1.排列、組合

(-)排列、組合問題

I.(均勻分組問題)15名新生中有3名優(yōu)秀生，隨機(jī)將15名新生平均分派到3個(gè)班級(jí)中.

25

(1)每班級(jí)各分派一名優(yōu)秀生日勺概率是多少？—

91

(2)3名優(yōu)秀生分派到同一班級(jí)的概率是多少？—

91

(3)甲班至少分到一名優(yōu)秀生的概率是多少？—

91

2.(放回、不放回問題)袋中有5個(gè)紅球、6個(gè)白球、8個(gè)黃球，隨機(jī)抽3次，每次抽1

個(gè)，顏色相似的)事件記為事件A,顏色互不相似的事件記為事件B,在下列兩種狀況

下，求事件4和事件8的概率：

(1)抽后不放回；(2)推后放回.

3.兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏三局者獲勝，決出勝敗為止，則所有也許出現(xiàn)的情形(各

人輸贏局次的不一樣視為不一樣情形)共有種.20

4.某小區(qū)有排成一排的7個(gè)車位，既有3輛不一樣型號(hào)的車需要停放，假如規(guī)定剩余的4

個(gè)車位連在一起，那么不一樣的停放措施的種數(shù)為24

5.學(xué)校組織高一年級(jí)4個(gè)班外出春游，每個(gè)班從指定的甲、乙、丙、丁四個(gè)景區(qū)中任選

一種游覽，則恰有兩個(gè)班選擇了甲景區(qū)的選法共有種

6.從甲、乙等5個(gè)人中選出3人排成一列，則甲不在排頭日勺種數(shù)為48

7.有10件不一樣的)電子產(chǎn)品，其中有2件產(chǎn)品運(yùn)行不穩(wěn)定，技術(shù)人員對(duì)它們進(jìn)行一一測

試，直到2件不穩(wěn)定的產(chǎn)品所有找出后測試結(jié)束，則恰好3次就結(jié)束測試的措施種數(shù)為

____32

8.思索：（轉(zhuǎn)化與化歸思想）連接正方體8個(gè)頂點(diǎn)的直線中，成異面直線有多少對(duì)？

解：一種三棱錐可確定3對(duì)異面直線，故問題可轉(zhuǎn)化成求在正方體中可構(gòu)造多少個(gè)不一

樣日勺三棱錐？3（C：-12）=174對(duì)

9.紅藍(lán)兩色車、馬、炮棋子各一枚，將這六枚棋子排成一列，其中每對(duì)同字的棋子中，

均為紅旗子在前，藍(lán)棋子在后，滿足這種條件日勺不一樣排列方式共有種.90

10.（斯坦福數(shù)學(xué)競賽）

Wesaythatanumberisarithmeticallysequencedifthedigits,inorder,forman

arithmeticsequence.Computethenumberof4-digitpositiveintegerswhichare

arithmeticallysequenced.

30

（二）排歹IJ、組合的證明

1.把所有正整數(shù)按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表，其中第i行共有2'T

個(gè)正整數(shù)，設(shè)%表達(dá)位于這個(gè)數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右第，個(gè)

數(shù).

（I）若％.=2013,求i和j的值；1

23

（H）記4=%+42+%3+,+4m（〃wN*）,4567

89101112131415

求證：當(dāng)〃24時(shí)，+.................

解：（I）由于數(shù)表中前行共有1+1+22++2'-2=2i—1個(gè)數(shù)，

則第'?行的第一種數(shù)是21，因此附=2"+/—1,........................2分

由于21°<2013<2",％=2013,則"1=10,即i=ll.

令2")+；-1=2013,則j=2O13-2,o+l=99O....................5分

(II)由于%=2/_|4-j-1,則=2"一+〃一N*),

因此A=(l+2+2?++2”T)+[0+1+2++〃(”1......8分

當(dāng)〃24時(shí)，4=(I+I)〃—I+/1I^11〉C)+C：+C；+C；—i+^^=〃2+c；.io分

2?設(shè)S〃=&一Ci+G、-+(7rte:二，機(jī)EWN"且〃?<〃，其中當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

in=—;當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，m-—―-.

22

(1)證明：當(dāng)〃EN“，〃22時(shí)，S.=5〃-S,i；

+

(2)記S=—^以乜一——^oi3—^^2012一——^011+一一Lc：器,求S時(shí)值.

