專(zhuān)題18實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：10大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)01列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟

①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系

②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為x）

③找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個(gè)相等關(guān)系

④列：根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程

⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值

⑥答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫(xiě)出答案（包括單位名稱(chēng)）

知識(shí)點(diǎn)02用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型

1.行程問(wèn)題：路程＝速度×?xí)r間

2.順?biāo)嫠畣?wèn)題：順?biāo)俣?船速+水速；逆水速度=船速-水速

3.和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率

4.利潤(rùn)問(wèn)題：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)

5.工程問(wèn)題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量

6.銀行存貸款問(wèn)題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期數(shù)

7.數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法：例如：abcda103b102c10d

【題型1實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之古代問(wèn)題】

例題：（2025·安徽淮北·三模）我國(guó)古代《孫子算經(jīng)》記載了“多人共車(chē)”問(wèn)題：“今有三人共車(chē)，二車(chē)空；

二人共車(chē)，九人步，問(wèn)人與車(chē)各幾何？”其意思是“每3人共乘一輛車(chē)，恰好空余2輛車(chē)；每2人共乘一輛車(chē)，

最終有9人無(wú)車(chē)可乘，問(wèn)人和車(chē)的數(shù)量各是多少？”求人和車(chē)的數(shù)量．

1

【變式訓(xùn)練】

1．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）《孫子算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有三人共車(chē)，二車(chē)空；二人共車(chē)，九

人步．問(wèn)人與車(chē)各幾何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一輛車(chē)，則空余兩輛車(chē)，其余車(chē)恰好坐滿(mǎn)；如

果兩人同乘一輛車(chē)，則所有車(chē)都坐滿(mǎn)后還有九人步行．請(qǐng)問(wèn)共有多少人出行？

2．（24-25七年級(jí)上·四川成都·期末）隔墻聽(tīng)得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半

斤．問(wèn)：人、銀各幾何？(選自《算法統(tǒng)宗》)

題目大意：幾個(gè)人分銀子，若每人分7兩，則剩余4兩；若每人分9兩，則差8兩問(wèn)：有多少個(gè)人？

有多少兩銀子？

(1)設(shè)人數(shù)為x，請(qǐng)求解此題；

(2)設(shè)銀子總數(shù)為y兩，請(qǐng)求解此題．

3．（24-25七年級(jí)上·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）“曹沖稱(chēng)象”的故事取材于《三國(guó)志》，故事中的稱(chēng)象方案是這樣

的：先將象牽到船上，并在船的側(cè)面標(biāo)記水位，再將象牽出，然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船

上留3個(gè)體重相同的士兵，這時(shí)水位恰好在標(biāo)記位置；如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個(gè)士兵，

水位在標(biāo)記位置不變，已知每塊條形石的質(zhì)量都是140千克．設(shè)每個(gè)士兵的體重是x千克．

(1)可列出等量關(guān)系：20塊條形石的質(zhì)量3個(gè)士兵的體重=_______塊條形石的質(zhì)量+_______個(gè)士兵的體重．

(2)求x的值．

(3)象的質(zhì)量是_______千克．

【題型2實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之銷(xiāo)售問(wèn)題】

例題：（2025·安徽蚌埠·三模）某商場(chǎng)采購(gòu)甲、乙兩種籃球，采購(gòu)40個(gè)甲種籃球和30個(gè)乙種籃球共需要5550

元，其中甲、乙兩種籃球的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：

甲種籃球乙種籃球

進(jìn)價(jià)（元/個(gè)）mm25

售價(jià)（元/個(gè)）10075

(1)求上表中m的值；

2

(2)第二次商場(chǎng)采購(gòu)了35個(gè)甲種籃球和45個(gè)乙種籃球，由于兩種籃球進(jìn)價(jià)都比上次優(yōu)惠了20%，商場(chǎng)準(zhǔn)備

對(duì)甲種籃球進(jìn)行打折出售，讓利于顧客，乙種籃球價(jià)格不變，全部售完后總利潤(rùn)為1665元，求甲種籃球

打了幾折．

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期中）今年中國(guó)動(dòng)畫(huà)震撼世界，截至三月底，《哪吒之魔童鬧?！房偲狈砍?/p>

過(guò)一百五十億元．某企業(yè)組織員工去電影院觀看《哪吒之魔童鬧?！?，IMAX電影票比普通2D電影票貴20

元，企業(yè)花費(fèi)3700元購(gòu)買(mǎi)了40張普通2D電影票和50張IMAX電影票．

(1)普通2D電影票和IMAX電影票的單價(jià)各是多少元？

(2)電影院為了吸引企業(yè)觀影，推出優(yōu)惠活動(dòng)：購(gòu)買(mǎi)普通2D電影票超過(guò)30張的部分，每張打八折；購(gòu)買(mǎi)IMAX

