在這條直線上．2．線共點(diǎn)問題例2如圖，已知空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別是BC，CD上的點(diǎn)，且eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝2，求證：EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點(diǎn)P.證明因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，且EF＝eq\f(1,2)BD.又因?yàn)閑q\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝2，所以GH∥BD，且GH＝eq\f(1,3)BD，所以EF∥GH，且EF>GH.所以四邊形EFHG是梯形，其兩腰必相交，設(shè)兩腰EG、FH相交于一點(diǎn)P，因?yàn)镋G?平面ABC，F(xiàn)H?平面ACD，所以P∈平面ABC，且P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故EG、FH、AC相交于同一點(diǎn)P.說明證明線共點(diǎn)的主要理論依據(jù)是公理3，解答思路是首先確定一平面上的兩條相交直線及交點(diǎn)位置；其次判斷交點(diǎn)在另一條直線上，此種方法可以推廣到多種直線共點(diǎn)問題．3．點(diǎn)共面問題例3正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H、K、L分別是CD、DD1、A1D1、A1B1、BB1、BC的中點(diǎn)．求證：這六點(diǎn)共面．證明連接BD、B1D1和KF，因?yàn)镋，L是CD，BC的中點(diǎn)，所以EL∥BD.又矩形BDD1B1中KF∥BD，所以KF∥EL，所以KF、EL可確定平面α，所以E、F、K、L在平面α內(nèi)，同理EH∥KL，故E、H、K、L都在平面β內(nèi)．又平面α與平面β都經(jīng)過不共線的三點(diǎn)E、K、L，故平面α與平面β重合，所以E、F、H、K、L都在平面α內(nèi)．同理可證G∈α，所以E、F、G、H、K、L六點(diǎn)共面．說明證明共面問題常有如下兩個(gè)方法：①直接法：先確定一個(gè)平面，再證明其余元素均在這個(gè)平面上；②間接法：先證明這些元素分別在幾個(gè)平面上，再證明這些平面重合．通過上面的三例，同學(xué)們對(duì)這三類問題有所了解．在今后解決同類問題時(shí)，需要根據(jù)問題的具體情況，進(jìn)行邏輯劃分，即分類討論，運(yùn)用平面的基本性質(zhì)來求證．2異面直線解題攻略異面直線是空間中直線與直線之間的位置關(guān)系中一類最重要的問題，它在立體幾何中占有重要的地位，是歷年考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，現(xiàn)介紹有關(guān)異面直線問題的常見題型及解法，供同學(xué)們參考．1．概念辨析異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．兩條直線是異面直線等價(jià)于這兩條直線既不相交，也不平行．要注意把握異面直線的這種不共面特性．應(yīng)該明確分別在不同平面內(nèi)的兩條直線不一定是異面直線，在某一平面內(nèi)的一條直線與這個(gè)平面外的一條直線也不一定是異面直線．例1下列命題中，正確的是()A．a(chǎn)?α，b?β，則a與b是異面直線B．過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)任一直線均構(gòu)成異面直線C．不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是異面直線D．異面直線所成的角的范圍是[0°，90°]分析根據(jù)異面直線有關(guān)概念進(jìn)行判斷，將錯(cuò)誤的選項(xiàng)逐一排除．解析選項(xiàng)A中，a，b的位置關(guān)系有可能相交、平行或異面；選項(xiàng)B中，過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)過該點(diǎn)的直線是相交直線；選項(xiàng)D中，兩條平行或重合的直線所成的角為0°，因此異面直線所成角的范圍是(0°，90°]，故答案選C.答案C點(diǎn)評(píng)異面直線的定義強(qiáng)調(diào)的是這兩條直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，而不是指在某特定平面內(nèi)．2．異面直線的判定與證明異面直線的判定方法有：①定義法，由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)；②反證法，用此方法可以證明兩直線是異面直線．例2M、N、E、F、G、H、P、Q是正方體ABCD－A1B1C1D1所在棱的中點(diǎn)，則PQ、EF、GH中與直線MN異面的直線是________．分析要判定兩條直線的位置關(guān)系可以根據(jù)定義及相關(guān)知識(shí)進(jìn)行判斷．解析首先，我們不難看出PQ∥MN；其次，根據(jù)平面的基本性質(zhì)，可得MN、EF交于一點(diǎn)，即MN與EF共面；最后，我們可直觀地得到GH與MN異面．答案GH點(diǎn)評(píng)判斷兩條直線是不是異面直線，除了根據(jù)定義及平面的基本性質(zhì)外，直觀上的感知也是十分重要的一方面．