201420,420132013201220k201120,11(X)71007

解：(1)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，〃+1為偶數(shù)，〃-1為偶數(shù)，

〃+1〃+1w-1rt-l

??.s“m+4-(-l)~Cj,S“=C"：T++(-l)-Cj,

n-1w-l

++(-lPCj,

2

--1〃+lI〃-1"+1”+l

???Sm-S〃=cm-CL)++(T產(chǎn)(cj；-cj)+(-1Pcj

------4-1----------

222

“T〃一I

-L++(-iPcJ)=-\_..

2

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sw+1=Sn-Sn_t成立.

同理可證，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，S“+I=S”-ST也成立.

（2）由5=,端“4———C；013+^—C;012---d011+--L：黑,得

201420,42013-0132012~0122011”10071007

9014o^2014,201422014^32014"

~20,4201320,3201220,2201120,11（X）71007

CH—（C°I3+焉43）+（4M2+焉《32）一（以U+熹）+"CO+黑哨）

JU1?1乙NU111VA_/f

二?）14-413+C；（）］2--C解）-（412-41+C；（）］o-+C髏）

又由Sn+l=Sn-Sn_},得S〃+6=sn,

因此S刈4_S232=S4_S2=_1,S=_募

2.隨機(jī)變量及其概率分布

1.某地區(qū)舉行科技創(chuàng)新大賽，有50件科技作品參賽，大賽組委會(huì)對(duì)這50件作品分別從

“創(chuàng)新性、和“實(shí)用性”兩項(xiàng)進(jìn)行評(píng)分，每項(xiàng)評(píng)分均按等級(jí)采用5分制，若設(shè)“創(chuàng)新性”得分為

X,“實(shí)用性”得分為記錄成果如下表：

作品數(shù)量'實(shí)用性

''''-X1分2分3分4分5分

創(chuàng)1分13101

2分10751

3分21093

4分1b60a

性5分00113

(I)求“創(chuàng)新性為4分且實(shí)用性為3分”的概率；

(II)若“實(shí)用性”得分日勺數(shù)學(xué)期望為喘，求。、〃的值.

解：(I)從表中可以看出，“創(chuàng)新性為4分且實(shí)用性為3分邛勺作品數(shù)量為6件，

“創(chuàng)新性為4分且實(shí)用性為3分悌概率為與=0.12.

(II)由表可知“實(shí)用性”得分y有1分、2分、3分、4分、5分五個(gè)等級(jí)，且每個(gè)等級(jí)

分別有5件，〃+4件，15件，15件，〃+8件.“實(shí)用性”得分)，的分布列為：

yi2345

一+4

p515154+8

5050505050

',實(shí)用性”得分的數(shù)學(xué)期望為也，1X￡+2X"4+3X叵+4、歷+5、且=坨.

50505050505050

作品數(shù)量共有50件，a+b=3,解得。=1,b=2.

2.設(shè)J為隨機(jī)變量，從棱長為1的正方體A3CO-4田G。的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn),

當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，4=(),當(dāng)四點(diǎn)不共面時(shí)，J的值為四點(diǎn)構(gòu)成日勺四面體的體積.

(1)求概率尸(自=0)；

(2)求J的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E(J).

23'解：⑴從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)，共有4=70種不同取法

其中共面的情況共有12種(6個(gè)側(cè)面，6個(gè)對(duì)角而).

則尸(%0)="=9

7035?...............3分

)任取四個(gè)點(diǎn)，當(dāng)四點(diǎn)不共面時(shí)，四面體的體積只有以下兩種情況：

①四點(diǎn)在相對(duì)面且異面的對(duì)角線上，體枳為1.公2二

這樣的取法共有2種...........：3，八

2四點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)側(cè)面上，另一個(gè)點(diǎn)在相對(duì)側(cè)面上，體積為L

這樣的取法共有70_12_2=56種..........r46

???€的分布列為.....7分

變式1：如圖，從Ai(1,0,0),A2(2,0,0),Bi(0,2,0),B2(0,2,0),C1

(0,0,1),C.2(0,0,2)這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選用3個(gè)點(diǎn)，將這3個(gè)點(diǎn)及原點(diǎn)O兩兩相連構(gòu)成

一種“立體”，記該“立體”日勺體積為隨機(jī)變量V(假如選用日勺3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一種

平面內(nèi)，此時(shí)“立體”的體積V=0)

(1)求V求的概率;

（2）求V日勺分布列及數(shù)學(xué)期望.