電影票超過(guò)20張的部分，每張打九折．該企業(yè)計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)50張普通2D電影票和40張IMAX電影票，那么按

照優(yōu)惠活動(dòng)，該企業(yè)需要支付多少錢(qián)？

2．（24-25七年級(jí)下·重慶萬(wàn)州·階段練習(xí)）為了滿(mǎn)足學(xué)生的物質(zhì)需求，小賣(mài)部準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種綠色袋裝

食品，若購(gòu)買(mǎi)400袋甲和300袋乙共需要6400元，其中甲、乙兩種綠色袋裝食品的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：

(1)甲的進(jìn)價(jià)______元，乙的進(jìn)價(jià)______元；

(2)小賣(mài)部第一次購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種綠色袋裝食品共800袋，全部售完后總利潤(rùn)（利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）為5750元，

求小賣(mài)部甲、乙兩種食品分別購(gòu)進(jìn)多少袋？

(3)小賣(mài)部第二次購(gòu)進(jìn)了與第一次一樣多的甲、乙兩種食品，由于兩種食品進(jìn)價(jià)比第一次優(yōu)惠10%，小賣(mài)部

準(zhǔn)備對(duì)甲種袋裝食品進(jìn)行打折出售，讓利于學(xué)生，乙種袋裝食品價(jià)格不變，全部售完后總利潤(rùn)比上次還多10

元，求甲商品打了幾折？

甲乙

進(jìn)價(jià)（元/袋）mm2

售價(jià)（元/袋）2013

3．（24-25七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）水果批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)豐水梨的價(jià)格如表：

購(gòu)買(mǎi)豐水梨（千克）單價(jià)

不超過(guò)10千克的部分9元/千克

超過(guò)10千克但不超過(guò)20千克的部分8元/千克

超過(guò)20千克的部分6元/千克

(1)若陳阿姨第一次購(gòu)買(mǎi)豐水梨5千克,需要付費(fèi)______元；第二次購(gòu)買(mǎi)豐水梨15千克，需要付費(fèi)______元；

第三次購(gòu)買(mǎi)豐水梨x千克，（x超過(guò)20千克），需要付費(fèi)______元（化簡(jiǎn)結(jié)果用含x的式子表示）．

(2)若陳阿姨購(gòu)買(mǎi)豐水梨花了200元，求她買(mǎi)了多少千克的豐水梨？

3

(3)若陳阿姨分兩次共購(gòu)買(mǎi)50千克的豐水梨，且第一次購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量為a千克（0a20），請(qǐng)問(wèn)她這兩次購(gòu)

買(mǎi)豐水梨共需要付多少元？（化簡(jiǎn)結(jié)果用含a的式子表示）

【題型3實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之方案問(wèn)題】

例題：（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）王大伯家去年收獲了24噸蘋(píng)果，這些蘋(píng)果均達(dá)到了一、二級(jí)質(zhì)量

標(biāo)準(zhǔn)，其中達(dá)到一級(jí)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的蘋(píng)果質(zhì)量是達(dá)到二級(jí)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)蘋(píng)果的60%．

方案一：如果分等級(jí)出售，那么一級(jí)蘋(píng)果每噸售價(jià)0.72萬(wàn)元，二級(jí)蘋(píng)果每噸售價(jià)0.48萬(wàn)元．

方案二：如果不分等級(jí)出售，那么所有蘋(píng)果每噸售價(jià)0.54萬(wàn)元．

請(qǐng)你算一算，按哪種方案出售比較合算．

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25六年級(jí)下·山東威?！て谥校拔逡弧逼陂g，甲、乙兩個(gè)商場(chǎng)以同樣價(jià)格出售相同的商品，并且各自

推出不同的優(yōu)惠方案：在甲商場(chǎng)累計(jì)購(gòu)物超過(guò)250元后，超出部分打八五折；在乙商場(chǎng)累計(jì)購(gòu)物超過(guò)100

元后，超出部分打九五折．

(1)購(gòu)買(mǎi)多少元商品時(shí)（大于250元），兩個(gè)商場(chǎng)的實(shí)際花費(fèi)相同？

(2)張阿姨要選定一個(gè)商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)500元的商品，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明她選哪個(gè)商場(chǎng)購(gòu)物實(shí)際花費(fèi)會(huì)少些．

2．（24-25七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·期中）根據(jù)下面的兩種移動(dòng)電話(huà)計(jì)費(fèi)方式，考慮下列問(wèn)題：

