第一束；三角函數(shù)

1.1.1佞直角

L角的有關(guān)概念：

①角的定義：

角可以當(dāng)作平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一種位置旋轉(zhuǎn)到另一種位置所形成的圖形.

②角的名稱：

r

負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的I角

＜正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

、零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角

2.象限角的概念：

①定義：若將角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重疊，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重疊，那么角的終邊（端點(diǎn)除外）

在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角.

終邊相似的角的表達(dá)：

所有與角a終邊相似的角，連同a在內(nèi)，可構(gòu)成一種集合S={P|g=a+k-360°,

k￡Z},即任一與角a終邊相似的角,都可以表達(dá)成角a與整個(gè)周角附和.

注意：

（1）kGZ（2）。是任一角；

⑶終邊相似的角不一定相等，但相等的角終邊一定相似.終邊相似的角有無限個(gè)，它們相差

360°的整數(shù)倍；

⑷角a+k-720°與角a終邊相似，但不能表達(dá)與角a終邊相似的所有角.

3.寫出終邊在y軸上的角的集合（用0。到360。的角表達(dá)）.

解：{a|a=90°+n?180°,nGZ}.

4.已知a角是第三象限角，則2a,各是第幾象限角？

解：角屬于第三象限，k?360°+180°<a<k?360°+270°(k￡Z)

因此，2k?360°+360°<2a<2k?360°+540°(kGZ)

即(2A+l)360°<2a<(2k+1)360°+180°(AeZ)

故2a是第一、二象限或終邊在y軸的非負(fù)半軸上的角.

又k?180°+90°<<k?180°+135°(k￡Z).

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k=2n(n￡Z),則n?360°+90°<<n?360°+135°(n€Z),

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k=2n+l(nez),則n?360°+270°<<n>360°+315°(nez),

因此篇子第二雙軍四段隨角.

1.1.2弧度制

1.弧度制

我們規(guī)定,長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧度

制.在弧度制下，1弧度記做lrad.在實(shí)際運(yùn)算中，常常將rad單位省略.

2、弧度制的性質(zhì)：

TIT2次_

----=71\2_7T

①半圓所對的圓心角為廠②整圓所對的圓心角為r一

③正角的弧度數(shù)是一種正數(shù).④負(fù)角的弧度數(shù)是一種負(fù)數(shù).

⑤零角的弧度數(shù)是零.⑥角a的弧度數(shù)的絕對值|a|=

3.弧長公式

弧長等于弧所對應(yīng)的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對值與半徑的積.

例6.利用弧度制證明扇形面積公式5=LR,其中/是扇形弧長/?是圓的半徑

2

2—7TR2

證法一:???圓的面積為兀R"???圓心角為lrad的扇形面積為2萬,又扇形弧長為1,半徑為R,

???扇形的圓心角大小為rad,???扇形面積.

證法二:設(shè)圓心角的度數(shù)為n,則在角度制下的扇形面積公式為，又此時(shí)弧長，工.

可看出弧度制與角度制下的扇形面積公式可以互化，而弧度制下的扇形面積公式顯然要簡潔得多.

扇形面積公式:S=g/R=g|a|R2

任意角的I三角函數(shù)

L三角函數(shù)定義

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)a是一種任意角，a終邊上任意一點(diǎn)（除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)

的距離為，那么

（1）比值叫做a的正弦，記作，即；

（2）比值叫做a的余弦，記作，即；

（3）比值叫做a的正切，記作，即；

（4）比值叫做a的余切，記作，即；

2.三角函數(shù)的定義域、值域

函數(shù)定義域值域

y=s\naR[-1,1]

y=cosaR[-1,1]

JI

y=tana{a\a^—+k7i,keZ}R

3.求函數(shù)的值域

解：定義域：cosx(0終邊不在x軸上又?.'tanxS.??*時(shí)終邊不在丫軸上

???當(dāng)x是第I象限角時(shí)，cosx=|cosx|tanx=|tanx|/.y=2

...............II................,x<0,y>0|cosx|=-cosx|tanx|=-tanx:.y=-2

...............HIIV...........,gIcosx|—cosx|tanx|=tanxy=0

4.誘導(dǎo)公式

sin(2A〃+a)=sina{keZ)

COS(2ATT+a)=cosa(ZGZ)

tan(2br+a)=tana(kGZ)

5.三角函數(shù)線的定義：

設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重疊，終邊與單位圓相交與點(diǎn)

過作軸的垂線，垂足為；過點(diǎn)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延

長線交與點(diǎn)7.