變式2：（2023年江蘇高考22題）設(shè)J為隨機(jī)變量.從棱長為1的正方體日勺12條棱中任

取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，J=0;當(dāng)兩條棱平行時(shí)，J的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩

條棱異面時(shí)，J=l.

（1）求概率=0）;（2）求JH勺分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E?）.

（1）考慮到圖形的對(duì)稱性，不妨先取定第一條，然后再考慮其他的邊，故

4

%=0）十

,46l1

（2）J時(shí)也許取值為0,1,72,其中P（g=0）=H；P（^=l）=—；p（g=-2）=新

則E8=

思索：（轉(zhuǎn)化與化歸思想）連接正方體8個(gè)頂點(diǎn)的直線中，成異面直線有多少對(duì)？

解：一種三棱錐可確定3對(duì)異面直線，故問題可轉(zhuǎn)化成求在正方體中可構(gòu)造多少個(gè)不一

樣的三棱錐？3（C；?12）=174對(duì)

變式3：從棱長為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取不一樣2點(diǎn)，設(shè)隨機(jī)變量4是這兩點(diǎn)間日勺

距離.

（1）求概率網(wǎng)。=后）；

（2）求4日勺分布列，并求其數(shù)學(xué)期望￡（m.

【解】（1）從正方體日勺8個(gè)頂點(diǎn)中任取不一樣2點(diǎn)，共有C；=28種.

由于正方體的棱長為1,因此其面對(duì)角線長為近,

正方體每個(gè)面上均啟兩條對(duì)角線，因此共啟2x6=12條.

因此**&)=呆號(hào)........................................3分

(2)隨機(jī)變量J的取值共有1,五，G三種狀況.

正方體日勺棱長為1,而正方體共有12條棱，于是/＞學(xué)=1)=吳=3.........5分

從而P值=6)=1一尸(4=1)一H4=&)=1一3一3=劣................7分

因此隨機(jī)變量自時(shí)分布列是

1&

331

P")777

............................8分

因此E?=lx1夜x尹gx/如呼士蟲.....................10分

3.(南京市、鹽都市2023屆高三期末)某射擊小組有甲、乙兩名射手，甲的命中率為

_2

耳3,乙日勺命中率為巴，在射擊比武活動(dòng)中每人射擊兩發(fā)子彈則完畢一次檢測，在一次

檢測中，若兩人命中次數(shù)相等且都不少于一發(fā),則稱該射擊小組為“先進(jìn)友好組”.

(1)若鳥=g,求該小組在一次檢測中榮獲“先進(jìn)友好組”的概率；

(2)計(jì)劃在2023年每月進(jìn)行1次檢測，設(shè)這12次檢測中該小組獲得“先進(jìn)友好組”的次數(shù)

為假如25,求￡的取值范圍.

7iii22111

解:(1)可得P=(C；?彳?彳)(C；,—?—)+(—?~)(~?~)=~

33~2233223

⑵該小組在一次檢測中榮獲“先進(jìn)友好組”的概率為

9?2284

P=(Ch---)[C；.ft.(l-/>)J+(-.-)/>2=-^--^2，而4?8(12,P)，因此

QA3

EJ=12尸，由EJ25,知§Pj).i225,解得:KR

評(píng)注：關(guān)鍵是辨識(shí)概型

4.設(shè)不等式/+>244確定日勺平面區(qū)域?yàn)閁，國+NW1確定日勺平面區(qū)域?yàn)閂

(1)定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”，在區(qū)域U內(nèi)任取三個(gè)整點(diǎn)，求這些整點(diǎn)中

恰有2個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域V內(nèi)的概率；

(2)在區(qū)域U內(nèi)任取3個(gè)點(diǎn)，記這3個(gè)點(diǎn)在區(qū)域V的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)

期望

c].C240

解答：(1)古典概型，解答為P(A)==—上

143

13

(2)幾何概型X服從于伯努利分布8(3,—),求得分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)二—