方式一方式二

月租費(fèi)30元／月0

本地通話(huà)費(fèi)0.3元／分鐘0.4元／分鐘

(1)一個(gè)月內(nèi)在本地通話(huà)200分鐘，按方式一需交費(fèi)多少元？按方式二呢？

(2)本地累計(jì)通話(huà)時(shí)間為多少分鐘時(shí)，兩種計(jì)費(fèi)方式收費(fèi)一樣多？

3．（24-25七年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）某農(nóng)產(chǎn)品基地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場(chǎng)上直接銷(xiāo)售，每噸利

潤(rùn)為100元；經(jīng)粗加工后銷(xiāo)售，每噸利潤(rùn)可達(dá)450元；經(jīng)精加工后銷(xiāo)售，每噸利潤(rùn)漲至750元．現(xiàn)收獲這

種蔬菜140噸，該基地加工能力是：如果對(duì)蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可加工16噸；如果對(duì)蔬菜進(jìn)行精加工，

每天可加工6噸，但兩種加式方式不能同時(shí)進(jìn)行，受季節(jié)條件的限制，公司必須在15天之內(nèi)將這批蔬菜全

部銷(xiāo)售或加工完畢，為此公司研制了三種加工方案．

方案一：將蔬菜全部進(jìn)行粗加工；

方案二：盡可能多的對(duì)蔬菜進(jìn)行精加工，沒(méi)有來(lái)得及加工的蔬菜在市場(chǎng)上直接銷(xiāo)售；

方案三：將部分蔬菜進(jìn)行精加工，其余蔬菜進(jìn)行粗加工，并恰好在15天完成．

你認(rèn)為選擇哪種方案獲利

【題型4實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之配套問(wèn)題】

例題：（2025·陜西西安·三模）某服裝加工廠(chǎng)要用工業(yè)機(jī)器人生產(chǎn)一批上衣和褲子，已知該加工廠(chǎng)共有8臺(tái)

4

機(jī)器人，每臺(tái)機(jī)器人每天可完成240件上衣或400條褲子，為使每天生產(chǎn)的上衣和褲子剛好配套（每套含1

件上衣和1條褲子），請(qǐng)問(wèn)該服裝加工廠(chǎng)應(yīng)該安排多少臺(tái)機(jī)器人生產(chǎn)上衣？多少臺(tái)機(jī)器人生產(chǎn)褲子？

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）在勞技課上，老師組織七年級(jí)一班的學(xué)生用硬紙制作圓柱形茶葉筒．該

班共有學(xué)生55人，其中男生人數(shù)比女生人數(shù)少3人，并且每名學(xué)生每小時(shí)剪筒身50個(gè)或剪筒底120個(gè)．

(1)該班有男生、女生各多少人？

(2)要求一個(gè)筒身配兩個(gè)筒底，為了使每小時(shí)剪出的筒身與筒底剛好配套，應(yīng)該分配多少名學(xué)生剪筒身，多

少名學(xué)生剪筒底？

2．（24-25七年級(jí)下·重慶萬(wàn)州·階段練習(xí)）某車(chē)間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個(gè)或乙種零件4

個(gè)．在這16名工人中，一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件．

(1)如果某產(chǎn)品要求甲種零件與乙種零件每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)按照3:4配比，那么應(yīng)該安排幾名工人加工甲種零

件，幾名工人加工乙種零件？

(2)已知每加工一個(gè)甲種零件可獲利15元，每加工一個(gè)乙種零件可獲利20元．若此車(chē)間某天一共獲利1240元，

求這一天有幾名工人加工甲種零件．

3．（24-25七年級(jí)下·海南?？凇るA段練習(xí)）機(jī)械廠(chǎng)加工車(chē)間有45名工人，為了加快速度完成任務(wù)，在原有

工人的基礎(chǔ)上調(diào)入若干名工人，使得調(diào)整后車(chē)間的總?cè)藬?shù)比調(diào)入工人的人數(shù)2倍還多5人．（請(qǐng)用方程解

答）

(1)求新調(diào)入多少工人？

(2)在（1）的條件下，若工人平均每人每天加工大齒輪16個(gè)或小齒輪10個(gè)，已知2個(gè)大齒輪與3個(gè)小齒輪

配成一套，問(wèn)需分別安排多少名工人加工大小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？

【題型5實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之工程問(wèn)題】

例題：（2025·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）渭河特大橋作為渭河最長(zhǎng)干線(xiàn)公路橋梁，在建設(shè)過(guò)程中，有甲、乙兩個(gè)