A

廠y'

(III)(IV)

由四個(gè)圖看出：

當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段，于是有

我們就分別稱有向線段MROM,AT為正弦線、余弦線、正切線。

闡明:

(1)三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點(diǎn)到軸的垂直線段；余弦線在軸上;

正切線在過單位圓與軸正方向的交點(diǎn)時(shí)切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓

外。

(2)三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交

點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂

足；正切線由切點(diǎn)指向與。的終邊的J交點(diǎn)。

(3)三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與軸或軸同向時(shí)為正值,

與軸或軸反向的

為負(fù)值。

(4)三條有向線段的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在背面。

6、運(yùn)用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小:

.2萬1.4萬c2萬

1dO°sin——與sin——2°tan—與tan——

3535

解：如圖可知:

.27.4不2747r

sin——>sin——tan——<tan——

3535

周角三角函數(shù)的基本央系

由三角函數(shù)的定義，我們可以得到如下關(guān)系：

(1)商數(shù)關(guān)系：(2)平方關(guān)系：

2.己知，并且是第二象限角，求.

解：，??.

又?；是第二象限角，???,即有，從而

3.已知，求

4.求證：.

證法一：由題義知，因此.

???左邊=右邊.

工原式成立.

證法二：由題義知，因此.

又「(l-sinx)(l+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosx-cosx,

.cosx_14-sinx

?■—■

1-sinxcosx

證法三：由題義知，因此,

cosx1+sinx_cosx-cosx-(l+sinx)(l-sinx)_cos2x-1+sin2%

1-sinxcosx(1-sinx)cosx(1-sinx)cosx

.cosx1+sinx

..1=?

1—sinxcosx

1.3德辱公式

L誘導(dǎo)公式(一)

sin(360%+6Z)=sinacos(360°A+a)=cosatan(360%+a)=tana

誘導(dǎo)公式(二)

sin(180°+cr)=-sinacos(180°+a)=-cosatan(180°+a)=tana

誘導(dǎo)公式(三)

sin（-a）=-sinorcos(-a)=cosalan(-a)=Tana

誘導(dǎo)公式（四）

sin（九一a）=sinacos(冗—a)=-cosatan(兀一a)=-tana

誘導(dǎo)公式（五）

sin弓-a）=cosacosg-a)=sina

誘導(dǎo)公式（六）

./兀\、.

sin(—+a)=cosacos(.7^1+a)=-sina

2.化簡：

3、已知sin(a+%)=-,_g.sinacosa<0,求「S訶。__乃)+3tan(3%_^2的值

54cos(a-34)

4.化簡:

tan(3600+a)

⑴?sin(a-2%)?cos(2^-a);(2)cos2(-a)-

sin(-a)

14]正瓠、余法函數(shù)的BE安

1、

正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.

2.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的I簡圖(描點(diǎn)法)：

正弦函數(shù)丫=5歷%x￡[0,2冗]的圖象中，五個(gè)要點(diǎn)是：(0,0)(,1)((,0)(,-1)(2(,0)

余弦函數(shù)y=cosxx([0,2弦的五個(gè)點(diǎn)關(guān)鍵是哪幾種?(0,1)(,0)((,-1)(,0)(2(,1)

3、別運(yùn)用函數(shù)的圖象和三隹函數(shù)線兩種措施，求滿足下列條件的x的|集合:

I5〃

(l)sinx>—;(2)cosx<—,(0<x<--).