5.(2023年復(fù)旦大學(xué)自主招生試題)某大樓共5層，4個(gè)人從第一層上樓梯，假設(shè)每個(gè)人

等也許地在每一層下電梯，并且他們下電梯與否是互相獨(dú)立的，又知電梯只在有人下時(shí)

才停止.(1)求某乘客在第i層下電梯日勺概率；(i=2,3,4,5)；

(2)求電梯在第2層停下的概率；

(3)求電梯停下的次數(shù)J的數(shù)學(xué)期望;

⑶4175

解析：（1）(2)P(A)=1——

4~256

（3）J的也許取值為1,2,3,4

411C；(24-2)_21

P(^=l)=—;PC=2)=

444364"4"-M

_93

P化=3)=p一中

441632

175

因此￡?=轉(zhuǎn)

6.（2023年通州區(qū)熱點(diǎn)難點(diǎn)檢測）在公園游園活動(dòng)中有這樣一種游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝

有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球和2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相似；

每次游戲都從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)地摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲

獎(jiǎng).（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（1）在一次游戲中：①求摸出3個(gè)白球日勺概率；

②求獲獎(jiǎng)的概率；（2）在兩次游戲中，記獲獎(jiǎng)次數(shù)為X：①求X日勺分布列；②求X的

數(shù)學(xué)期望.

解：⑴記“在一次游戲中摸出出個(gè)白球'為事件4（攵=0,1,2,3）.

①P（4）=寨=（?................2分

（）

②P（A24）=P&+P（4）=c2蒸c；c；+g=1.…--…一5分

4ag74217749

(2)P(x=o)=—X—=——,P(X=l)=c!—X—=—,P(X=2)=—X—=——.

1010100-1010501010100

①X的分布列為

X012

92149

p

Too50Too

-----8分

②X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x2+lx江+2x型=N,------------10分

100501005

【或：???X次2,5),AE(X)=2x-l=Z]

7.(分類討論思想在概率問題中的應(yīng)用)甲，乙兩隊(duì)各有3名隊(duì)員，投籃比賽時(shí)，每個(gè)隊(duì)

員各投一次，命中率均為工，(1)設(shè)前n(n=1,2,3,4,5,6)個(gè)人日勺進(jìn)球總數(shù)與n

2

之比為an,求滿足條件或=一，且aW—(n=l,2,3,4,5)里)概率；

22

(2)設(shè)甲，乙兩隊(duì)進(jìn)球數(shù)分別為i,j(i,je{0,1,2,3}),記9|i-jl,求隨機(jī)變量自

的分布列和數(shù)學(xué)期望

(1)a6=-,即6個(gè)人投籃進(jìn)了3個(gè)球，又a<-(n=l,2,3,4,5),則有兩種狀

22n

況：

第一，第1人投籃沒投進(jìn)，第2人投籃投進(jìn)了，第3人投籃沒投進(jìn)，第4、5人總共投進(jìn)

了1個(gè)球，第6人投籃投進(jìn)了，其概率為P尸"(1)21=—；

222'2232

第二，第1人投籃沒投進(jìn)，第2人投籃沒投進(jìn)，第3、4、5人總共投進(jìn)了2個(gè)球，第6人

投籃投進(jìn)了，其概率為P2=“C；從而，所求概率為P=P|+P2=』

22226464

(2)P(片0)表達(dá)兩隊(duì)進(jìn)球數(shù)相似，即有

(L3C；

P(&=0)=(-)3(-)3+C^(-)3C；(-)3+c;3

222223

33

P(&=1)=2[(-)C；(-)+C；(L)3c；(1)3+C2(1)3(1)3=15

2223232232

P(&=2)=2[(-)3C^(-)3+C；(-)3(-)3=—

2322216

P(&=3)=2[(-)3(-)3]=—

2232

E2=0x—+lx—+2x—+3x—=15

1632163216

8.（2023安徽理科高考題）（化歸轉(zhuǎn)化突破重難點(diǎn)）

工作人員需進(jìn)入核電站完畢某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一種人進(jìn)去，且

每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過10分鐘，假如有一種人10分鐘內(nèi)不能完畢任務(wù)則撤

出，再派下一種人。目前一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完畢任務(wù)的概率

分別〃1，〃2，〃3,假設(shè)/不〃2,〃3互不相等，且假定各人能否完畢任務(wù)日勺事件互相獨(dú)立.

