高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市通州區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知向量，，則（）A.2 B.4 C.6 D.9【答案】A【解析】由，，所以.故選：A.2.如圖，在平行四邊形中，連結(jié)，下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由向量加法的三角形法則得，，故A錯(cuò)誤；由向量加法的平行四邊形法則得，，故B正確；由向量的減法法則得，，，故CD錯(cuò)誤.故選：B3.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由，則，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限.故選：C.4.將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次共有個(gè)基本事件，點(diǎn)數(shù)和大于8的事件有，共10個(gè)，所以出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率為.故選：B.5.在中，角的對(duì)邊分別是，，，已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中利用余弦定理得，.故選：C6.已知平面向量，，則“或”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若或，則，反過(guò)來(lái)，若，兩個(gè)向量的方向不確定，不能推出或，所以“或”是“”的充分不必要條件.故選：A7.已知平面向量，是不共線的兩個(gè)向量，，，，則（）A.三點(diǎn)共線 B.三點(diǎn)共線C.三點(diǎn)共線 D.三點(diǎn)共線【答案】D【解析】由題意，，，，不存在唯一的實(shí)數(shù)使得，所以，，三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤，由于，所以，則，，三點(diǎn)共線，故D正確.由于，不存在唯一的實(shí)數(shù)使得，不存在唯一的實(shí)數(shù)使得，故BC錯(cuò)誤，故選：D.8.一個(gè)盒子里裝有除顏色外完全相同的四個(gè)小球，其中黑球有兩個(gè)，編號(hào)為1、2；紅球有兩個(gè)，編號(hào)為3，4．從盒中不放回的依次取出兩個(gè)球，表示事件“第一次取出的是紅球”，表示事件“取出的兩球同色”，表示事件“取出的兩球不同色”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.與互斥 B.與互斥 C. D.【答案】D【解析】由題意，事件包含，事件包含，事件包含，顯然，與不互斥，與不互斥，故AB錯(cuò)誤，總事件的情況為，，共12種情況，其中包含，，共8種情況，故，故C錯(cuò)誤，事件包含，共6種情況，則包含事件，共4種情況，故，故D正確.故選：D.9.在中，角的對(duì)邊分別是，，，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）①若，則一定為等腰三角形②若，則一定為銳角三角形③若，，則面積的最大值為A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】①由，根據(jù)正弦定理得，則，所以或，則或，所以為等腰三角形或直角三角形，故①錯(cuò)誤；②由，則，所以為銳角，此時(shí)不一定為銳角三角形，故②錯(cuò)誤；③由余弦定理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，故③正確.故選：B.10.在中，角的對(duì)邊分別是，已知，，則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，，整理得，即，顯然為銳角，即，由正弦定理得，又，則面積，當(dāng)且僅當(dāng)，所以，即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.故選：D.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.在中，角的對(duì)邊分別是，，，已知，，，則________．【答案】【解析】在中，由正弦定理可得，又，，，所以，解得.故答案為：.12.已知復(fù)數(shù)，，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)________．【答案】【解析】，由題意得，解得，此時(shí)，滿足要求.故答案為：13.為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情懷，某學(xué)校開展共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙兩名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問(wèn)題，每名同學(xué)回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、乙兩人都回答正確的概率是．若甲、乙同學(xué)都回答這個(gè)問(wèn)題，則乙回答正確的概率為________；甲、乙兩名同學(xué)中至少有1名同學(xué)回答正確的概率為________．