3．求異面直線所成的角求異面直線所成的角的解題思路是：把空間兩異面直線通過平移，轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交直線所成的角，具體的平移過程應(yīng)視題而定．主要有以下四種平移途徑：①利用三角形的中位線平移；②利用平行線分線段成比例的推論平移；③利用平行四邊形平移；④利用補(bǔ)形平移．例3如圖，在每個(gè)面都為等邊三角形的四面體S－ABC中，若點(diǎn)E、F分別為SC、AB的中點(diǎn)，試求異面直線EF與SA所成的角．分析要求異面直線EF與SA所成的角，首先依定義作出其所成角，為此取SB的中點(diǎn)D，連接ED、FD，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)知∠EFD是異面直線EF與SA所成的角．解如圖，連接CF、SF，設(shè)四面體S－ABC的棱長(zhǎng)為a，則SF＝CF＝eq\f(\r(3),2)a.因?yàn)镋為SC的中點(diǎn)，所以EF⊥SC.在Rt△SEF中，SE＝eq\f(1,2)SC＝eq\f(1,2)a，所以EF＝eq\r(SF2－SE2)＝eq\f(\r(2),2)a.取SB的中點(diǎn)為D，連接ED、FD.因?yàn)锽C＝SA＝a，而FD∥SA且FD＝eq\f(1,2)SA，ED∥CB且ED＝eq\f(1,2)CB，所以FD＝ED＝eq\f(1,2)a，于是FD2＋ED2＝EF2.故△DEF是等腰直角三角形，可得∠EFD＝45°，即異面直線EF與SA所成的角是45°.點(diǎn)評(píng)本題以正四面體為依托，通過求異面直線所成的角，考查了異面直線的有關(guān)概念，明確了求異面直線所成角的具體求解方法，即“作—證—求”．3巧用輔助線(面)證明平行關(guān)系在證明線與線、線與面、面與面的平行關(guān)系時(shí)，從“看到結(jié)論想判定定理，看到條件想性質(zhì)定理”來分析題意和尋求證明思路，往往要根據(jù)定理的條件，通過構(gòu)造輔助線或輔助面來解決問題．1．作輔助線來解題例1如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，C1D1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面BB1D1D.證明如圖，取D1B1的中點(diǎn)O，連接OF，OB.因?yàn)镺F綊eq\f(1,2)B1C1，BE綊eq\f(1,2)B1C1，所以O(shè)F綊BE，即四邊形OFEB為平行四邊形．所以EF∥BO.又EF?平面BB1D1D，BO?平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.評(píng)注將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，是解決立體幾何問題的重要策略，關(guān)鍵是選擇或添加適當(dāng)?shù)闹本€．而本題通過巧作平行線，利用“有困難，找中點(diǎn)”來證明線面平行是最有效的方法之一．2．作輔助面來解題例2如圖，已知直線a∥平面α，直線a∥平面β，α∩β＝b，求證：a∥b.分析要證明線線平行，我們可以通過線面平行，或者面面平行來解決．條件里沒有提到面面平行，所以，我們利用線面平行來突破．證明過a作平面γ，δ，使得γ∩α＝c，δ∩β＝d.因?yàn)棣谩搔粒絚，直線a∥平面α，a?γ，所以a∥c.同理可證a∥d.所以c∥d.由d?β，c?β，得c∥β.因?yàn)閏?α，α∩β＝b，所以c∥b.又a∥c，所以a∥b.評(píng)注本題要使用線面平行的性質(zhì)定理，需要找出或作出過已知直線且與已知平面相交的平面，以便使用性質(zhì)定理，因此常作輔助面．3．同時(shí)作輔助線與輔助面來解題例3如圖，已知平面α∥平面β，AB，CD是夾在這兩個(gè)平面之間的線段，且AE＝EB，CG＝GD，AB與CD不平行，求證：EG∥平面α，EG∥平面β.分析有些綜合性的題目需要同時(shí)作出輔助線與輔助面，通過面面之間的關(guān)系來解題．題目條件中出現(xiàn)了兩個(gè)中點(diǎn)，一般可直接取某線段的中點(diǎn)，也可通過連線所得交點(diǎn)間接地取中點(diǎn)，本題是直接找中點(diǎn)．證明過點(diǎn)A作AH∥CD交平面β于點(diǎn)H，設(shè)F是AH的中點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)G和BH，HD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AH的中點(diǎn)，所以EF∥BH，且BH?平面β.所以EF∥平面β.又F，G分別是AH，CD的中點(diǎn)，且AH∥CD，所以FG∥HD.又HD?平面β，所以FG∥平面β.因?yàn)镋F∩FG＝F，所以平面EFG∥平面β，又平面α∥平面β，所以平面EFG∥平面α.因?yàn)镋G?平面EFG，所以EG∥平面α，EG∥平面β.評(píng)注本題是通過先作輔助線AH，再作輔助面EFG，借助平面幾何里三角形中位線的結(jié)論來解決問題的．4在轉(zhuǎn)化中證明空間垂直關(guān)系空間中的各種垂直關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．在高考中著重考查線線垂直、線面垂直、面面垂直的證明，這就需要利用線面垂直、面面垂直的判定定理及其性質(zhì)，運(yùn)用三者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系．