2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何幾何圖形變換模擬試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y,z)到x軸的距離等于到y(tǒng)軸的距離，且到z軸的距離是到x軸距離的2倍，則點(diǎn)P的軌跡可能是（）A.直線B.圓C.雙曲線D.橢圓2.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，高為3，點(diǎn)E是棱SC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱SD上，則三棱錐EAF的體積為（）A.1B.C.D.3.一個(gè)圓錐的底面半徑為3，母線與底面所成的角為30°，過圓錐頂點(diǎn)作一截面，截面與底面所成的二面角為60°，則截面截得的圓錐的體積為（）A.B.C.D.4.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面BB1C1C垂直于底面ABC，且BC1⊥AC，則點(diǎn)A1到平面B1AC的距離為（）A.B.C.D.5.已知球O的半徑為R，球面上有三點(diǎn)A,B,C，且AB=BC=CA=R，O到平面ABC的距離為d，則d的取值范圍是（）A.(0,R)B.[0,R)C.(0,)D.[0,)6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ABC=90°，AA1=2，點(diǎn)D是棱A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱CC1上，則三棱錐DABE的體積為（）A.B.C.D.7.一個(gè)圓柱的底面半徑為R，高為h，過圓柱底面圓周上一點(diǎn)P作一條母線，再過點(diǎn)P作一條與母線不重合的直線，這條直線與圓柱側(cè)面的交點(diǎn)分別為A,B，若PA=PB，則這條直線與圓柱底面所成的角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°8.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PD⊥AC，且PA=PD，則四棱錐P-ABCD的側(cè)面PAB與側(cè)面PBC所成二面角的余弦值為（）A.B.C.D.9.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在棱A1B1上，點(diǎn)F在棱B1C1上，且EF=，則三棱錐D1-EF的體積為（）A.B.C.D.10.在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC=PA=1，點(diǎn)D在棱PC上，點(diǎn)E在棱PB上，且DE⊥AC，DE⊥BC，則DE的長(zhǎng)度為（）A.B.C.D.11.一個(gè)圓錐的底面半徑為R，母線與底面所成的角為θ，過圓錐頂點(diǎn)作一截面，截面與底面所成的二面角為α，若θ=2α，則截面截得的圓錐的體積與原圓錐的體積之比為（）A.B.C.D.12.在五棱錐P-ABCDE中，底面ABCDE是正五邊形，PA⊥底面ABCDE，且PA=AB，則五棱錐P-ABCDE的體積為（）A.B.C.D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E,F,G,H分別是棱A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中點(diǎn)，則四棱錐EFGH的體積是正方體體積的__________倍。14.已知圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，過圓錐底面圓周上一點(diǎn)作一條母線，再過這一點(diǎn)作一條與母線不重合的直線，這條直線與圓錐側(cè)面的交點(diǎn)分別為A,B，若AB=4，則這條直線與圓錐底面所成的角是__________度。15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面BB1C1C垂直于底面ABC，且BC1⊥AC，則點(diǎn)A1到平面B1AC的距離是__________。16.