數(shù)列第一節(jié)數(shù)列及其基本概念一、考試要求：（1）掌握數(shù)列及通項(xiàng)公式的概念（2）理解數(shù)列的表示方法與函數(shù)表示方法之間的關(guān)系二、知識梳理①數(shù)列的定義 ②數(shù)列的通項(xiàng)公式 ③數(shù)列的分類 ④數(shù)列可以看作是一個定義域?yàn)? 的函數(shù)當(dāng)自變量從到依次取值時，對應(yīng)的一列函數(shù)值，它的圖象是一串 的點(diǎn)。⑤遞推公式的定義是 三、基礎(chǔ)練習(xí)1.根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個通項(xiàng)公式（1）1,3,6,10,15,……… （2）7,77,777,……… （3）1，……… 2.數(shù)列1,0,1,0……的一個通項(xiàng)公式是（）A.B.C.D.3.數(shù)列中的最大項(xiàng)是（）A.107B.108C.D.109四、典型例題例1.已知無窮數(shù)列1×2,2×3,3×4,……,n(n+1),……判斷420與421是否為該數(shù)列中的項(xiàng)？若是應(yīng)為第幾項(xiàng)？例2已知函數(shù)f(x)=2x-2-x，數(shù)列滿足f(log2an)=-2n（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明數(shù)列是遞減數(shù)列。例3已知數(shù)列的遞推公式為an+2=3an+1-2an,且a1=1,a2=3，(1)求:a5;(2)127是這個數(shù)列的第幾項(xiàng)？五、自我測評1.符合數(shù)列2，5,11，20，x，47，……構(gòu)成規(guī)律的x等于（）A.32B.28C.33D.272.下列說法正確的是（）A.數(shù)列2，4,6,8，可表示為B.數(shù)列1,0，－2，－1與數(shù)列－2，－1,0，1是相同數(shù)列C.數(shù)列的第k項(xiàng)為1＋D.數(shù)列0,2，4,6，8……可記為3.數(shù)列中，an=1,an+2=,則a5=()A.B.C.D.4.數(shù)列中，a1=1對所有n≥2,都有，則a3+a5= 5.(07江西理14)已知數(shù)列｛an｝對于任意p，q∈N*，有ap+aq=ap+q,若a1=,則a36=。6.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,……)求它的通項(xiàng)公式an六、課后練習(xí)1.數(shù)列……中，有序數(shù)對（a,b）可以是()A.(21,-5)B.(16,-1)C.()D.()2.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是則數(shù)列的最大項(xiàng)是（）A.第12項(xiàng)B.第12項(xiàng)和第13項(xiàng)C.第13項(xiàng)D.不存在3.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，其中a，b均為正常數(shù)，那么an與an+1的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.與n的取值有關(guān)4.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和則a5+a6=()A.B.C.D.5.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前30項(xiàng)中，最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別為（）A.a1,a30B.a1,a9C.a10,a9D.a10,a6.（07廣東文13）已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n,則其通項(xiàng)an=;若它的第k項(xiàng)滿足5<aK<8,則k=。7．（07山東理17）若數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為；數(shù)列｛nan｝中數(shù)值最小的項(xiàng)是第項(xiàng)。(5)(4)(1)(2)(3)(5)(4)(1)(2)(3)8.已知是遞增數(shù)列且對任意的an=n2+入n恒成立，則實(shí)數(shù)入的取值范圍是 9.已知問數(shù)列中有沒有最大項(xiàng)？如果有，求出這個最大值；若沒有說明理由。10.（07山東理17）設(shè)數(shù)列｛an｝滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,a∈N(I)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)；(II)設(shè)bn=,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn.35691012 ①寫出這個三角形數(shù)表的第四行，第五行各數(shù)；②求a100七、快餐1、數(shù)列｛an｝中，an=-2n2+29n+3,則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是（）A．107 B．108 C．108 D．1092、已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an=（a、b、c都是正實(shí)數(shù)），則an與an+1的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)n>an+1 B．a(chǎn)n<an+1 C．a(chǎn)n=an+13、數(shù)列3,7,13,21,31…的通項(xiàng)公式是（）A．a(chǎn)n=4n-1 B．a(chǎn)n=n3-n2+n+2 C．a(chǎn)n=n2+n+1 D．不存在4、數(shù)列｛an｝中，a1=1,對所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an=n2,則a3+a5等于（）A． B． C． D．5．已知｛an｝是遞增數(shù)列，且對于任意的n∈N＊,an=n2+n恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是。