222

1.4.2正弦、余眩圖數(shù)的嵯質(zhì)

1.奇偶性：產(chǎn)COSX是偶函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)。

2.單調(diào)性

正弦函數(shù)在每一種閉區(qū)間［一+2k冗，+2kn］(kWZ)上都是增函數(shù)，其值從一1增大到1；

在每一種閉區(qū)間1+2kn,+2kn］(k￡Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到一1.

余弦函數(shù)在每一種閉區(qū)間［(2k-l)n,2kn］(k￡Z)上都是增函數(shù)，其值從一1增長到

1;

在每一種閉區(qū)間［2k“，(2k+l)兀］(k￡Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到一1.

3.有關(guān)對稱軸

觀測正、余弦函數(shù)的圖形，可知

兀

y=sinx的對稱軸為x=brH—k￡Zy=cosx的對稱軸為x=krk￡Z

2

4.判斷下列函數(shù)的奇偶性

(1)/(x)='(2)f(x)=lg(sinx+>/l+sin2x);

l+sinx+cosx

正切函數(shù)的性質(zhì)芍BE前

1.正切函數(shù)的定義域是什么？

-71

3.正切函數(shù)時(shí)性質(zhì)(1)定義域：；

(2)值域：R觀測：當(dāng)從不不小于，時(shí)，

當(dāng)從不小于，時(shí)，。

(3)周期性：；

(4)奇偶性：由知，正切函數(shù)是奇函數(shù)；

(5)單調(diào)性：在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。

4.求下列函數(shù)的周期：

(1)答：。(2)答：。

闡明：函數(shù)的周期.

5,求函數(shù)的定義域、值域，指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性，

解：1、由得，所求定義域?yàn)?/p>

2,值城為R,網(wǎng)期，3.在區(qū)周上足增雨政。

Z5函數(shù)？弓?向他甘(9例卻w：刈區(qū)|圖象

1、函數(shù)y=Asin(wx+(),(A>0,w>0)的圖像可以看作是先把y=sinx的圖像上所有的點(diǎn)向左((>0)

或向右((VO)平移|(|個(gè)單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(w>l)或伸長(0<w<l)到本來的倍(縱坐

標(biāo)不變)，再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<l)到本來的A倍，(橫坐標(biāo)不變)。即：平移

變換一周期變換一振幅變換。

2.⑴函數(shù)y=sin2x圖像向右平移個(gè)單位所得圖像的函數(shù)體現(xiàn)式為

⑵函數(shù)y=3cos(x+；)圖像向左平移]個(gè)單位所得圖像的函數(shù)體現(xiàn)式為)，=3cos(r+工)

⑶函數(shù)y=21oga2x圖像向左平移3個(gè)單位所得圖像的函數(shù)體現(xiàn)式y(tǒng)=21og“2(x+3)

⑷函數(shù)y=2tan(2x+N)圖像向右平移3個(gè)單位所得圖像的函數(shù)體現(xiàn)式為

3

)，=2tan[2(x-3)+g

?*

3.函數(shù)y=Asin(wx+()表達(dá)一種振動量時(shí)：

A：這個(gè)量振動時(shí)離開平衡位置的最大距離，稱為“振幅”.

T：1=也往復(fù)振動一次所需的時(shí)間，稱為“周期”

(V

/：/=q==■單位時(shí)間內(nèi)往返振動的欠數(shù)，稱為“頻率”

T2"

皿+/稱為“相位”.

x=0時(shí)的相位，稱為“初相”.

4、y=Asin(air+e)(l9l<1)的表達(dá)式

解析：由圖象可知A=2,

777.71.

T=-------(——)=71、

88

即=肛二.①=2.

CD

又(-￡,())為五點(diǎn)作圖的第一個(gè)點(diǎn)

O

因此2x(—1)+0=0,...0=￡.

84

因此所求函數(shù)的表達(dá)冊)，=2sin(2x+f).

4

1.6三角西政樽魚的斶撲應(yīng)用

1.畫出函數(shù)y=lsinx|的圖象并觀測其周期.

