課下鞏固精練卷(二十六)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1．(2024·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x＋2x＋2a(a∈R)．(1)若f(x)在x＝1處取得極小值，求a的值；(2)若0<a<e4，求證：f(x)<x＋e解：(1)函數(shù)f(x)＝alnx＋x＋2x＋2a的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝a由f′(1)＝a－1＝0，得a＝1，經(jīng)檢驗(yàn)，a＝1滿足題意．(2)證明：要證明f(x)<x＋ex即證x＋alnx＋2x＋2a<x＋e即證a(lnx＋2)<ex即證alnx+2令g(x)＝exx2，其中x>0，則g′(x)當(dāng)0<x<2時(shí)，g′(x)<0，此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時(shí)，g′(x)>0，此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增．所以g(x)min＝g(2)＝e2令h(x)＝alnx+2x，其中0<a<則h′(x)＝－aln當(dāng)0<x<1e時(shí)，h′(x)>0，此時(shí)函數(shù)h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1e時(shí)，h′(x)<0，此時(shí)函數(shù)h(所以h(x)max＝h1e＝ae<e則h(x)max<g(x)min，所以alnx+2故原不等式得證．2．(2024·涼山模擬)已知函數(shù)f(x)＝mxex＋(x＋1)2(m∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))．(1)若f(x)在x＝0處的切線與直線y＝(2m＋3)x平行，求f(x)的極值；(2)若m＝1e2，求證：f(x)≥lnx＋x2＋3解：(1)f′(x)＝ex(mx＋m)＋2(x＋1)，則f′(0)＝m＋2，∵x＝0處的切線與y＝(2m＋3)x平行，∴f′(0)＝2m＋3，即2＋m＝2m＋3，即m＝－1.∴f′(x)＝－ex(x＋1)＋2(x＋1)＝(x＋1)(2－ex)．由f′(x)>0得－1<x<ln2，由f′(x)<0得x<－1或x>ln2，∴f(x)在(－∞，－1)，(ln2，＋∞)單調(diào)遞減，在(－1，ln2)單調(diào)遞增，∴f(x)在x＝－1處取得極小值f(－1)＝1e，在x＝ln2處取得極大值f(ln2)＝ln22＋(2)證明：設(shè)g(x)＝f(x)－lnx－x2－3x＝1e2xex－lnx－x＋1＝1e2xex－ln(xex)設(shè)t＝xex(t>0)，設(shè)h(t)＝te2－lnt＋1，h′(t)＝由h′(t)>0，得t>e2，由h′(t)<0，得0<t<e2，∴h(t)在(0，e2)單調(diào)遞減，在(e2，＋∞)單調(diào)遞增，∴h(t)≥h(e2)＝e2e2－2＋∴g(x)≥0，∴f(x)－lnx－x2－3x≥0，∴f(x)≥lnx＋x2＋3x成立．3．(2018·全國卷)已知函數(shù)f(x)＝1x－x＋alnx(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：fx1?f解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝?1(ⅰ)若a≤2，則f′(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2，x＝1時(shí)f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減．(ⅱ)若a>2，令f′(x)＝0，得x＝a?a2?42或當(dāng)x∈0，a?a2?42∪(當(dāng)x∈a?a2?42，a+所以f(x)在0，在a?a(2)由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨設(shè)x1<x2，則x2>1.由于fx所以fx1?fx2x設(shè)函數(shù)g(x)＝1x－x＋2lnx，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減，又g(1)＝0，從而當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)<0，所以1x2?x24．(2024·中衛(wèi)模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋x2－ax(a∈R)．(1)當(dāng)a＝3時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1∈(1，＋∞)，求證：f(x1)－f(x2)<－34＋ln解：(1)f′(x)＝1x+2x?a＝2當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝2x令f′(x)＝0，得x＝12或x＝當(dāng)0<x<12或x>1時(shí)，f′(x當(dāng)12<x<1時(shí)，f′(x所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，12和(1，＋∞(2)證明：由于f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則2x2－ax＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以x1＋x2＝a2即2(x1＋x2)＝a，x2＝12則f(x1)－f(x2)＝lnx1＋x12－ax1－lnx2－x2＝lnx1－lnx2＋x12?x22－a(＝lnx1－ln12x1+x12?x22－2(x＝2ln