階段綜合檢測卷(四)數(shù)列1．解析：由題意得a2＋a5＋a8＝15，所以a5＝5，所以S9＝9a1+a答案：C2．解析：∵8a2＋a5＝0，則a5a2＝q3又∵a2<a5，即－2a1<16a1，則a1>0且|a1|＝1，∴a1＝1.則a5＝16a1＝16.答案：A3．解析：∵a1+2d+a1+6d＝6，a1+11d＝17，∴a1答案：C4．解析：因為公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝c＋2·qn①，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝c＋2·q，當(dāng)n≥2時，Sn－1＝c＋2·qn-1②，①－②得an＝2·qn－2·qn-1＝(2q－2)·qn-1，所以a1＝2q－2＝c＋2q，則c＝－2，又S3＝14，所以S3＝－2＋2·q3＝14，解得q＝2，所以an＝2n，則a4＝24＝16.答案：C5．解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，則S8?S又S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)＋a1q3＋a2q3＋a3q3，所以S6＝S3(1＋q3)＝3×(1－8)＝－21.答案：C6．解析：設(shè)駑馬、良馬第n天分別行an、bn里，則數(shù)列{an}是以100為首項，以－2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是以155為首項，以12為公差的等差數(shù)列，由題意可得100n＋nn?1·?22+155n+整理可得n2＋50n－400≥0，解得n≤－25－541(舍)或n≥541－25，而7<541－25<8，故n的最小整數(shù)值為8.答案：D7．解析：由an＝n2?12，n為奇數(shù)，答案：B8．解析：第1次操作，去掉的線段長度為13；第2次操作，去掉的線段長度為29；第3次操作，去掉的線段長度為427，依次類推，可知第n次操作去掉的線段長度為∴第n次后，去掉的線段長度總和為131?23由1－23n>99100得23n<1100，∴n的最小值為12.答案：D9．解析：由題意得an+1n+1＝2·ann，故{ann}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，ann＝2Sn＝21＋2·22＋…＋n·2n，2Sn＝22＋2·23＋…＋n·2n+1，兩式相減得：Sn＝n·2n+1－(2＋22＋…＋2n)＝(n－1)·2n+1＋2，故D錯誤．答案：BC10．解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，S10＝S20，10a1＋45d＝20a1＋190d，a1＋292所以a1＋14d＝a15>0，a1＋15d＝a16<0，C選項正確．所以Sn的最大值是S15，B選項正確．由于n≥16時，an<0，{an}是單調(diào)遞減數(shù)列，所以當(dāng)Sn<0時，n沒有最大值，D選項錯誤．答案：BC11．解析：A選項，當(dāng)n＝1時，(a1－1)2＝4(100－a1)，又a1>0，解得a1＝19，當(dāng)n≥2時，(an－1)2＝4(100－Sn)①，(an－1－1)2＝4(100－Sn－1)②，①－②得，(an－1)2－(an－1－1)2＝4(100－Sn)－4(100－Sn－1)，即an2+2an?an?12＋2an－1因為a1>0，a2>0，所以an＋an－1＝0不能對任意的n≥2恒成立，故an－an－1＋2＝0，所以an－an－1＝－2，故{an}為等差數(shù)列，公差為－2，首項為a1＝19，所以通項公式為an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，A正確；B選項，Sn＝na1+故Snn＝－n＋20，則當(dāng)n≥2時，故Snn為等差數(shù)列，C選項，Sn＝－n2＋20n＝－(n－10)2＋100，故當(dāng)n＝10時，Sn取得最大值，C錯誤；D選項，令an>0得1≤n≤10，令an<0得n≥11，則當(dāng)n∈[1，8]時，bn＝anan＋1an＋2>0，當(dāng)n＝9時，b9<0，當(dāng)n＝10時，b10>0，當(dāng)n≥11時，bn<0，又b9＝a9a10a11＝3×1×(－1)＝－3，b10＝a10a11a12＝1×(－1)×(－3)＝3，則當(dāng)n＝8或n＝10時數(shù)列{bn}的前n項和取最大值，D正確．答案：ABD12．解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，依題意得S4＝4a1+4答案：713．解析：易得數(shù)列{an}逐項遞減，{bn}逐項遞增，故可考慮a1>b1，a2>b2，a3>b3，an≤bn(n≥4，n∈N*)，此時只需a3>b3，a4故符合題意的b1的一個取值為－1(答案不唯一)．答案：－1(答案不唯一)14．解析：由題知，修復(fù)被污染水土的單位費用隨排放量的增加而成倍遞增，故設(shè)該廠第n年的排放量為an個單位，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差為1，首項為1，設(shè)該廠第n年的修復(fù)費用為bn萬元，則數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為2，首項為2，所以an＝n，bn＝2n.