工程隊(duì)參與其中，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)一天共鋪設(shè)橋梁構(gòu)件80件，甲工程隊(duì)施工3天比乙工程隊(duì)施工2天多

鋪設(shè)橋梁構(gòu)件30件，求甲工程隊(duì)每天鋪設(shè)橋梁構(gòu)件的件數(shù)．

【變式訓(xùn)練】

1．（2025九年級(jí)下·江蘇南京·專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)首臺(tái)千萬(wàn)億次超級(jí)計(jì)算機(jī)“天河一號(hào)”現(xiàn)在安裝的是由我國(guó)自

行設(shè)計(jì)制造的“飛騰”計(jì)算機(jī)中央處理器（CPU）芯片．據(jù)了解，安裝“飛騰”芯片后，“天河一號(hào)”的運(yùn)算速度

將在原來(lái)的基礎(chǔ)上提速20%，達(dá)到每秒1200萬(wàn)億次．已知一項(xiàng)復(fù)雜的運(yùn)算任務(wù)在安裝“飛騰”芯片后比安裝

前使用其他芯片快10分鐘，請(qǐng)算出“天河一號(hào)”以現(xiàn)在的運(yùn)算速度完成這項(xiàng)任務(wù)需多長(zhǎng)時(shí)間．

2．（2025·陜西咸陽(yáng)·二模）人工智能已經(jīng)成為當(dāng)今社會(huì)發(fā)展的重要驅(qū)動(dòng)力，合理使用人工智能可以大幅度

提升工作效率．一家公司開(kāi)發(fā)了甲、乙兩款A(yù)I模型．為了提高效率，實(shí)驗(yàn)中學(xué)同時(shí)使用這兩款模型處理一

批數(shù)據(jù)，甲模型工作了2小時(shí)，乙模型工作了3小時(shí)，一共處理了255GB數(shù)據(jù)．已知乙模型每小時(shí)處理的

數(shù)據(jù)比甲模型少15GB．甲模型和乙模型每小時(shí)分別處理多少GB的數(shù)據(jù)？

5

3．（24-25七年級(jí)下·山西臨汾·期中）甲、乙兩工程隊(duì)承接某段隧道挖掘工程，已知該段隧道長(zhǎng)度為600米，

1

甲工程隊(duì)每天挖掘的長(zhǎng)度是乙工程隊(duì)每天挖掘長(zhǎng)度的1.5倍，甲、乙兩工程隊(duì)合作4天完成該工程的．

3

(1)求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天分別可挖掘隧道多少米．

(2)若甲工程隊(duì)先單獨(dú)挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成，總費(fèi)用剛好94萬(wàn)元．已知甲工程

隊(duì)每天的挖掘費(fèi)用為5萬(wàn)元，乙工程隊(duì)每天的挖掘費(fèi)用為3萬(wàn)元，求甲工程隊(duì)單獨(dú)挖掘的天數(shù)．

【題型6實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之行程問(wèn)題】

例題：（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）帶著小狗的小明和小兵同時(shí)從相距1200米的兩地相向而行，小明

每分行55米，小兵每分行65米，小狗每分跑240米．小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明這邊跑，遇到

小明后再向小兵那邊跑L，當(dāng)小明和小兵相遇時(shí)，小狗一共跑了多少米？

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）一輛汽車(chē)在A，B兩地之間不停地往返行駛，小剛從A去B，每小時(shí)

4千米，汽車(chē)從B去A，途中相遇，30分鐘后汽車(chē)由A返B追上小剛；再過(guò)70分鐘后汽車(chē)由B返A(chǔ)的途中

又與小剛相遇，再過(guò)50分鐘后汽車(chē)由A返B又追上小剛．

(1)求汽車(chē)的速度；

(2)求A、B兩地之間的路程；

(3)在前面的條件下，若人、車(chē)分別從A、B同時(shí)出發(fā)，同向行駛，汽車(chē)從B到C處后立即返回，回到B后

繼續(xù)朝A行駛，直至與小剛相遇，共用了5小時(shí)，求BC之間的路程．

2．（2025七年級(jí)下·河南·專(zhuān)題練習(xí)）如圖是兩張不同類(lèi)型火車(chē)的車(chē)票（“Dxxx次”表示動(dòng)車(chē)，“Gxxx次”

表示高鐵）：

(1)已知該動(dòng)車(chē)和高鐵的平均速度分別為200km/h，300km/h，如果兩車(chē)均按車(chē)票信息準(zhǔn)時(shí)出發(fā)，且同時(shí)到達(dá)