（I）假如按甲最先，乙次之，丙最終的次序派人，求任務(wù)能被完畢的概率。若變化三

個(gè)人被派出日勺先后次序，任務(wù)能被完畢的概率與否發(fā)生變化？

（II）若按某指定次序派人，這三個(gè)人各自能完畢任務(wù)日勺概率依次為0,%,%,其中

%，%，%是〃1，〃2，〃3日勺一種排列，求所需派出人員數(shù)目X日勺分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）

EX；

（III）假定1>月〉〃2>〃3,試分析以怎樣的先后次序派出人員，可使所需派出的人員

數(shù)目的均值（數(shù)字期望）到達(dá)最小

（本小題滿分13分）本題考察互相獨(dú)立事件日勺概率計(jì)算，考察離散型隨機(jī)變量及其分布

列、均值等基本知識(shí)，考察在復(fù)雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、合情推理

與演繹推理，分類讀者論論思想，應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí).

解：（I）無論以怎樣的次序派出人員，任務(wù)不能被完畢的概率都是

U-〃1）（1-〃2）（1一〃3），因此任務(wù)能被完畢日勺概率與三個(gè)被派出日勺先后次序無關(guān)，并等

于1-（1-〃。（1-〃2）（13）=乃+〃2+〃3-〃-〃2〃3-+P\P2P3。

（II）當(dāng)依次派出日勺三個(gè)人各自完畢任務(wù)的概率分別為4國2，%時(shí)，隨機(jī)變量X日勺分布

列為

X123

P%(1-1)%(1一%)(1-%)

所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）EX是

￡X=q、+2（1—/）%+3（1-%）（1—％）=3-2%—%+4%?

（III）（措施一）由（II）的結(jié)論知，當(dāng)以甲最先、乙次之、丙最終的次序派人時(shí),

EX=3-2p]-p2+p]p2.

根據(jù)常理，優(yōu)先派出完畢任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值.

下面證明：對(duì)于〃1,〃2，〃3的任意排列名，夕2，%，均有

3—2%-q2+c/}c/2>3-2p]-p?+P\P〉................（*）

實(shí)際上，A=(3-2%-%+5%)-(3-2〃]一〃2+Pi〃2)

=2（P]-，|）+（〃2一％）一〃1，2+%%

=2（〃|—%）+（/%-%）-（〃|一名）〃2-劣（〃2一%）

=（2—〃2）（P]-4）+（1—/）（（〃2-%）

"一%）[（〃]+/）-（/+矽）1

＞0.

即（*）成立.

（措施二）（i）可將（II）中所求的EX改寫為3-（/+%）+%%—%，若互換前

兩人的派出次序，則變?yōu)?—（%+%）+4%—%,.由此可見，當(dāng)%＞小時(shí)，互換前兩

人的I派出次序可減小均值.

（ii）也可將（II）中所求日勺KX改寫為3—2%-%十%%,或互換后兩人日勺派出次

序，則變?yōu)?-2%—%+5%.由此可見，若保持第一種派出日勺人選不變，當(dāng)%＞生

時(shí)，互換后兩人的派出次序也可減小均值.

綜合（i）（ii）可知，當(dāng)⑷國2，%）=（Pl，〃2，P3）時(shí)，EX到達(dá)最小.即完畢任務(wù)概

率大的人優(yōu)先派出，可減小所需派出人員數(shù)目的均值，這一結(jié)論是合乎常理的.

9.在一次電視節(jié)目的搶答中，題型為判斷題，只有“對(duì)”和“錯(cuò)”兩種成果，其中某明星判斷

對(duì)日勺的概率為〃，判斷錯(cuò)誤的概率為“，若判斷對(duì)的則加1分，判斷錯(cuò)誤則減1分，現(xiàn)

記“該明星答完〃題后總得分為SJ.

（1）當(dāng)p=9=g時(shí)，記g=|S3l,求J的分布列及數(shù)學(xué)期望及方差；

12

（2）當(dāng)"=回,4=1時(shí),求Sg=2且凡20?=1,2,3,4）的概率.