設(shè)第n年時，該廠修復(fù)被污染水土的總費用為cn，則cn＝an·bn＝n·2n，所以4年后，該廠修復(fù)被污染水土的總費用為1×2＋2×22＋3×23＋4×24＝2＋8＋24＋64＝98萬元，n年后，該廠修復(fù)被污染水土的總費用為{cn}的前n項和，令為Sn，則Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)2n-1＋n·2n，2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)2n＋n·2n+1，所以－Sn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n+1＝21?2n1?2－n·2n+1＝2n+1－2－n·2所以Sn＝(n－1)·2n+1＋2.答案：98(n－1)·2n+1＋215．解：(1)當(dāng)n＝2時，3S1＝S2－1＝a1＋a2－1，a1＝1，∴a2＝3，當(dāng)n≥3時，3Sn－2＝Sn－1－1，3Sn－1＝Sn－1，∴an＝3an－1，又a2＝3a1，∴anan?1∴數(shù)列{an}為首項為1，公比為3的等比數(shù)列，∴an＝3n-1.(2)由bn＝log3an及an＝3n-1可得bn＝n?12∴Tn＝(30＋31＋32＋…＋3n-1)＋0+12+16．解：(1)當(dāng)n≥2，1a1a2+11a1a2+1①－②可得1anan+1＝naa1nn?1＝ann?1?an+1n當(dāng)n≥3時，an應(yīng)用累加法可得：ann?1＝a＝－a11?1an當(dāng)n≥3時，∵a2＝2a1，∴ann?1＝a1+a1n?1∵a1＝1，∴an＝n，且∵a2＝2a1＝2，a1＝1，∴an＝n.(2)由(1)∵an＝na1，∴Sn＝nn+1∴1S1S1+1S2+…+1Sn＝2若1S1+1∴a1<0或a1≥1.17．解：(1)由Sn+Sn+1+3an+1＝2，得an＋1≠0，且Sn所以當(dāng)n≥2時，Sn－1＋Sn＝2an－3，(ⅱ)(ⅰ)－(ⅱ)，得an＋1＋an＝2an＋1－2an，所以an+1an當(dāng)n＝1時，S1＋S2＝2a2－3，即a1＋a1＋a2＝2a2－3，又a1＝3，所以a2＝9，所以a2所以數(shù)列{an}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以an＝3×3n-1＝3n.(2)若選①：bn＝nan＝n·3n，則Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，所以3Tn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n+1，所以－2Tn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n+1＝31?3n1?3－n·3n+1＝12所以Tn＝12n?14·3若選②：bn＝2n+3n則Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝13?12·32＋12·若選③：因為an＝3n，所以bn＝(－1)n-1anan＋1＝(－1)n-13n·3n+1＝(－1)n-132n+1＝27×(－9)n-1，所以數(shù)列{bn}是以27為首項，－9為公比的等比數(shù)列，所以Tn＝271?18．解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d>0，由題意可得：3+3d＝3q，12+6d＝6+d所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝3×3n-1＝3n.(2)由(1)可得Sn＝n3+2n+12＝n當(dāng)n為奇數(shù)時，則cn＝anbn＝(2n＋1)·3n，設(shè)An＝c1＋c3＋…＋cn＝3×3＋7×33＋…＋(2n＋1)·3n，則9An＝3×33＋7×35＋…＋(2n＋1)·3n+2，兩式相減得－8An＝9＋4×33＋4×35＋…＋4×3n－(2n＋1)·3n+2＝9+108×1?9n?1所以An＝4n+1·當(dāng)n為偶數(shù)時，則cn＝an?1設(shè)Bn＝c2＋c4＋…＋cn＝1834所以Bn＝18綜上所述：cn＝2n+1當(dāng)n為奇數(shù)時，則Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(c1＋c3＋…＋cn)＋(c2＋c4＋…＋cn－1)＝An＋Bn－1＝4n+1·當(dāng)n為偶數(shù)時，則Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(c1＋c3＋…＋cn－1)＋(c2＋c4＋…＋cn)＝An－1＋Bn＝4n?3·綜上所述：Tn＝4n+119．解：(1)由an+12?an2＝2an＋2an＋1，得(an＋1－an)(an＋1＋a∵an＋1＋an>0，an＋1－an＝2，∴{an}是首項a1＝1，公差為2的等差數(shù)列，∴an＝2n－1.又當(dāng)n＝1時，2S1＋1＝3b1，得b1＝1，當(dāng)n≥2，2Sn＋1＝3bn①，2Sn－1＋1＝3bn－1②，由①－②整理得：bn＝3bn－1，∵b1＝