1．證明線面垂直證明線面垂直通常有兩種方法：一是利用線面垂直的判定定理，由線線垂直得到線面垂直；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理，由面面垂直得到線面垂直．例1如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，垂足為點(diǎn)N.求證：AN⊥平面PBM.證明因?yàn)镻A垂直于圓O所在的平面，所以PA⊥BM.因?yàn)镸是圓周上一點(diǎn)，所以BM⊥AM.又因?yàn)镻A∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.所以BM⊥AN.又因?yàn)锳N⊥PM，PM∩BM＝M，所以AN⊥平面PBM.評(píng)注本題是考查線面垂直很好的載體，它融合了初中所學(xué)的圓的特征，在求解時(shí)要注意線線、線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化．2．證明面面垂直證明面面垂直一般有兩種方法：一是利用面面垂直的定義，通過求二面角的平面角為直角而得到，這種方法在證明面面垂直時(shí)應(yīng)用較少；二是利用面面垂直的判定定理由線面垂直得到面面垂直．例2如圖，△ABC為等邊三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC，且EC＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)．(1)求證：DE＝DA；(2)求證：平面BDM⊥平面ECA.證明(1)如圖，取EC的中點(diǎn)F，連接DF，易知DF∥BC.因?yàn)镋C⊥BC，所以DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，因?yàn)镋F＝eq\f(1,2)EC＝BD，F(xiàn)D＝BC＝AB，所以Rt△EFD≌Rt△DBA.所以DE＝DA.(2)如圖，取CA的中點(diǎn)N，連接MN，BN，則MN∥EC，且MN＝eq\f(1,2)EC.又EC∥BD，且BD＝eq\f(1,2)EC，所以MN∥BD，且MN＝BD.所以四邊形BDMN是平行四邊形．所以點(diǎn)N在平面BDM內(nèi)．因?yàn)镋C⊥平面ABC，所以EC⊥BN.又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA.因?yàn)锽N?平面MNBD，所以平面BDM⊥平面ECA.評(píng)注在證明面面垂直時(shí)通常轉(zhuǎn)化為證明線面垂直的問題．3．證明線線垂直證明線線垂直，往往根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，即如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直．例3如圖，已知平面α∩平面β＝CD，EA⊥α，EB⊥β，垂足分別為A，B，求證：CD⊥AB.證明因?yàn)镋A⊥α，CD?α，所以CD⊥EA.又因?yàn)镋B⊥β，CD?β，所以EB⊥CD.又因?yàn)镋A∩EB＝E，所以CD⊥平面ABE.因?yàn)锳B?平面ABE，CD?平面ABE，所以CD⊥AB.評(píng)注證明空間中的垂直關(guān)系的問題時(shí)，經(jīng)常要用到化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，主要體現(xiàn)在線線垂直、線面垂直、面面垂直證明的相互轉(zhuǎn)化過程之中．其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：5幾何法求空間角空間角的計(jì)算是對(duì)空間線與線、線與面、面與面位置關(guān)系的一種定量研究和精確的刻畫．利用幾何法求解空間角的過程可以將邏輯推理與運(yùn)算融為一體，能達(dá)到綜合考查同學(xué)們的空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、分析問題及解決問題的能力．下面就利用幾何法求空間角的策略進(jìn)行分析．1．求線面角求線面角，要找出斜線在平面上的射影，其關(guān)鍵是作垂線找垂足，把線面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解例1如圖，正四棱錐S－ABCD中，SA＝AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為BC，SC，CD的中點(diǎn)．設(shè)P為線段FG上任意一點(diǎn)．(1)求證：PE⊥AC；(2)當(dāng)P為線段FG的中點(diǎn)時(shí)，求直線BP與平面EFG所成角的余弦值．(1)證明設(shè)AC交BD于O，∵S－ABCD為正四棱錐，∴SO⊥底面ABCD，BD⊥AC，又AC?平面ABCD，∴SO⊥AC，∵BD∩SO＝O，∴AC⊥平面SBD，∵E，F(xiàn)，G分別為BC，SC，CD的中點(diǎn)，∴FG∥SD，BD∥EG.又FG∩EG＝G，SD∩BD＝D，∴平面EFG∥平面BSD，∴AC⊥平面GEF.又∵PE?平面GEF，∴PE⊥AC.(2)解過B作BH⊥GE于H，連接PH，∵BD⊥AC，BD∥GH，∴BH∥AC，由(1)知AC⊥平面GEF，則BH⊥平面GEF.∴∠BPH就是直線BP與平面EFG所成的角．在Rt△BHP中，BH＝eq\f(\r(2),2)，PH＝eq\f(\r(13)