高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省漳州市乙丙級聯(lián)盟校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號、姓名填寫在答題卡上.考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，，且，則（）A.9 B.8 C.6 D.3【答案】C【解析】由向量，，且，可得，所以.故選：C.2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意可得.故選C.3.把按斜二測畫法得到，如圖所示，其中，，那么是一個（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.三邊互不相等的三角形【答案】A【解析】根據(jù)斜二側(cè)畫法還原在直角坐標(biāo)系的圖形，如下圖所示：由圖得，，故為等邊三角形，故選：A4.已知，，，則與的夾角為（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，，則，即，可得，則，且，所以.故選：A.5.已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】B【解析】對于A，若，則或與相交或與異面，故A錯誤；對于B，若，則在平面內(nèi)存在不同于的直線，使得，則，從而，故，故B正確；對于C，若，則或與相交，故C錯誤；對于D，若，則或，故D錯誤．故選：B．6.已知某圓臺軸截面的周長為10、面積為，圓臺的高為，則該圓臺的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若圓臺上下底面半徑分別為且，則圓臺軸截面腰長為，所以，，即，所以，可得，故，綜上，圓臺的表面積為.故選：C7.在中，已知，則的面積為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因為，及和，所以,解得：，又因為,所以.所以.故選：C.8.已知單位向量，且向量的夾角為，若對任意的恒成立，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.－1【答案】C【解析】由單位向量，且向量的夾角為，得，由，得，即，依題意，對任意的，恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，整理得，所以.故選：C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若向量，則（）A. B.C.在上的投影向量為 D.與的夾角為【答案】BC【解析】由題，所以，故A錯；又，故B正確；，所以在上的投影向量為：，故C正確；因為，又，所以，故D錯誤.故選：BC.10.記，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】A選項，，A正確；B選項，，故，B正確；C選項，，故，C正確；D選項，，，D錯誤.故選：ABC11.已知的重心為，外心為，內(nèi)心為，垂心為，則下列說法正確的是（）A.若是中點，B.若，則C.與不共線D.若，則.【答案】ACD【解析】對于A：因為是中點，所以是邊上的中線，又是的重心，所以，故A正確；對于B：因為為的外心，設(shè)中點為，連接，則所以對于C：因為所以與垂直，又因為，所以與共線，故C錯誤；對于D：因為H為的垂心，則，即，即，則，同理，，所以，設(shè)，因為，所以，即，則，，即，則，，，，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是方程的一個根，則______．【答案】0【解析】由是方程的一個根，得是該方程的另一根，則，，解得，所以.故答案為：013.已知向量，，若，則_______．【答案】4【解析】因為向量，，則，又因為，所以，則則．故答案為：4.14.已知四邊形中，，，則_______.設(shè)與面積分別為，.的最大值為_______.【答案】；【解析】在四邊形ABCD中，，，設(shè)與面積分別為，，則，.在中，利用余弦定理：，即，在中，利用余弦定理：，即，所以，所以；所以.則，當(dāng)，即時，最大值，最大值為，故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在中，，點是的中點，設(shè)，（1）用表示；（2）如果，有什么位置關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論.（1）解：因為，所以，因為是的中點，可得（2）解：.因為，則以，所以.16.已知復(fù)數(shù)，其中是實數(shù).（1）若，求實數(shù)的值；（2）若是純虛數(shù)，求解：（1）復(fù)數(shù)，則，又a是實數(shù)，因此，解得，所以實數(shù)a的值是.（2）復(fù)數(shù)，，則，因為是純虛數(shù)，于是，解得，因此，又，，，，則，，，，，即有，，所以.17.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足.（1）求角的大??；（2）若，求的面積.解：（1）在中，由，則，由余弦定理知：，因為，所以.（2）因為，所以，即，由正弦定理，由，所以，，由，，解得：或，即或，當(dāng)時，，在中，由正弦定理，所以，所以；當(dāng)時，三角形為等邊三角形，，.綜上：當(dāng)時，；當(dāng)時，.18.在銳角中，角所對的邊分別是，若.（1）求；（2）若為_______，線段的延長線交于點，求的最大值或最小值.（從條件①內(nèi)心，，②垂心，③重心，，任選一個作答）解：（1）由正弦定理可得，又，所以，又，所以，即，又，所以；（2）若選條件①：因為為的內(nèi)心，所以，由，得因為，所以，所以，即，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時取面積最小值.若選條件②：因為為的垂心，且，所以，故，即，又，即，所以所以.當(dāng)且僅當(dāng)時取面積最小值.若選條件③：因為為的重心，且，所以，又，故，即，即，所以所以.當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值.19.如圖所示正四棱錐，，，為側(cè)棱上的點，且，求：（1）正四棱錐的表面積；（2）若為的中點，求證：平面；（3）側(cè)棱上是否存在一點，使得平面.若存在，求的值；若不存在，試說明理由.解：（1）在正四棱錐中，，則正四棱錐側(cè)面的高為，所以正四棱錐的表面積為；（2）如圖