2025年高考數(shù)學模擬試卷-立體幾何突破核心解題集考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距離是（）A.1B.√2C.√3D.22.已知直線l：x=2與平面α：x+y+z=0所成角的正弦值為（）A.1/√3B.1/√2C.√2/3D.√3/23.若直線l：x-y+1=0與平面α：ax+2y-z=0垂直，則實數(shù)a的值為（）A.-2B.2C.-1D.14.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AB=AC=1，∠BAC=60°，則二面角A-PC-B的余弦值為（）A.1/2B.1/√3C.√2/2D.√3/25.已知點A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（1，1，1），則向量AD與向量BC的夾角余弦值為（）A.1/2B.1/√3C.√2/2D.√3/26.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱A1B1、B1C1的中點，則直線AE與平面BCC1B1所成角的正弦值為（）A.1/2B.1/√3C.√2/2D.√3/27.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側棱長為√3，則二面角A-SC-B的正切值為（）A.1B.√2C.√3D.28.在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB=AD=1，PD=2，則三棱錐P-ABD的體積為（）A.1/3B.1/2C.2/3D.19.已知點A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），則向量AB與向量AC的夾角余弦值為（）A.1/2B.1/√3C.√2/2D.√3/210.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠A=60°，AA1=2，則點A1到平面BCC1B1的距離為（）A.1B.√2C.√3D.2二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。將答案填在答題卡相應位置。）1.已知點A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），則向量AB與向量AC的夾角余弦值為______。2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱A1D1的中點，F(xiàn)為棱BC的中點，則直線A1F與平面CDE所成角的正弦值為______。3.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AB=AC=1，∠BAC=60°，則二面角A-PC-B的余弦值為______。4.已知點A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（1，1，1），則向量AD與向量BC的夾角余弦值為______。5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠A=60°，AA1=2，則點A1到平面BCC1B1的距離為______。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）1.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AB=AC=1，∠BAC=60°，求二面角A-PC-B的余弦值。解：首先，我們?nèi)C的中點D，并連接AD和PD。由于AB=AC，所以AD⊥BC。又因為PA⊥平面ABC，所以AD⊥PA。因此，∠ADP就是二面角A-PC-B的平面角。在△ABD中，由于∠BAC=60°，AB=AC=1，所以BD=AD=1/2。在直角△ADP中，PA=2，AD=1/2，利用勾股定理可得PD=√(PA^2+AD^2)=√(2^2+(1/2)^2)=√(4+1/4)=√(17/4)=√17/2。接下來，我們計算cos∠ADP。cos∠ADP=AD/PD=(1/2)/(√17/2)=1/√17。因此，二面角A-PC-B的余弦值為1/√17。2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱A1B1、B1C1的中點，求直線AE與平面BCC1B1所成角的正弦值。解：我們首先取BC的中點G，并連接FG和EG。由于F是B1C1的中點，所以FG平行于B1B，且FG=1/2B1B。又因為E是A1B1的中點，所以EG平行于A1A，且EG=1/2A1B1。因此，四邊形AEGF是一個平行四邊形，所以AF平行于EG。由于EG在平面BCC1B1上，且AF平行于EG，所以直線AF與平面BCC1B1所成的角就是直線AF與直線EG所成的角。我們記這個角為θ。在直角△AEG中，AG=√(A1A^2+A1G^2)=√(a^2+(a/2)^2)=√(a^2+a^2/4)=√(5a^2/4)=a√5/2。AE=√(A1E^2+A1A^2)=√((a/2)^2+a^2)=√(a^2/4+a^2)=√(5a^2/4)=a√5/2。因此，sinθ=EG/AG=1/√5。所以，直線AE與平面BCC1B1所成角的正弦值為1/√5。3.在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB=AD=1，PD=2，求三棱錐P-ABD的體積。解：首先，我們?nèi)D的中點E，并連接PE和BE。由于AB⊥AD，且PA⊥底面ABCD，所以△ABD是一個直角三角形，且PE是ABD的高。在直角△ABD中，AB=AD=1，所以BD=√(AB^2+AD^2)=√(1^2+1^2)=√2。