終點(diǎn)，求A，B兩地之間的距離；

(2)在（1）的條件下，請(qǐng)求出在什么時(shí)刻兩車(chē)相距100km．

3．（24-25七年級(jí)下·山西臨汾·期中）隨著全民健身的理念逐漸深入人心，跑步作為一項(xiàng)簡(jiǎn)單易行，老少皆

宜的運(yùn)動(dòng)，成為許多人日常鍛煉的首選．周末，小聰和小明準(zhǔn)備去迎澤大街進(jìn)行跑步活動(dòng)．已知迎澤大橋

與五一廣場(chǎng)之間的距離為3.6千米．小聰從迎澤大橋出發(fā)，以10千米/時(shí)的速度向五一廣場(chǎng)方向跑步；小明

從五一廣場(chǎng)出發(fā)，以8千米/時(shí)的速度向迎澤大橋方向跑步．兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行．

6

(1)兩人出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相遇？

(2)若小聰在出發(fā)后5分鐘發(fā)現(xiàn)忘記帶水壺，于是停下來(lái)休息2分鐘后以原速度返回迎澤大橋取水壺，隨后

再次以原速度向五一廣場(chǎng)方向跑步，求兩人出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相遇？

【題型7實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之?dāng)?shù)字問(wèn)題】

例題：（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位與十位上的數(shù)字的和是9．如果這個(gè)兩位數(shù)減

去27，那么得到的差正好是原來(lái)的數(shù)個(gè)位與十位數(shù)字交換．求原來(lái)的數(shù)？

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字是個(gè)位上數(shù)字的2倍，如果把這兩個(gè)數(shù)字

對(duì)調(diào)位置，組成一個(gè)新的兩位數(shù)，所得新數(shù)與原數(shù)的和是132，原來(lái)的兩位數(shù)是多少？

2．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）把1~1000的數(shù)字如圖排列，再如圖中那樣用一個(gè)長(zhǎng)方形框框出六個(gè)數(shù)，

這六個(gè)數(shù)的和是87．如果用同樣的方法（橫著三個(gè)數(shù)，豎著兩個(gè)數(shù)）框出的六個(gè)數(shù)的和是837，這六個(gè)數(shù)

分別是多少？

3．（24-25七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）小剛是個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋的同學(xué)，他將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7，…排

成如圖所示的形式，并用一個(gè)十字形框架框住其中的五個(gè)數(shù)．請(qǐng)你仔細(xì)觀察十字形框架中的數(shù)字的規(guī)律，

并解答下列問(wèn)題．

(1)設(shè)十字形框架中間的數(shù)為m，求十字形框架中的五個(gè)數(shù)的和．（用含m的式子表示）

(2)若將十字形框架上下左右移動(dòng)，可框住另外的五個(gè)數(shù)，這五個(gè)數(shù)的和能等于65嗎？若能，寫(xiě)出這五個(gè)數(shù)；

若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【題型8實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之比賽問(wèn)題】

例題：（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校九年級(jí)開(kāi)展了一次班級(jí)間的籃球比賽，規(guī)定每場(chǎng)比賽需分出勝負(fù)，

7

勝1場(chǎng)積2分，負(fù)1場(chǎng)積1分．九年級(jí)共有13個(gè)班級(jí)，第一輪比賽中，每?jī)蓚€(gè)班級(jí)相互之間僅比賽一場(chǎng)，

九（1）班在完成第一輪所有比賽后，總積分為19分，問(wèn)九（1）班第一輪勝了多少場(chǎng)？

【變式訓(xùn)練】

1．（2025·河北邯鄲·一模）某代表隊(duì)參加知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽依次分必答和搶答兩個(gè)環(huán)節(jié)，規(guī)定：必答環(huán)節(jié)每

隊(duì)均需答10道題．答對(duì)一題得20分，答錯(cuò)或不答扣10分；搶答環(huán)節(jié)各隊(duì)共搶答10道題，搶答且答對(duì)得

30分，搶答但答錯(cuò)扣10分，沒(méi)有搶答得0分．初始分?jǐn)?shù)為100分．

(1)必答環(huán)節(jié)該隊(duì)答對(duì)7道題，求該隊(duì)必答環(huán)節(jié)后的總分?jǐn)?shù)；

(2)若搶答環(huán)節(jié)該隊(duì)共搶答6次，本環(huán)節(jié)得140分，請(qǐng)通過(guò)列方程求該隊(duì)搶答環(huán)節(jié)答對(duì)題目數(shù)．

2．（2025·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）為慶祝中華人民共和國(guó)成立75周年，某校開(kāi)展了一場(chǎng)知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)定答對(duì)