6．已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,當(dāng)n≥2時，an2-(n+2)an-1·an+2na=0，則an=。（寫出你認(rèn)為正確的一個答案即可）第二節(jié)等差數(shù)列一、考試要求：1.掌握等差數(shù)列的概念，等差中項(xiàng)的概念，會用定義判定數(shù)列是否是等差數(shù)列。2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)方法，會類比直線，一次函數(shù)等有關(guān)知識研究等差數(shù)列的性質(zhì)，能熟練運(yùn)用通項(xiàng)公式求有關(guān)的量：a1,d,n,an.3.掌握等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式及推導(dǎo)方法，熟練運(yùn)用通項(xiàng)公式，前幾項(xiàng)和公式，對于a1,d,n,an,sn中已知三個量求另兩個量，靈活運(yùn)用公式解決與等差數(shù)列有關(guān)的綜合問題，能構(gòu)建等差數(shù)列模型解決實(shí)際問題。4.提高觀察、概括、猜想，運(yùn)算和論證能力，能通過類比，轉(zhuǎn)化等方法解決有關(guān)數(shù)列的一些問題。二、知識梳理：1.等差數(shù)列定義 2.等差數(shù)列的判定 3.通項(xiàng)公式 4.等差數(shù)列n項(xiàng)和公式 5.性質(zhì)：①am=ak+(m-k)d則d= .②若m,n,,N+,且m+n=k+，則 反之不成立。③若數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列(入，b為常數(shù))是公差為 的等差數(shù)列。若也是公差為d的等差數(shù)列，則(入1,入2為常數(shù))也是等差數(shù)列且公差為 。④下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)ak,ak+m,ak+2m……組成的數(shù)列仍為 ，公差為 。⑤設(shè)A=a1+a2+………an,B=an+1+an+2………+a2n,C=a2n+1+a2n+2………+a3n則A、B、C成 。⑥若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則S偶－S奇＝ ； ；S2n=n(an+an+1),(an,an+1)為中間二項(xiàng))若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n-1(),則S奇－S偶＝ ， ，S2n-1=(2n-1)an(an為中間項(xiàng))三、基礎(chǔ)練習(xí)1.等差數(shù)列的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（）A.130B.170C.210D.2602.若關(guān)于的方程和(a≠b)的四個根可組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則a+b的值是（）A.B.C.D.3.若差數(shù)列中前n項(xiàng)的和為210，其中前4項(xiàng)的和為40，后4項(xiàng)的和為80，則n值為()A.12B.14C.16D.184.在a和b(a≠b)兩數(shù)之間插入n個數(shù)，使它們與a,b組成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差為（）A.B.C.D.5.有兩個等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和的比是（n+2）:（n＋3），則此二數(shù)列中第七項(xiàng)的比a7:b7=()A.B.C.D.6.在等差數(shù)列中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，則a2+a8=（）A.90B.100C.180D.200四、典型例題1.一個等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32：27，求公差d.2.在等差數(shù)列中，a1=－60，a17=－12，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。分析：本題實(shí)際上是求數(shù)列前n項(xiàng)的絕對值之和，由絕對值的意義，要求我們應(yīng)首先分清這個數(shù)列的哪些項(xiàng)是負(fù)的，哪些項(xiàng)是非負(fù)的。由已知數(shù)列是首項(xiàng)為負(fù)數(shù)的遞增數(shù)列，因此應(yīng)先求出這個數(shù)列從首項(xiàng)起共有哪些項(xiàng)是負(fù)數(shù)，然后再分段求出前n項(xiàng)的絕對值之和。3.等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1>0，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)≠m時，，問n為何值時，Sn最大。五、自我評測1.（07重慶理1）若等差數(shù)列的前三項(xiàng)和S3=9且a1=1,則a2等于（）A．3 B．4 C．5 D．62.如果數(shù)列是等差數(shù)列，則 （） A． B． C． D．3．（07安徽文3）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sx若a2=1,a3=3,則S4=（）A．12 B．10 C．8 D．64.等差數(shù)列中，a2+a5=19,S5=40,則a1= 5.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝100，S100＝10，則S110＝ 6.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0S13<0①求公差d的取值范圍。②指出S1，S2……，Sn中哪一個值最大，并說明理由。六、課后練習(xí)1.(07遼寧文5)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9，S6=36，則a7+a8+a9=()A.63 B.45 C.36 D.272.