在直角△PBD中，PD=2，BD=√2，利用勾股定理可得PE=√(PD^2-BD^2)=√(2^2-(√2)^2)=√(4-2)=√2。因此，三棱錐P-ABD的體積V=(1/3)×底面積×高=(1/3)×(1/2×AB×AD)×PE=(1/3)×(1/2×1×1)×√2=√2/6。所以，三棱錐P-ABD的體積為√2/6。4.已知點A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），求向量AB與向量AC的夾角余弦值。解：首先，我們計算向量AB和向量AC。向量AB=(2-1，3-2，1-3)=(1，1，-2)，向量AC=(3-1，1-2，2-3)=(2，-1，-1)。接下來，我們計算向量AB和向量AC的點積。AB·AC=(1×2)+(1×(-1))+(-2×(-1))=2-1+2=3。然后，我們計算向量AB和向量AC的模長。|AB|=√(1^2+1^2+(-2)^2)=√(1+1+4)=√6，|AC|=√(2^2+(-1)^2+(-1)^2)=√(4+1+1)=√6。最后，我們計算向量AB與向量AC的夾角余弦值。cosθ=AB·AC/(|AB|×|AC|)=3/(√6×√6)=3/6=1/2。所以，向量AB與向量AC的夾角余弦值為1/2。5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠A=60°，AA1=2，求點A1到平面BCC1B1的距離。解：首先，我們?nèi)C的中點D，并連接AD和A1D。由于AB=AC，且∠A=60°，所以△ABC是一個等邊三角形，AD⊥BC。又因為AA1⊥平面ABC，所以AD⊥AA1。因此，AD垂直于平面A1BC。接下來，我們計算AD的長度。在等邊三角形ABC中，AD=AB×sinA=1×sin60°=√3/2。在直角△A1AD中，AA1=2，AD=√3/2，利用勾股定理可得A1D=√(AA1^2+AD^2)=√(2^2+(√3/2)^2)=√(4+3/4)=√(16/4+3/4)=√(19/4)=√19/2。因此，點A1到平面BCC1B1的距離為A1D的長度，即√19/2。所以，點A1到平面BCC1B1的距離為√19/2。四、證明題（本大題共1小題，共25分。）1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱A1B1、B1C1的中點，證明：直線A1F與平面CDE所成角的正弦值為1/√3。證明：我們首先取BC的中點G，并連接FG和EG。由于F是B1C1的中點，所以FG平行于B1B，且FG=1/2B1B。又因為E是A1B1的中點，所以EG平行于A1A，且EG=1/2A1B1。因此，四邊形AEGF是一個平行四邊形，所以AF平行于EG。由于EG在平面BCC1B1上，且AF平行于EG，所以直線AF與平面BCC1B1所成的角就是直線AF與直線EG所成的角。我們記這個角為θ。在直角△AEG中，AG=√(A1A^2+A1G^2)=√(a^2+(a/2)^2)=√(a^2+a^2/4)=√(5a^2/4)=a√5/2。AE=√(A1E^2+A1A^2)=√((a/2)^2+a^2)=√(a^2/4+a^2)=√(5a^2/4)=a√5/2。因此，sinθ=EG/AG=1/√5。所以，直線A1F與平面CDE所成角的正弦值為1/√5。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：點A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距離d=|1-2+3-1|/√(1^2+(-1)^2+1^2)=|1|/√3=1/√3。選項A為1。2.A解析：直線l：x=2與平面α：x+y+z=0所成角的正弦值sinθ=|2×1|/√(1^2+1^2+1^2)=2/√3=1/√3。選項A為1/√3。3.B解析：直線l：x-y+1=0的法向量為（1，-1，0），平面α：ax+2y-z=0的法向量為（a，2，-1）。因為直線與平面垂直，所以（1，-1，0）·（a，2，-1）=0，即a-2=0，解得a=2。選項B為2。4.C解析：在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AB=AC=1，∠BAC=60°。取BC中點D，連接AD，則AD⊥BC。易知AD=1/2，PD=√(PA^2+AD^2)=√(4+1/4)=√17/2。二面角A-PC-B的平面角為∠ADP，cos∠ADP=AD/PD=1/(√17/2)=2/√17。選項C為√2/2。5.B解析：向量AD=(0，1，1)，向量BC=(-1，-1，-1)。向量AD與向量BC的夾角余弦值cosθ=AD·BC/(|AD|×|BC|)=(0×(-1)+1×(-1)+1×(-1))/(√(0^2+1^2+1^2)×√(3))=-2/(√2×√3)=-1/√6。選項B為1/√3。6.A解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱A1B1、B1C1的中點。向量AE=(1，-1，0)，平面BCC1B1的法向量為（0，1，1）。向量AE與平面BCC1B1所成角的正弦值sinθ=|AE·法向量|/(|AE|×|法向量|)=|(1，-1，0)·(0，1，1)|/(√(1^2+(-1)^2+0^2)×√(1^2+1^2+1^2))=1/(√2×√3)=1/√6。選項A為1/2。7.C解析：正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側棱長為√3。取CD中點E，連接SE，則SE⊥CD。易知SE=√((√3)^2-1^2)=√2。二面角A-SC-B的平面角為∠SEB，cos∠SEB=SE/BE=√2/2。選項C為√3。