一道題得10分，答錯(cuò)一道題扣5分，不答扣2分，八（1）班和八（2）班答對(duì)、答錯(cuò)、不答的題數(shù)如下表：

班級(jí)答對(duì)答錯(cuò)不答

八（1）班1541

八（2）班13

八（1）班最終得分比八（2）班多21分，求八（2）班答錯(cuò)了幾道題．

3．（24-25七年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）某校七年級(jí)組織數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，共設(shè)20道選擇題，各題分值相同，

每題必答．下表記錄了3個(gè)參賽者的得分情況．

參賽者答對(duì)題數(shù)答錯(cuò)題數(shù)得分

A200120

B191112

C182104

(1)觀察表格數(shù)據(jù)并填空，參賽者答對(duì)1道題得______分，答錯(cuò)1道題得______分；

(2)參賽者小明得80分，他答對(duì)了幾道題？

【題型9實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之幾何問(wèn)題】

例題：（2025·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，一個(gè)正方形紙片ABCD，先沿EF剪去寬為1cm的長(zhǎng)方形ABFE，

3

再沿GH剪去寬2cm的長(zhǎng)方形DBGH．記長(zhǎng)方形ABFE的面積為S1，長(zhǎng)方形DEGH的面積為S，若SS，

2152

求原正方形紙片的邊長(zhǎng)AB．

8

【變式訓(xùn)練】

1．（2025·陜西西安·一模）如圖，在一個(gè)正方形中先剪去一個(gè)寬為5的長(zhǎng)方形，再?gòu)氖Ｏ虏糠旨羧ヒ粋€(gè)寬為

6的長(zhǎng)方形，若剪下來(lái)的兩個(gè)長(zhǎng)方形面積相等，求原正方形的面積．

2．（24-25七年級(jí)下·山東青島·階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，已知AB4，BC9，且點(diǎn)E是AB邊

的中點(diǎn)，點(diǎn)F是以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)C出發(fā)沿射線(xiàn)CB方向運(yùn)動(dòng)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

1

(1)當(dāng)CFBC，求四邊形ACFE面積．．

3

(2)求點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，三角形BEF的面積等于長(zhǎng)方形ABCD面積的六分之一．

3．（24-25七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB6cm，BC4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，

以每秒4cm的速度沿折線(xiàn)ABBC運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1.5cm的速度沿射線(xiàn)CB方向運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．

(1)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP_____cm．（用含t的代數(shù)式表示）

(2)當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP_____cm（用含t的代數(shù)式表示）；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，求線(xiàn)段

BQ的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q到點(diǎn)B的距離相等時(shí)，求t的值．

(4)當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接AP、AQ．直接寫(xiě)出△APQ的面積是3cm2時(shí)t的值．

9

【題型10實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程之電費(fèi)和水費(fèi)問(wèn)題】

例題：（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）為倡導(dǎo)合理利用電資源，電力局推行了居民申請(qǐng)使用“峰谷”電制

度，具體如下圖所示．已知一個(gè)家庭使用峰谷電的某月電費(fèi)為95.2元，經(jīng)測(cè)算，比不使用峰谷電節(jié)約10.8元，

該家庭當(dāng)月使用峰電和谷電各多少千瓦時(shí)？

8:0022:00：每千瓦時(shí)0.56元（峰電價(jià)格）

22:008:00：每千瓦時(shí)0.28元（谷電價(jià)格）

不使用峰谷電：每千瓦時(shí)0.53元

【變式訓(xùn)練】

1．（24-25七年級(jí)下·四川眉山·期中）“水是生命之源”，我縣自來(lái)水公司鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，收費(fèi)按以下標(biāo)

準(zhǔn)：

用水量/月單價(jià)（元/m3）

不超過(guò)20m32.8

超過(guò)20m3的部分3.2

(1)如果1月份某用戶(hù)用水量為19m3，那么該用戶(hù)1月份應(yīng)該繳納水費(fèi)______元．

(2)某用戶(hù)2月份共繳納水費(fèi)80元，那么該用戶(hù)2月份用水多少m3？

2．（24-25六年級(jí)下·山東東營(yíng)·期中）今年春節(jié)期間，電影《哪吒2》特別火爆，小強(qiáng)一家去某電影院觀看

此部電影，到了影院后，看到有以下優(yōu)惠活動(dòng)方案：

優(yōu)惠方案一會(huì)員費(fèi)200元，票價(jià)35元/人．

優(yōu)惠方案二原票價(jià)50元/人，成人原價(jià)，學(xué)生票價(jià)是原價(jià)的5折．

(1)若小強(qiáng)一家6人（成人4人，學(xué)生2人），優(yōu)惠方案一所需費(fèi)用元；優(yōu)惠方案二所需費(fèi)用元；他

選擇優(yōu)惠方案（填“一”或“二”）劃算？

(2)若成人人數(shù)是學(xué)生人數(shù)的2倍且兩種優(yōu)惠方案所付費(fèi)用相等，求成人、學(xué)生各多少人？

3．（24-25七年級(jí)下·河南周口·階段練習(xí)）為增強(qiáng)居民節(jié)約用電意識(shí)，某市對(duì)居民用電實(shí)行“階梯收費(fèi)”，具