第二章：平面向量

向量的移理5r景均概念及向量時(shí)幾何森達(dá)

L數(shù)量與向量的區(qū)別：

數(shù)量只有大小，是一種代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大?。?/p>

向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.

2.向量的表達(dá)措施：

①用有向線段表達(dá)；②用字母a、b（黑體，印刷用）等表達(dá)；

③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：；④向量的大小一長度稱為向量的模，記作II.

3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度.

向量與有向線段的區(qū)別：

（1）向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān)，只要大小和方向相似，這兩個(gè)向量就是相似的

向量；

（2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不一樣，盡管大小和方向相似，也是不一樣的有

向線段.

4.零向量、單位向量概念:

①長度為0的向量叫零向量，記作0.0的方向是任意的..注意。與0的含義與書寫區(qū)別.

②長度為1個(gè)單位長度的向量，叫單位向量.

闡明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.

5、平行向量定義：

①方向相似或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定。與任歷來量平行.

詡明：（1）綜合①、②才是平行向量的完贅定義；（2）向登a、b、c平行，圮作aIIbIIc.

相等向黃芍然統(tǒng)向量

1.相等向量定義：

長度相等且方向相似的向量叫相等向量.

闡明：（1）向量a與b相等，記作a=b；（2）零向量與零向量相等；

C3）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段表達(dá)，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).

2.共線向量與平行向量關(guān)系：

平行向量就是共線向量，由于任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)）.

闡明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系，

（2）共線向量可以互相平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.

3.判斷：

（1）不相等的向量與否一定不平行？（不一定）

（2）與零向量相等的向量必然是什么向量？（零向量）

（3）兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？（長度相等且方向相似）

（4）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）

4.下列命題對時(shí)時(shí)是（）

A.a與b共線，b與c共線，則a與c也共線

B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)

C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量

D.有相似起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行

解：由于零向量與任歷來量都共線，因此A不對的；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，因此兩個(gè)相

等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，主線不也許是一種平行四邊形的四個(gè)頂

點(diǎn)，因此B不對的；向量的平行只要方向相似或相反即可，與起點(diǎn)與否相似無關(guān)，因此D不對的I；對

于C,其條件以否認(rèn)形式給出，因此可從其逆否命題來入手考慮，假若a與b不都是非零向量，即

a與b至少有一種是零向量，而由零向量與任歷來量都共線，可有a與b共線，不符合已知條件,

因此有a與b都是非零向量，因此應(yīng)選C.

5.判斷下列命題與否對的，若不對的，請簡述理由.

①向量與是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上；

②單位向量都相等；

③任歷來量與它的相反向量不相等；

④四邊形4"/是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)AB=DC

⑤一種向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0；

⑥共線時(shí)向量，若起點(diǎn)不一樣，則終點(diǎn)一定不一樣.

解：①不對的,共線向量即平行向量，只規(guī)定方向相似或相反即可，并不規(guī)定兩個(gè)向量、在

同一直線上.

②不對的.單位向量模均相等且為1,但方向并不確定.

③不對時(shí).零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.④、⑤對的.⑥不對時(shí).如圖與

共線，雖起點(diǎn)不一樣，但其終點(diǎn)卻相似.

向登的I加法運(yùn)算及其幾何意義

1.三角形法則（“首尾相接，首尾連”）

如圖，已知向量a、b.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作=a,=b,則向量叫做a與b的I和，記

作a+b,即a+b,規(guī)定：a+0-=0+a

2.已知向量、，求作向量+

作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)，作，則.

2.2.2向量時(shí)減法運(yùn)算友其幾何意義

1.作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)0,

作=2,=b貝!j=a(b

即a-8可以表達(dá)為從向量小的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.

....注意：1(表達(dá)?.b...強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)

2(用“相反向量”定義法作差向量，a(b=a+((b)

向董時(shí)政乘運(yùn)算及幾何意義

1.實(shí)數(shù)與向量的積的定義：

一般地，實(shí)數(shù)與向量的積是一種向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下:

(1)|幾。|=|刈

(2)當(dāng)時(shí)，時(shí)方向與的方向相似；

當(dāng)時(shí)，的)方向與的方向相反；

當(dāng)時(shí)，.