8.B解析：四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB=AD=1，PD=2。三棱錐P-ABD的體積V=(1/3)×底面積×高=(1/3)×(1/2×AB×AD)×PA=(1/3)×(1/2×1×1)×2=1/3。選項B為1/2。9.D解析：向量AB=(1，1，-2)，向量AC=(2，-1，-1)。向量AB與向量AC的夾角余弦值cosθ=AB·AC/(|AB|×|AC|)=(1×2+1×(-1)+(-2)×(-1))/(√(1^2+1^2+(-2)^2)×√(2^2+(-1)^2+(-1)^2))=(2-1+2)/(√6×√6)=3/6=1/2。選項D為√3/2。10.A解析：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠A=60°，AA1=2。取BC中點D，連接AD，則AD⊥BC。易知AD=1/2。點A1到平面BCC1B1的距離即為AA1在AD上的投影長度。AA1=2，AD=1/2，所以投影長度為1。選項A為1。二、填空題答案及解析1.1/√3解析：向量AB=(1，1，-2)，向量AC=(2，-1，-1)。向量AB與向量AC的夾角余弦值cosθ=AB·AC/(|AB|×|AC|)=(1×2+1×(-1)+(-2)×(-1))/(√(1^2+1^2+(-2)^2)×√(2^2+(-1)^2+(-1)^2))=(2-1+2)/(√6×√6)=3/6=1/2。選項1/√3。2.1/2解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱A1D1的中點，F(xiàn)為棱BC的中點。向量A1F=(0，1，-1)，平面CDE的法向量為（1，1，1）。向量A1F與平面CDE所成角的正弦值sinθ=|A1F·法向量|/(|A1F|×|法向量|)=|(0，1，-1)·(1，1，1)|/(√(0^2+1^2+(-1)^2)×√(1^2+1^2+1^2))=1/(√2×√3)=1/2。選項1/2。3.1/√2解析：在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AB=AC=1，∠BAC=60°。取BC中點D，連接AD，則AD⊥BC。易知AD=1/2，PD=√(PA^2+AD^2)=√(4+1/4)=√17/2。二面角A-PC-B的平面角為∠ADP，cos∠ADP=AD/PD=1/(√17/2)=2/√17。選項1/√2。4.1/√2解析：向量AD=(0，1，1)，向量BC=(-1，-1，-1)。向量AD與向量BC的夾角余弦值cosθ=AD·BC/(|AD|×|BC|)=(0×(-1)+1×(-1)+1×(-1))/(√(0^2+1^2+1^2)×√(3))=-2/(√2×√3)=-1/√6。選項1/√2。5.1解析：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠A=60°，AA1=2。取BC中點D，連接AD，則AD⊥BC。易知AD=1/2。點A1到平面BCC1B1的距離即為AA1在AD上的投影長度。AA1=2，AD=1/2，所以投影長度為1。選項1。三、解答題答案及解析1.解：首先，我們?nèi)C的中點D，并連接AD和PD。由于AB=AC，所以AD⊥BC。又因為PA⊥平面ABC，所以AD⊥PA。因此，∠ADP就是二面角A-PC-B的平面角。在△ABD中，由于∠BAC=60°，AB=AC=1，所以BD=AD=1/2。在直角△ADP中，PA=2，AD=1/2，利用勾股定理可得PD=√(PA^2+AD^2)=√(2^2+(1/2)^2)=√(4+1/4)=√(17/4)=√17/2。接下來，我們計算cos∠ADP。cos∠ADP=AD/PD=(1/2)/(√17/2)=1/√17。因此，二面角A-PC-B的余弦值為1/√17。2.解：我們首先取BC的中點G，并連接FG和EG。由于F是B1C1的中點，所以FG平行于B1B，且FG=1/2B1B。又因為E是A1B1的中點，所以EG平行于A1A，且EG=1/2A1B1。因此，四邊形AEGF是一個平行四邊形，所以AF平行于EG。由于EG在平面BCC1B1上，且AF平行于EG，所以直線AF與平面BCC1B1所成的角就是直線AF與直線EG所成的角。我們記這個角為θ。在直角△AEG中，AG=√(A1A^2+A1G^2)=√(a^2+(a/2)^2)=√(a^2+a^2/4)=√(5a^2/4)=a√5/2。AE=√(A1E^2+A1A^2)=√((a/2)^2+a^2)=√(a^2/4+a^2)=√(5a^2/4)=a√5/2。因此，sinθ=EG/AG=1/√5。所以，直線AE與平面BCC1B1所成角的正弦值為1/√5。3.解：首先，我們?nèi)D的中點E，并連接PE和BE。由于AB⊥AD，且PA⊥底面ABCD，所以△ABD是一個直角三角形，且PE是ABD的高。在直角△ABD中，AB=AD=1，所以BD=√(AB^2+AD^2)=√(1^2+1^2)=√2。在直角△PBD中，PD=2，BD=√2，利用勾股定理可得PE=√(PD^2-BD^2)=√(2^2-(√2)^2)=√(4-2)=√2。因此，三棱錐P-ABD的體積V=(1/3)×底面積×高=(1/3)×(1/2×AB×AD)×PE=(1/3)×(1/2×1×1)×√2=√2/6。所以，三棱錐P-ABD的體積為√2/6。4.解：首先，我們計算向量AB和向量AC。向量AB=(2-1，3-2，1-3)=(1，1，-2)，向量AC=(3-1，1-2，2-3)=(2，-1，-1)。接下來，我們計算向量AB和向量AC的點積。AB·AC=(1×2)+(1×(-1))+(-2×(-1))=2-1+2=3。然后，我們計算向量AB和向量AC的模長。|AB|=√(1^2+1^2+(-2)^2)=√(1+1+4)=√6，|AC|=√(2^2+(-1)^2+(-1)^2)=√(4+1+1)=√6。最后，我們計算向量AB與向量