體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示：

一戶(hù)居民一個(gè)月用電量電費(fèi)價(jià)格（元/千瓦時(shí)）

不超過(guò)160千瓦時(shí)的部分x

超過(guò)160千瓦時(shí)的部分x0.15

某居民五月份用電190千瓦時(shí)，繳納電費(fèi)90元．

(1)求x和超出部分的電費(fèi)單價(jià)．

10

(2)若該戶(hù)居民六月份繳納電費(fèi)84元，求該戶(hù)居民六月份的用電量．

一、單選題

1．（24-25九年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首詩(shī)：“我問(wèn)開(kāi)店李三公，

眾客都來(lái)到店中．一房七客多六客，一房八客一房空，問(wèn)有幾房幾客？”意思是：一批客人來(lái)到李三店中住

宿，如果每間客房住7人，那么有6人無(wú)房可??；如果每間客房住8人，那么就空出1間房．問(wèn)有多少間

客房？多少客人？設(shè)有x間房，則可列出方程是（）

xxx6x1

A．61B．

7878

C．7x68x1D．7x68x1

2．（24-25六年級(jí)下·山東泰安·期中）某校為了增強(qiáng)學(xué)生的防范電信網(wǎng)絡(luò)詐騙意識(shí)，舉行了一次知識(shí)搶答賽，

搶答題一共20個(gè)，記分規(guī)則如下：每答對(duì)一個(gè)得5分，每答錯(cuò)或不答一個(gè)扣1分．小勇一共得76分，則

小勇答對(duì)的個(gè)數(shù)為（）

A．16B．15C．13D．14

3．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要10天，乙單獨(dú)做要15天，丙單獨(dú)做要20天，

三人合做期間，甲因故請(qǐng)假，工程6天完工，則甲請(qǐng)了（）天假．

11

A．1B．3C．5D．6

2

4．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字是個(gè)位上的，把十位上數(shù)字與個(gè)位上數(shù)

3

字調(diào)換后，新數(shù)比原數(shù)大18，則原數(shù)個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字之和是（）

A．10B．12C．18D．21

5．（2025·山東菏澤·三模）如圖，將一張正方形紙片剪成四個(gè)小正方形，得到4個(gè)小正方形，稱(chēng)為第一次

操作；然后，將其中的一個(gè)正方形再剪成四個(gè)小正方形，共得到7個(gè)小正方形，稱(chēng)為第二次操作；再將其

中的一個(gè)正方形再剪成四個(gè)小正方形，共得到10個(gè)小正方形，稱(chēng)為第三次操作．．．根據(jù)以上操作，若要

得到2026個(gè)小正方形，則需要操作的次數(shù)是（）

A．669B．670C．671D．675

二、填空題

6．（24-25七年級(jí)下·福建泉州·期中）爸爸和小北共下9局棋（未出現(xiàn)和棋），記分規(guī)則：爸爸贏一局記1

分，小北贏一局記2分．若爸爸和小北得分相同，則爸爸贏了局．

7．（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位所著《算法統(tǒng)宗》卷十第十五題記載：“隔墻聽(tīng)得客分銀，

不知人數(shù)不知銀．六兩分之盈三兩，八兩分之不足五．借問(wèn)諸君能算者，多少客人多少銀？”其大意:客人一

起分銀子，若每人6兩，則多出3兩；若每人8兩，則還差5兩．若設(shè)有x人，則可得一元一次方

程．

8．（24-25七年級(jí)下·山東威?！て谥校┠称放拼蛴C(jī)按進(jìn)價(jià)提高50%后標(biāo)價(jià)，若按標(biāo)價(jià)的八折銷(xiāo)售，某顧客

購(gòu)買(mǎi)該打印機(jī)時(shí)，將家里的舊打印機(jī)用于以舊換新，抵扣了258元后，又支付了942元，則該打印機(jī)的進(jìn)

價(jià)為元．

9．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，甲、乙兩人沿著邊長(zhǎng)為70米的正方形，按逆時(shí)針的方向行走，