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PD⊥AC，且PA=PD=2，則四棱錐P-ABCD的體積是__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC=PA=1，點(diǎn)D在棱PC上，點(diǎn)E在棱PB上，且DE⊥AC，DE⊥BC。求：（1）三棱錐P-ABC的體積；（2）DE的長(zhǎng)度。18.一個(gè)圓錐的底面半徑為R，母線與底面所成的角為θ，過圓錐頂點(diǎn)作一截面，截面與底面所成的二面角為α，若θ=2α，求截面截得的圓錐的體積與原圓錐的體積之比。19.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E,F,G,H分別是棱A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中點(diǎn)，求四棱錐EFGH的體積是正方體體積的幾分之幾。20.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PD⊥AC，且PA=PD=2，求四棱錐P-ABCD的體積。21.在五棱錐P-ABCDE中，底面ABCDE是正五邊形，PA⊥底面ABCDE，且PA=AB，求五棱錐P-ABCDE的體積。22.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面BB1C1C垂直于底面ABC，且BC1⊥AC，求點(diǎn)A1到平面B1AC的距離。四、證明題（本大題共2小題，共20分。）23.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E,F,G,H分別是棱A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中點(diǎn)，證明四棱錐EFGH的體積是正方體體積的四分之一。24.在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC=PA=1，點(diǎn)D在棱PC上，點(diǎn)E在棱PB上，且DE⊥AC，DE⊥BC，證明DE⊥平面PAC。五、綜合題（本大題共2小題，共30分。）25.在圓錐內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接圓柱，圓柱的底面半徑與圓錐底面半徑相等，圓柱的高等于圓錐底面半徑。已知圓錐的母線與底面所成的角為θ，求圓柱體積與圓錐體積之比。26.在六棱錐P-ABCDEF中，底面ABCDEF是正六邊形，PA⊥底面ABCDEF，且PA=AB，求六棱錐P-ABCDEF的體積。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：D解析：點(diǎn)P到x軸的距離是√(y2+z2)，到y(tǒng)軸的距離是√(x2+z2)，到z軸的距離是√(x2+y2)。根據(jù)題意，√(y2+z2)=√(x2+z2)，且√(x2+y2)=2√(y2+z2)。第一個(gè)等式兩邊平方得y2+z2=x2+z2，即y2=x2，所以y=±x。第二個(gè)等式兩邊平方得x2+y2=4(y2+z2)，代入y=x得x2+x2=4(x2+z2)，即2x2=4(x2+z2)，化簡(jiǎn)得x2=2z2，所以x=±√2z。因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)形式為(±√2z,z,z)，滿足橢圓方程x2/2+z2=1，故軌跡為橢圓。2.答案：A解析：正四棱錐S-ABCD的體積V=1/3×底面積×高=1/3×22×3=4。三棱錐EAF的底面是△AEF，高是點(diǎn)S到平面AEF的距離。由于E是SC中點(diǎn)，F(xiàn)在SD上，可以取SD中點(diǎn)G，連接AG，則AG⊥平面SDF。又因?yàn)槠矫鍿DF⊥平面SCD，所以AG⊥平面SCD，即AG⊥SC。同理，可以取SD上另一點(diǎn)H，使H在AG同側(cè)，且SH⊥SD，則SH⊥平面SDF。連接AH，則AH⊥平面SDF，即AH⊥SD。因此，△AHG是直角三角形，AH是三棱錐EAF的高。由于G是SD中點(diǎn)，SD=2，所以DG=1，AH=√(AD2-DG2)=√(22-12)=√3。底面△AEF的面積是△AFC的一半，即1/2×AC×EF=1/2×2×√2=√2。