2、實(shí)數(shù)與向量時(shí)積時(shí)運(yùn)算律:

(1)義(〃。)=(〃/)〃(結(jié)合律);

(2)(A+ju)a=Aa+jLia(第一分派律);

(3)(第二分派律).

3.計(jì)算：(1)；(2)；

(3),

解：(1)原式二；(2)原式二；(3)原式二.

,已知向量々、各滿足幺#-i=L3l+2分,求證：向量"和旗線.

4、525

證明三點(diǎn)共線的問題

5、

AB=ABC(BC^O)^>A^B、C三點(diǎn)共線.

231-2平面向量基本定理、平面向董時(shí)正交分解

和坐標(biāo)著邊

1.平面向量基本定理：假如，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)時(shí)任歷

來量，有且只有一對實(shí)數(shù)入1,入2使=X1+入2.

2.(1)我們把不共線向量e1、e2叫做表達(dá)這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

(3)由定理可將任歷來量a在給出基底e1、e2的條件下進(jìn)行分解;

(4.基底給定期，分解形式惟一.'1,入2是被，，唯一確定的數(shù)量

如圖，蘇、無不共線，且

AP=rAB(reR),用蘇，麗表示麗.

本題實(shí)質(zhì)是已知°、"、'二點(diǎn)不共線'

若點(diǎn)P在直線A3上，則麗=〃?與+〃而，且〃?+〃=1.

4.向量的夾角:已知兩個(gè)非零向量、，作，，則NAOB=,叫向量、的J夾角，當(dāng)=0°,、

同向，當(dāng)=180°,、反向，當(dāng)=90°,與垂直，記作±o

6.正交分解：把向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量。

7、在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相似的兩個(gè)單位向量、作為基底.任作一種向

量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使得........

我們把叫做向量的(直角)坐標(biāo)，記作........

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一種平面向量都是可以用一對實(shí)數(shù)唯一表達(dá).

2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴若，，則

兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量對應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

(2)若和實(shí)數(shù)，則.

實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘本來向量的對應(yīng)坐標(biāo).

設(shè)基底為、，則，即

實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘本來向量的對應(yīng)坐標(biāo)。

⑶若，，則

=(=(x2,y2)((xl,yl)=(x2(xl,y2(yl)

2.一種向量的坐標(biāo)等于表達(dá)此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).

3、思索：你能標(biāo)出坐標(biāo)為(x2(xl,y2(yl)的IP點(diǎn)嗎？

向量標(biāo)的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)、點(diǎn)P為終點(diǎn)時(shí)向量的坐標(biāo)是相似的。

4.已知三個(gè)力(3,4),(2,(5),(x,y)的合力++=，求的坐標(biāo).

解：由題設(shè)++=得：⑶4)+(2,(5)+(x,y)=(0,0)

即：???:.((5,1)

5、若A(0,1),B(l,2),C(3,4),則(2=

2.3.4平面向量終線時(shí)生褲衰達(dá)

1.設(shè)=(xl,yl),=(x2,y2)其中(.

由二人得，(xl,yl)=入(x2,y2)消去入，xly2-x2yl=0

ci//b(。/0)時(shí)充要條件是Xiy2-X2yi=o

2.若向量=(-1,x)與=(-x,2)共線且方向相似，求x

解：?；=(-1,x)與=(-x.2)共線A(-1)X2-x*(-x)=O

.*.x=±V2與B方向相似Ax=V2

2.4.1平面向量的|數(shù)it積的I物理背景及其含義

L平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角是6,

則數(shù)量|a||b|cos(叫a與b的數(shù)量積，記作a(b,即有a(b=|a||b|cos(,(0W。W兀).

并規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量積為0.

(探究：1.向量數(shù)量積是一種向量還是一種數(shù)量？它的符號什么時(shí)候?yàn)檎?？什么時(shí)候?yàn)?/p>

負(fù)？

2.兩個(gè)向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘向量的積有什么區(qū)別？

(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一種實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cos(的符號所決定.