(1)?.苫=|§3|日勺取值為1,3,又〃="=；;

故=1)=2C；(g).4)2=1,PC=3)=(g)3+(I)3=1.

gi3

因此自的分布列為：3j—

p——

44

313

且=1X-+3XA=2.--------------------

442

(2)當(dāng)S8=2時(shí)，即答完8題后，回答對(duì)的日勺題數(shù)為5題，回答錯(cuò)誤日勺題數(shù)是3迤，

又已知SjNO(i=123,4),若第一題和第二題回答對(duì)的，則其他6題可任意答對(duì)3

題；若第一題和第二題回答錯(cuò)誤，第三題回答對(duì)妁，則后5題可任意答對(duì)3題.

30x88080.

此時(shí)的概率為P=(屐+以).(g)5.(|)3—「二丁(z或r----).

38372187

10.(2023年南通通州區(qū)查漏補(bǔ)缺專題)一位環(huán)境保護(hù)人士種植了〃棵樹，已知每棵樹與

否成

活互不影響，成活率均為設(shè)自表達(dá)他所種植的樹中成活的棵數(shù)，J的數(shù)學(xué)

期

望為E4,方差為

(1)若〃=1,求日勺最大值；

(2)已知烤=3,原則差喈=告，求〃，〃日勺值并寫出看的分布列.

解：(1)當(dāng)〃=1,4=0,1,于是J的分布列為：

401

Pl-pp

EJ=0x(I-/?)+1xp-p.

??.”=(°一〃廣(1一刀+(1—〃產(chǎn)〃=〃一/二一(〃一；)2+；

即當(dāng)〃=g時(shí)，有最大值:.

(2)V(?B(〃,p),E4=np,D4=np(l-p)

np=3,npQ—p)==,；?〃=：,〃=4

??.P(i=CR"/F=。，*2,3,4),

即J的分布列為:

401234

i3272781

P

2566412864256

2

11.甲乙兩個(gè)同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，已知他們每一次投籃投中的概率均為;，且各次

投籃的成果互不影響.曰同學(xué)決定投5次，乙同學(xué)決定投中1次就停止，否則就繼續(xù)

投下去，但投籃次數(shù)不超過5次.

(1)求甲同學(xué)至少有4次投中日勺概率；

(2)求乙同學(xué)投籃次數(shù)x日勺分布列和數(shù)學(xué)期望.

解：(1)設(shè)甲同學(xué)在5次投籃中，有x次投中，”至少有4次投中”的概率為P,則

p=p(x=4)+P(x=5)

=喈4(1管+G身。-|)。嗤.

(2)由題意％=1,2,3,4,5.

122

P(x=l)=j,P(x=2)=-x-=-,

339

X日勺分布表為

X12345

P22221

39278?8?

g興“小乜口亡日l12c2r2.2.1121

x的數(shù)學(xué)期望Er=lx—+2x—+3x—+4x-+5x一=——.

3927818181

12.由數(shù)字1,2,3,4構(gòu)成五位數(shù)卬。243a4牝，從中任取一種

（1）求取出的五位數(shù)滿足“對(duì)任意的正整數(shù)；（1<；<5）,至少存在另一種正整數(shù)

k（\<k<5,k^j）,使得巴的概率；（變式：假如四個(gè)數(shù)字分別是0/23

呢？）

（2）記彳為構(gòu)成五位數(shù)的相似數(shù)字的個(gè)數(shù)日勺最大值，求g得分布列和數(shù)學(xué)期望

WI卜中=苗

曲彳切斯年入九”?

r尸產(chǎn)凈：氏.

噸鏟卷.

13.（2023年南通學(xué)科基地密卷5）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,約定每局勝者得1分,

負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方對(duì)2分或打滿6局時(shí)停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概

2I

率為一，乙在每局中獲勝的概率為-，且每局勝敗互相獨(dú)立。

33

（1）求比賽進(jìn)行兩局恰好停止的概率；

（2）設(shè)J為比賽停止時(shí)已打的局?jǐn)?shù)，求J日勺概率分布及數(shù)學(xué)期望E&）.

（和南通四模的附加題措施一致）

（運(yùn)用化歸思緒研究第2問）

14.如圖，一種小球從M處投入，通過管道自上而下落月或3或C已知小球從每個(gè)叉口

落入左右兩個(gè)管道的也許性是相等日勺.某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷活動(dòng)，若投入日勺小

球

落到4B、C,則分別設(shè)為1、2、3等獎(jiǎng).