【答案】；【解析】設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，由題意，，，則；甲、乙兩名同學(xué)中至少有1名同學(xué)回答正確的概率為.故答案為：；.14.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．若，，則向量在上的投影向量的模為________；設(shè)，，若，則________．【答案】4；【解析】由題意，設(shè)，則，，由，則，解得，因?yàn)?，所以向量在上的投影向量即為在上的投影向量，即為，則在上的投影向量的模為；由，則，所以，則.故答案為：4；.15.在銳角中，，，且，若點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②的面積為3；③的最小值為；④若，則的值為或．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】②③④【解析】在銳角中，由，得，而，解得，又是銳角，則，由余弦定理得，即，解得或，顯然是的最大角，當(dāng)時(shí)，，是鈍角，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，是銳角，符合題意，，①錯(cuò)誤；，②正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，③正確；由，得，則，即，因此或，④正確，所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③④.故答案為：②③④三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.在中，所對(duì)的邊分別為，，，已知，．（1）若，求及的面積；（2）若，求．解：（1）因?yàn)椋?，所以，由余弦定理可得，所以，所以，所以的面積為；（2）由，可得，又因?yàn)椋?，所以，又，所以?17.已知平面向量，，其中，，且與的夾角為．（1）求的值；（2）求的值；（3）若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)．解：（1）由，，且與的夾角為，得，所以.（2）.（3）由向量與互相垂直，得，解得，所以的值有2個(gè).18.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，甲、乙射擊中靶與否互不影響．甲、乙每次射擊中靶與否也互不影響．（1）甲、乙各射擊1次，兩人都脫靶的概率；（2）甲射擊2次恰有1次中靶的概率；（3）甲、乙各射擊2次，記“4次射擊中至少有1次中靶”為事件，記“4次射擊中至多有1次中靶”為事件．判斷與是否相互獨(dú)立．（結(jié)論不要求證明）解：（1）設(shè)甲1次中靶為事件，乙1次中靶為事件，設(shè)甲1次脫靶為事件，乙1次脫靶為事件，兩人都脫靶為事件，且相互獨(dú)立，由題意得，，則甲1次脫靶的概率為，乙1次脫靶的概率為，故兩人都脫靶的概率為.（2）由題意得甲射擊2次恰有1次中靶可以分類如下，第一次中靶，第二次脫靶，第一次脫靶，第二次中靶，而第一次中靶，第二次脫靶的概率為，第一次脫靶，第二次中靶的概率為，由分類加法計(jì)數(shù)原理得恰有1次中靶的概率為.（3）不獨(dú)立，證明如下，由題意得記“4次射擊中至少有1次中靶”為事件，則事件的對(duì)立事件為“4次射擊中全部脫靶”，得到,故,而記“4次射擊中至多有1次中靶”為事件，可分類為4次射擊中全部脫靶，甲1次中靶，乙全部脫靶或甲全部脫靶，乙1次中靶，而4次射擊中全部脫靶的概率為，甲1次中靶，乙全部脫靶的概率為，乙1次中靶，甲全部脫靶的概率為，由分類加法計(jì)數(shù)原理得，而表示4次射擊中恰好1次中靶，可分類如下，為甲1次中靶，乙全部脫靶或甲全部脫靶，乙1次中靶，得到，則，不滿足獨(dú)立事件的定義，故與不獨(dú)立.19.設(shè)復(fù)數(shù)．（1）若，求、的值．（2）若與復(fù)數(shù)是互為共軛復(fù)數(shù)，求；（3）當(dāng)時(shí)，若，求．解：（1）因?yàn)?，故?（2）因?yàn)榕c復(fù)數(shù)是互為共軛復(fù)數(shù)，則，故.（3）因?yàn)?，，則，故，因?yàn)?，故，所?20.在中，角所對(duì)的邊分別為，，，，．（1）再?gòu)南旅娼o出的條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積；條件①：；條件②：；條件③：．（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍．注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）選條件①：，由正弦定理得，即，解得，故無(wú)解，所以不存在；選條件②：，由余弦定理得，則，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

選條件③：，則，由正弦定理得，則，又，所以.（2）由，則，則為鈍角，因?yàn)?，所以，又，則的周長(zhǎng)為，因?yàn)椋?，則，所以，即周長(zhǎng)的取值范圍為．21.如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為2，圓內(nèi)切于正方形，點(diǎn)，為切點(diǎn)，點(diǎn)為劣弧上的一點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，過(guò)作，交于，交圓于，設(shè)為．（1）若，求的值；（2）設(shè)，．①求的最小值；②求的最大值．解：（1）因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為