高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)來賓市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期5月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題（8小題，每小題5分共40分）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意得.故選：C.2.已知，則（）A.3 B.5 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，則.故選：C.3.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中由余弦定理.故選：C4.已知向量，滿足，，且，則向量，夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，設(shè)與夾角為，因?yàn)?，，，所?故選：C.5.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則一定是（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等邊三角形 D.等腰或直角三角形【答案】B【解析】由，利用正弦定理，，即，因，則或（不合題意舍去），故一定是等腰三角形.故選：B.6.已知直三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，若，，，，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】可將直三棱柱補(bǔ)成如下圖所示的長方體，則長方體的外接球即為直三棱柱的外接球球的半徑球的體積故選：7.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，，所以故選：C8.如圖，在正方形中，分別為邊的中點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】因?yàn)樵谡叫沃?，分別為邊的中點(diǎn)，所以，所以，所以，故選：C二、多選題（3小題，每小題6分共18分）9.若復(fù)數(shù)，則（）A.B.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限C.D.復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為【答案】BCD【解析】復(fù)數(shù)，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，由，得在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，表示該圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，所以的最大值為，D正確.故選：BCD10.已知向量，，滿足，，，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】BC【解析】選項(xiàng)A：，故A錯(cuò)誤.選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)使得且，得，代入得：，，故選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C：當(dāng)與垂直時(shí)，.，化簡得，即，故項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D：，，投影向量為，與選項(xiàng)中的()不符，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.如圖所示，在長方體中，若，分別是、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A.與垂直B.與所成的角大小為C.與平面所成角大小為D.直線與平面平行【答案】ACD【解析】如圖所示：A.連接，則，由平面，平面，則，所以，故A正確；B.由選項(xiàng)A知：與所成的角為，因?yàn)殚L度不定，所以與所成的角不確定，故錯(cuò)誤；C.易知平面，則平面，所以與平面所成角大小為，故正確；D.由選項(xiàng)A知：，且平面，平面，所以直線與平面平行，故正確，故選：ACD三、填空題（3小題，每小題5分共15分）12.已知水平放置的四邊形按照斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖如圖所示，其中，，則四邊形的面積是_____．【答案】6【解析】如圖，直角梯形即為原圖形，則，所以四邊形的面積.故答案為：6.13.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖，多見于亭閣式建筑、園林建筑.位于河北省邯鄲市的武靈叢臺(tái)的主體建筑——據(jù)勝亭（圖1）就是四角攢尖的代表，它的屋頂部分的輪廓可以近似看作如圖2所示的正四棱錐，其中底面邊長約為6米，頂點(diǎn)到底面的距離約為2米，則據(jù)勝亭屋頂部分的體積約為____立方米.【答案】24【解析】由題可知，據(jù)勝亭屋頂部分的體積約為立方米．故答案為：24.14.如圖，已知點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作直線分別與兩邊交于兩點(diǎn)，設(shè)，則的最小值為______．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)G為重心，可得，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題（5小題，15題13分，16、17題15分，18、19題17分，共77分）15.（1）已知，若與平行，求；（2）已知與的夾角為，若與垂直，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）因?yàn)?，，且與平行，所以，解得，所以，所以．（2）已知與的夾角為，所以，因?yàn)榕c垂直，所以，所以．16.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知向量，，且.（1）求；（2）若的面積為，且，求.解：（1）由題意知，，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，則，即，又，所以.（2）因?yàn)榈拿娣e為，解得，所以，由余弦定理得，所以.17.如圖，在正四棱柱中，，．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求點(diǎn)到平面的距離．解：（1）因?yàn)樗允瞧叫兴倪呅危云矫?，且平面，所以平面；?）因?yàn)槭钦叫危缘?，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面；?）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?，，所以，故點(diǎn)到平面的距離為；18.銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為且.（1）求；（2）求三角形周長的取值范圍；（3）求三角形面積的最大值.解：（1）由正弦定理：，則，所以，根據(jù)得：.（2）由正弦定理：，所以，，注意到，所以，所以，所以，所以周長的取值范圍是.（3）余弦定理：，所以三角形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即為等邊三角形時(shí)，三角形面積取最大值.19.如圖所示，在四棱錐，底面是正方形，與交于點(diǎn)，平面，為的中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值；（3）是線段上一點(diǎn)，且滿足，是否存在實(shí)數(shù)使平面？若存在求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）連接．由是正方形可知，點(diǎn)為中點(diǎn)．又為的中點(diǎn)，所以．又面，面，所以平面．（2）證明：由底面，底面