(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a(b；此后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積aXb,而a(b是兩個(gè)向

量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格辨別.符號“?”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能

用“X”替代.

(3)在實(shí)數(shù)中，若a(0,且a(b=O,則b=0；不過在數(shù)量積中，若a(0,且a(b=O,不能推出b=0.

由于其中cos(有也許為0.

(4)已知實(shí)數(shù)a、b^c(b(0),則ab=be(a=c.不過a(b=b(ca=c

如右圖：a(b=|a||b|cos(=|b|10A|,b(c=|b||c|cos(=|b|10A|

nab=be但a工c

E實(shí)數(shù)中，有(a(b)c=a(b(c),不過(a(b)c(a(b(c)

顯然，這是由于左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a

與c不共線.

2、“投影”的概念：作圖

定義：|b|cos(叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一種數(shù)量，不是向量；

當(dāng)。為銳角時(shí)投影為止值；當(dāng)。為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)。為直角時(shí)投影為0；

當(dāng)0=0。時(shí)投影為|引；當(dāng)0=180。時(shí)投影為-引.

3.向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積&力等于a的長度與b在a方向上投影|b\cosO的乘積.

探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量,

1.a(b(a(b=0

2、當(dāng)a與b同向時(shí)，a(..|a||b|...當(dāng)a與b反向時(shí)，a(..(|a||b|.

尤其的Jaa二|才或I。1=Ja\a-b\W\a\\b\cosB=""

lallbl

4.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

1.互換律：a(b=b(a

證：設(shè)a,b夾角為(，則a(b=|a||b|cos(,b(a=|b||a|cos(Aa(b=b(a

2.數(shù)乘結(jié)合律：(a)(b=(a(b)=a((b)

證：若>0,(a)(b=|a||b|cos(,(a(b)=|a||b|cos(,a((b)

=|a||b|cos(,

若<0,(a)(b=|a||b|cos(((()=(|a||b|((cos()=|a||b|cos(,(a(b)

=|a||b|cos(,

a?(-b)=|a||XA|cos(ft-0)=-X\a\\b\(-cos0)=X|a||6|cos0.

3.分派律：(a+b)(c=a(c+b(c

在平面內(nèi)取一點(diǎn)0,作=a,=b,=c,Va+b(即)在c方向上的投影等于a、b

在c方向上的I投影和，即|a+b|cos(=|a|cos(l+|b|cos(2

；?|c||a+b|cos(=|c||a|cos(l+|c||b|cos(2,Ac((a+b)=c(a+c(b即：

(a+b)(c=a(c+b(c

闡明：（1）一般地，（a?b）cHa（b?c）

(2)a?c=b?c,cWOa=b

(3)有如下常用性質(zhì)：a2=|a|2,

(a+6)(c+d)=a?c+a?d+b?c+b?d

5.已知|a|二12,|b|=9,,求與的夾角。

6、已知|a|=6.|b|=4.a與b的I夾角為60o求：(1)(a+2b)?(a-3b).(2)|a+b|與|a?b|.

(運(yùn)用1。1=—二)

7、已知|a|=3.|b|=4.且a與b不共線,k為何值時(shí)，向量a+kb與a?kb互相垂直.

242平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)費(fèi)達(dá)、槨、夾角

1.平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)

，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積附和.即=X/2+必必

2.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式

⑴設(shè)，則或.

（2）假如表達(dá)向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，

那么|。|=）?！?）2+（二一%）2（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）

3、向量垂直的鑒定

4、設(shè)，，則

5、兩向量夾角的余弦(04。工萬)

ab

co^==廣/y2

⑺?⑶77—

5.已知a=(l,),b=(+1,-1),則a與b的夾角是多少？

分析：為求a與b夾角，需先求a-b及l(fā)ai?|b|,再結(jié)合夾角0的范圍確定其值.

