高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1甘肅省白銀市靖遠(yuǎn)縣2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.一個志愿者組織有成員45人，40歲以上的成員有25人，如果按照年齡進(jìn)行分層隨機抽樣，要抽取一個容量為18的樣本，則應(yīng)抽取40歲以上成員的人數(shù)為（）A.12 B.10 C.8 D.6【答案】B【解析】因為分層抽樣的抽取比例為，所以應(yīng)抽取40歲以上成員的人數(shù)為．故選：B2.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，則（）A.6 B. C. D.3【答案】A【解析】由正弦定理，得．故選：A3.已知向量滿足，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以在方向上的投影向量為．故選：D4.方程的復(fù)數(shù)根為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方程的復(fù)數(shù)根為．故選：A5.2019－2023年甘肅省地區(qū)生產(chǎn)總值指數(shù)依次為106.2，103.8，106.9，104.4，106.4，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（）A.106.9 B.106.2 C.105.3 D.105.35【答案】C【解析】這組數(shù)據(jù)從小到大為103.8，104.4，106.2，106.4，106.9，因為，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是．故選：C6.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且有兩解，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為有兩解，得，得．故選：B.7.已知為所在平面內(nèi)的一點，為的中點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得．故選：C8.（）A. B. C. D.0【答案】D【解析】．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在某次測量中得到的樣本數(shù)據(jù)為6，7，9，13，13，18，若樣本數(shù)據(jù)恰好是樣本數(shù)據(jù)每個都減2后所得數(shù)據(jù)，則兩個樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是（）A.極差 B.眾數(shù) C.平均數(shù) D.方差【答案】AD【解析】由題意得B樣本數(shù)據(jù)為4，5，7，11，11，16，樣本A的極差為，樣本B的極差為，極差相同，A正確．樣本A的眾數(shù)為13，樣本B的眾數(shù)為11，B錯誤．樣本A的平均數(shù)比樣本B的平均數(shù)大2，C錯誤．樣本A和B中的數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性相同，則樣本A和B的方差相同，D正確．故選：AD10.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.C.的虛部為 D.的共軛復(fù)數(shù)為【答案】AC【解析】由得，A正確，B錯誤．的虛部為，C正確．的共軛復(fù)數(shù)為，D錯誤．故選：AC11.若關(guān)于的方程在上恰有兩個不同的實數(shù)解，則的值可能為（）A.0 B. C. D.2【答案】ABC【解析】設(shè)函數(shù)，則．由，得．由在上恰有兩個不同的實數(shù)解，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，得．故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若向量，且，則______．【答案】【解析】因為向量，且，所以，解得．故答案為：13.已知復(fù)數(shù)滿足，則______，______．【答案】；【解析】由題意得，得．故答案為：；14.如圖，某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時，輪船位于港口北偏西方向且與該港口相距20nmile的處，并以15nmile／h的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以mile的航行速度勻速行駛，經(jīng)過與輪船相遇，則的最小值為______．【答案】2【解析】如圖，假設(shè)小艇與輪船在點相遇，由題意得，，．由余弦定理得，得，解得或4．故的最小值為2．故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)．（1）若為純虛數(shù)，求；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上，求的值．解：（1）由題意得，解得，故；（2）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則，得，解得或．16.某校高一學(xué)生有2000名，為了了解高一學(xué)生的體能情況，該校隨機抽取部分學(xué)生進(jìn)行1分鐘跳繩測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，將得到的數(shù)據(jù)按，分為5組，畫出頻率分布直方圖，如圖所示．（1）求的值；（2）若跳繩次數(shù)不少于115為達(dá)標(biāo)，估計該校全體高一學(xué)生達(dá)標(biāo)的人數(shù)；（3）估計該校全體高一學(xué)生跳繩次數(shù)的平均數(shù).（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）解：（1）由圖可得，得．（2）樣本中的達(dá)標(biāo)率為，則估計該校全體高一學(xué)生達(dá)標(biāo)的人數(shù)為.（3）估計該校全體高一學(xué)生跳繩次數(shù)的平均數(shù)為．17.已知．（1）求的值．（2）已知為第四象限角．①求的值；②求的值．解：（1）由，得，解得或3．（2）①由題意得，且．由得②．18.如圖，已知正方形的邊長為2，為的中點．（1）求；（2）求與夾角的余弦值；（3）若為線段上一點，且，求；（4）若，求外接圓的半徑．解：（1）如圖，以為原點，所在的直線分別為軸，軸建立直角坐標(biāo)系，則．因為，所以．（2）因為，所以與夾角的余弦值為．（3）設(shè)，則，得．因為，所以，得（負(fù)根舍去），故．（4）由，得，則，得．設(shè)外接圓的半徑為，則，得．19.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）