（1）已知獲得L2,3等獎(jiǎng)的折扣率分別為50%,70%,90%.記隨機(jī)變量J為獲得

■1,2,3）等獎(jiǎng)的折扣率，求隨機(jī)變量&的分布列及期望E@；

（2）若有3人次（投入1球?yàn)?人次）參與促銷活動(dòng)，記隨機(jī)變量〃為獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)

的人次，求人（〃=2）.

3

尸…工

3

P(&=0.7)=-

1701

(1)(2)尸(77=2)=

74096

P化=0.9)=—

16

EC)=7

4

15.（2023年南通四模數(shù)學(xué)試題）甲乙兩人進(jìn)行一場不超過10局的比賽.規(guī)定：每一局

比賽均分出勝敗，且勝者得1分，負(fù)者得0分；每人得分按累加計(jì)分；比賽中一人的得

分比另一人高出2分則贏得比賽，比賽結(jié)束，否則10局后結(jié)束比賽；各局比賽日勺成果是

互相獨(dú)立的.已知每局比賽甲獲勝的概率為比賽經(jīng)4局結(jié)束.

(1)當(dāng)〃=應(yīng)時(shí)，求概率P(Q4)；

(2)求J的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E?.

(1)4=4表達(dá)4局后比賽結(jié)束，即第1,2兩局甲乙各勝一局，第3,4兩局甲連勝或乙

22

連勝.因此當(dāng)時(shí)，P(^=4)=2p(l-p)rp4-(l-p)]=2x|xlxf|-i-i)=^.

JU」JJ\77/O1

(2)用P(J=k)表達(dá)我局后比賽結(jié)束的概率.

若〃為奇數(shù)，則甲乙得分之差亦為奇數(shù)，因此4必為偶數(shù).

考慮持續(xù)兩局比賽成果：(記q=]-〃)

(i)甲連勝或乙連勝兩局(稱為有勝敗的兩局)，則此成果發(fā)生的概率為/+才；

(ii)甲乙各勝一局(稱為無勝敗的兩局)，有兩種狀況，則此成果發(fā)生的概率為2Pq.

由經(jīng)攵局比賽結(jié)束知，第1,2兩局；第3,4兩局；…；第k—3,k-2兩局均未分勝

敗.

若厚10,則第一1,A兩局為有勝敗的兩局，從而有*。=%)=(2〃4，〃2+0.

若％=10,比賽必須結(jié)束，因此尸《=10)=(2pq)4.

則外勺分布列為

q246810

pp?+q22Pq(p2+<72)4P242s2+/)8p3q3。2+夕2)16“％4

j日勺數(shù)學(xué)期望為

22

E?=2(p2+/)+8pq(p2+/+24〃2爐52+^)+64pV(p+^)+160pV

=2(p2+q1)(l+4p^+12p2q24-32p3q3)+160p4q4,其中q=\-p.

16.盒中共有9個(gè)球，其中有4個(gè)紅球，3個(gè)黃球和2個(gè)綠球，這些球除顏色外完全相

似.

(1)從盒中一次隨機(jī)抽出2個(gè)球，求取出日勺2個(gè)球顏色相似的概率P；

(2)從盒中一次隨機(jī)抽出4個(gè)球，其中紅球、黃球、綠球日勺個(gè)數(shù)分別為片，X2,X3,隨

機(jī)變量X表達(dá)汨，為，冷日勺最大數(shù)，求X日勺概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X).

解：(I)取到的2個(gè)顏色相同的球可能是2個(gè)紅球、2個(gè)黃球或2個(gè)綠球,

所以。二生上鐵回二"薩」5

百

(2)隨機(jī)變量X所有可能的取值為2,3,4.

24｝表示的隨機(jī)事件是“取到的4個(gè)球是4個(gè)紅球"，故壬=出

a二3|表示的隨機(jī)少件是“取到的4個(gè)球是3個(gè)紅球和1個(gè)其他顏色的球，或3個(gè)

黃球利1個(gè)其他顏色的球"，故//=3)=筌，4一.二畔尹=(

于"X：2)…p0=3).P(X=4)d手出與

所以隨機(jī)變量x的概率分布如卜.表：

X234

1113