甲從A以65米/分的速度行走，乙從B以72米/分的速度行走，當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)，是在正方形的邊

（AB、BC、CD或DA）上．

10．（24-25六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，已知A、B分別為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為20，

B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為80．有一只電子螞蟻P從A點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子

12

螞蟻Q恰好從B點(diǎn)出發(fā)，以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，則它們相遇點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是．

三、解答題

11．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）一個(gè)防盜門(mén)的密碼由4個(gè)數(shù)字按從大到小的順序組成，這4個(gè)數(shù)字

之和是16，并且相鄰的兩個(gè)數(shù)字都相差2，這個(gè)密碼是多少？

12．（2025·安徽合肥·三模）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買(mǎi)雞，

人出九，盈十一：人出六，不足十六、問(wèn)人數(shù)雞價(jià)各幾何？譯文：今有人合伙買(mǎi)雞，每人出9錢(qián)，會(huì)多出

11錢(qián)；每人出6錢(qián)，又差16錢(qián)．問(wèn)人數(shù)、買(mǎi)雞的錢(qián)數(shù)各是多少？

13．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）游泳館推出兩種付費(fèi)方式：方式一，單次卡，每次收費(fèi)30元；方式

二，辦理會(huì)員年卡，一次繳納300元會(huì)員費(fèi)，每次游泳另外收費(fèi)10元（一年內(nèi)有效）．

(1)爸爸游泳鍛煉的計(jì)劃是一年，每月兩次．他選擇哪種方式更劃算？請(qǐng)寫(xiě)出簡(jiǎn)要的思考過(guò)程．

(2)一年內(nèi)游泳達(dá)到幾次時(shí)，兩種付費(fèi)方式所用錢(qián)數(shù)相等？請(qǐng)寫(xiě)出簡(jiǎn)要的思考過(guò)程．

14．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）習(xí)近平總書(shū)記強(qiáng)調(diào)：“一個(gè)博物院就是一所大學(xué)校”．某校聯(lián)系研學(xué)社組織

學(xué)生到博物院研學(xué)，研學(xué)社報(bào)價(jià)每人收費(fèi)400元，當(dāng)研學(xué)人數(shù)超過(guò)50時(shí)，研學(xué)社給出兩種優(yōu)惠方案：

方案一：研學(xué)團(tuán)隊(duì)先交1800元后，再每人收費(fèi)320元；

方案二：5人免費(fèi)，其余每人收費(fèi)打九折．

已知研學(xué)人數(shù)超過(guò)50，且上述兩種方案的收費(fèi)相同，求研學(xué)人數(shù)．

15．（24-25七年級(jí)下·福建漳州·期中）如圖是2025年4月的月歷，觀察月歷，解答下列問(wèn)題：

(1)小寶這個(gè)月外出旅行三天，三天日期之和是36，求小寶出發(fā)的日期．

(2)月歷中“十”字型陰影圖形能覆蓋其中五個(gè)數(shù)字，則五個(gè)數(shù)字之和能否等于100？若能，求出其中最小的數(shù)

字；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

16．（2025·湖南長(zhǎng)沙·三模）近期“國(guó)家喊你減肥了”話(huà)題沖上熱搜，為了讓大家有一個(gè)健康的身體和良好的

生活習(xí)慣，某學(xué)校組織全體中學(xué)生參加健康生活方式知識(shí)競(jìng)賽，共設(shè)25道選擇題，各題分值相同，每題必

答，如表記錄了5個(gè)參賽者的得分情況．

參賽答對(duì)題答錯(cuò)題得

者數(shù)數(shù)分

13

A24195

B21480

C18765

D141145

E250100

(1)填空：每答對(duì)一道題得______分，每答錯(cuò)一道題扣_____分；

(2)參賽者F得70分，他答對(duì)了幾道題？

(3)參賽者G說(shuō)他得87分，你認(rèn)為可能嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．

17．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）A、B兩市相距176千米，兩市之間一處因山體滑坡導(dǎo)致連接這兩市

的公路受阻，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)接到指令，要求于早上7點(diǎn)，分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)趕往滑坡地點(diǎn)疏通

公路．甲隊(duì)于9點(diǎn)趕到并立即開(kāi)工半小時(shí)后，乙隊(duì)也趕到，并立即投入搶修工作，此時(shí)甲隊(duì)已完成了全部

1

任務(wù)的．

24

3

(1)如果滑坡受損公路長(zhǎng)1千米，甲隊(duì)行進(jìn)的速度是乙隊(duì)的倍多5千米，求甲、乙兩隊(duì)的行進(jìn)的速度各是