因此，三棱錐EAF的體積V=1/3×底面積×高=1/3×√2×√3=1。3.答案：C解析：圓錐的體積V=1/3×底面積×高=1/3×π×32×3π=9π。截面截得的圓錐的底面半徑為3cos30°=3√3/2，高為3sin30°=3/2，所以截面截得的圓錐的體積V'=1/3×π×(3√3/2)2×3/2=9π/4。兩者體積之比為V'/V=9π/4÷9π=1/4。4.答案：B解析：過A1作A1H⊥BC于H，則A1H⊥側(cè)面BB1C1C。連接AH，由于BC1⊥AC，且BC1⊥側(cè)面BB1C1C，所以BC1⊥AH。因此，AH⊥平面ABC，AH⊥BC。在Rt△ABC中，AH=AC×sin60°=2×√3/2=√3。A1H=AA1×sin30°=2×1/2=1。點(diǎn)A1到平面B1AC的距離即A1H的長(zhǎng)度，為1。5.答案：C解析：球O的半徑為R，球面上三點(diǎn)A,B,C構(gòu)成等邊三角形，邊長(zhǎng)為R。O到平面ABC的距離為d，由勾股定理得d2+(R/2)2=R2，解得d=√(3/4)R。當(dāng)A,B,C在球的大圓上時(shí)，d可以取最大值√(3/4)R；當(dāng)A,B,C在球的赤道上時(shí)，d可以取最小值0。因此，d的取值范圍是(0,√(3/4)R)。6.答案：D解析：三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=底面積×高=1/2×1×1×2=1。三棱錐DABE的底面是△ABE，高是點(diǎn)A1到平面B1AE的距離。由于D是A1B1中點(diǎn)，E在CC1上，可以取C1C中點(diǎn)F，連接BF，則BF⊥平面C1CC。又因?yàn)槠矫鍯1CC⊥平面ABC，所以BF⊥平面ABC，即BF⊥AC。同理，可以取C1C上另一點(diǎn)G，使G在BF同側(cè)，且CG⊥CC1，則CG⊥平面C1CC，即CG⊥AC。因此，△CFG是直角三角形，CG是三棱錐DABE的高。由于G是C1C中點(diǎn)，C1C=2，所以CG=1，BF=√(BC2-BF2)=√(12-12)=1。底面△ABE的面積是△ABC的一半，即1/2×AB×BE=1/2×1×√2=√2/2。因此，三棱錐DABE的體積V=1/3×底面積×高=1/3×√2/2×1=√2/6。7.答案：B解析：圓柱的母線與底面所成的角即母線與軸的夾角。設(shè)這條直線與圓柱底面所成的角為θ，則這條直線與圓柱軸的夾角為90°-θ。由于PA=PB，所以這條直線是圓柱底面圓的切線。設(shè)切點(diǎn)為P，則切線與半徑垂直，即∠POP'=90°。連接PO，則∠OPP'=θ，∠POP'=90°-θ。由勾股定理得PO2=PA2-PP'2，即R2=52-42，解得R=3。因此，θ=45°。8.答案：C解析：四棱錐P-ABCD的體積V=1/3×底面積×高=1/3×2×2×2=8。側(cè)面PAB與側(cè)面PBC所成二面角的平面角是∠ABC。由于PA⊥底面ABCD，PD⊥AC，且PA=PD，所以△PAC是等腰直角三角形，∠PAC=45°。在Rt△PAC中，PC=AC√2=2√2，PC=PD√2=2√2，所以PC=PC。因此，∠ABC=60°，余弦值為√3/2。9.答案：B解析：正方體ABCD-A1B1C1D1的體積V=1×1×1=1。三棱錐D1-EF的底面是△EFD1，高是點(diǎn)A到平面EFD1的距離。由于E,F分別是棱A1B1,B1C1的中點(diǎn)，所以EF∥AC，且EF=AC/2=1/2。連接AD1，則AD1⊥平面B1C1C。又因?yàn)槠矫鍮1C1C⊥平面A1B1C1，所以AD1⊥平面A1B1C1，即AD1⊥B1C1。因此，△AD1B1是直角三角形，AD1=√(AA12-A1B12)=√(12-12)=1。底面△EFD1的面積是△EFD1的一半，即1/2×EF×AD1=1/2×1/2×1=1/4。因此，三棱錐D1-EF的體積V=1/3×底面積×高=1/3×1/4×1=1/12。10.答案：A解析：三棱錐P-ABC的體積V=1/3×底面積×高=1/3×1/2×1×1=1/6。DE⊥AC，DE⊥BC，所以DE⊥平面ABC，即DE⊥PA。因此，三棱錐P-ABC的體積也可以表示為V=1/3×DE×S△PAC=1/3×DE×1/2×1×1=1/6，解得DE=1。11.答案：D解析：截面截得的圓錐的底面半徑為Rcosα，高為Rsinα。原圓錐的體積V=1/3×πR2×Rsinθ。截面截得的圓錐的體積V'=1/3×π(Rcosα)2×Rsi