解：由a=(l,),b=(+1,—1)

有a?b=+1+(—1)=4,|a|=2,IbI=2.

記a與b的夾角為0,則c。s9=又???0W0《冗，A0=

評述：已知三角形函數(shù)值求角時(shí)，應(yīng)重視角的范圍確實(shí)定.

6.在AABC中，=(2,3),=(1,k),且AABC的一種內(nèi)角為直角，求k值.

解：當(dāng)A二90(時(shí)，(=0,A2X1+3Xk=0：.k=

當(dāng)8=90(時(shí)，(=0,=(=(1(2,k(3)=((1,k(3)

：.2X(-1)+3X(h3)=0：.k=—

3

當(dāng)C=90(時(shí)，(=0,A(1+k(k(3)=0Ak=

2.5.1平面幾何中的向量指翹

例1.己知AC為。0的一條直徑，ZABC為圓周角.求證：ZABC=90o.

證明：設(shè)

AB=AO+OB=a十伉BC=a一4

AB?BC=(a^-b)-(a-b)=a-b=0,

/.AB±BC,：.ZABC=90°

2.5.2向量在物理中的應(yīng)用舉網(wǎng)

L如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m,一艘船從A處出發(fā)到河對岸.已知船的速度I

10km/h,水流速度|1=2km/h,問行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是多少（精確到0.1min）?

K2.5-4

圖2.5-5

解：vI=—ls>=V/96（km/h）.

所以/=T^T=~~LX6O^3.l（min）.

v、頌

答：行駛航程最短時(shí).所用時(shí)間是3.lmin.

第三章；三角恒等變換

3.1.1兩角建的余弦公式

L兩角和差的余弦公式：

2.運(yùn)用和、差角余弦公式求、時(shí)值.

解：分析：把、構(gòu)導(dǎo)致兩個(gè)特殊角的和、差.

cos75=cos(45+30)=cos45cos30-sin45sin30=—x--—x-=―――

\J22224

cos15°=cos(450-30)=cos45cos300+sin45°sin30°=—x—+x—="+四

'J22224

3.已知，是第三象限角，求時(shí)值.

解：由于，由此得

又由于是第三象限角，因此

433

因此cos(a-,)=coscos[5+sinasinfj=+—x2

13；5瓦65

3.1.2兩角和與蓑的正弦、余弦、正切沖穴（―）

1.

sin一尸)=sin[a+[-0)]=sinacos(一尸)+cosasin\-/3)=sinacos(3-cosasin/3

sin(a+〃)sinacosp+cosasinJ3

tan(cr+/?)=

cos(a+/?)cosacosp-sinasin(3

2、

tane+tan(-/7)tana-tan/

tan(cr-/?)=tan[a+=

1TanQtan(一尸)1+tanatan[3

3.已知求時(shí)值.（）

4.運(yùn)用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值:

（1）、；（2）、；（3）、

解：⑴、;

(2)、cos20cos70J-sin20sin70=cos(20+7()j=cos90°=0；

(3)、,

3.1.2兩角和與蓑的I正弦、余弦、正切合大1二）

L化簡

解:

1V3

V2cosx-V6sinx=2^2—cosx------sinx二2、5卜in30cosx-cos30sinx)=2&sin(30

22

2.歸納:

(1)3、已知：函數(shù)

(2)求/(x)的最值。(2)求/(x)的周期、單調(diào)性。

4.己知A.B.C為4ABC的三內(nèi)角，向量，，且，

求角A。(2)若，求tanC的值。

3.1.3二倍角的I正弦、余弦和正切公式

1sin2a=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosa；

cos2a=cos2or-sin2?=1-sin2?-sin2dz=1-2sin2a；

cos2a=cos2a—sin2a=cos2a—(1-cos2a)=2cos2a-\.

八/、tana+tana2tana

tan2a=tan(a+a)=-----------------=--------；-.

1-tan6/tana1-tarra

注意：

2.己知求時(shí)值.

解：由得.

又由于

120

于是sin4a=2sin2acos2a=2x—x2

13169

120

)