（07湖北理8）已知兩個等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為An和Bn,且，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．53.在等差數(shù)列中，若a2+a4=m,a3+a5=n，則此數(shù)列前6項(xiàng)和等于（）A.m+nB.C.D.4.在等差數(shù)列中，3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)＝24，則此數(shù)列的前13項(xiàng)之和等于（）A.26B.13C.52D.1565.（07理寧理4）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn,若S3=9，S6=36，則a7+a8+a9=()A.63 B.45 C.36 D.27A.1B.C.D.6.（07寧夏文16）已知｛an｝是等差數(shù)列，a4+a6=6,其前5項(xiàng)和S5=10，則其公差d=.7.在等差數(shù)列中，a1+a2+a3=15,an+an-1+an-2=78,Sn=155，則n= .8.等差數(shù)列中，Sm=Sn，(m≠n),則Sm+n= 9.（07上海文20）如果有窮數(shù)列a1,a2,a3，…，am（m為正整數(shù)）滿足條件a1=am,a2=am-1,…am=a1,即a1=am-i+1(i=1,2,…,m),我們稱其為“對稱數(shù)列”。例如，數(shù)列1，2，5，2，1與數(shù)列8，4，2，2，4，8都是“對稱數(shù)列”。（1）設(shè)｛bn｝是7項(xiàng)的“對稱數(shù)列”，其中b1,b2,b3,b4是等差數(shù)列，且b1=2,b4=11,依次寫出｛bn｝的每一項(xiàng)；（2）設(shè)｛cn｝是49英的“對稱數(shù)列”，其中c25，c26,…,c49是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求｛cn｝各項(xiàng)的和S；（3）設(shè)｛dn｝是100項(xiàng)的“對稱數(shù)列”，其中d51,d52,d100是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列，求｛dn｝前n項(xiàng)的和Sn(n=1,2,…,100).10.（2004全國IV）設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。七、快餐1．已知等差數(shù)列｛an｝滿足a1+a2+a3+…+a101=0,則有（）A．a(chǎn)1+a101>0 B．a(chǎn)2+a101<0C．a(chǎn)3+a99=0 D．a(chǎn)1=512.在等差數(shù)列｛an｝中，若a3+a4+a5+a6+a7=450,則a2+a8=()A.45 B.75 C.180 D.3003.若x≠y,數(shù)列x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y各自成等差數(shù)列，則=（）A． B． C． D．4．等差數(shù)列中，a1=,第10項(xiàng)開始比1大，則公差d的范圍是（）A．d> B．d< C．<d≤ D．<d<5.等差數(shù)列｛an｝的公差d<0，且a=a,則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時的項(xiàng)數(shù)n=。6．若關(guān)于x的方程x2-x+a=0(a≠0)和x2-x+b=0的四個根可組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則a+b的值是.第三節(jié)等比數(shù)列一、考試要求：1.通過實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念。2.探索并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前幾項(xiàng)和的公式。3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。4.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。二、知識梳理1.等比數(shù)列的定義 2.等比數(shù)列的通項(xiàng) 前幾項(xiàng)和 3.等比中項(xiàng) 若a、b、c成等比,則b為a、c的等比中項(xiàng)，即b2=ac.正數(shù)m、n的等比中項(xiàng)為4.等比數(shù)列的性質(zhì)①若數(shù)列等比數(shù)列，則若則 ②當(dāng)或 時，數(shù)列為遞增數(shù)列。當(dāng)或 時，數(shù)列為遞減數(shù)列。當(dāng)＝1時，數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)＜0時，數(shù)列為擺動數(shù)列。三、基礎(chǔ)練習(xí)1.設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，則下面4個數(shù)列：①②（p為非零常數(shù)）③④其中是等比數(shù)列的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個2.b2=ac是a、b、c成等比數(shù)列的（）條件A.充分但不必要B.必要但不充分C.充要條件D.既不充分也不必要3.等比數(shù)列中，a5=-8,則an= Sn= 4.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個分裂成兩個），經(jīng)過3小時，這種細(xì)菌由一個可繁殖 個。5.在等比數(shù)列中，則 四、典型例題例1一個等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列；如果再把這個等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列。例2若數(shù)列滿足關(guān)系a1=2，an+1=3an+2求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例3設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若求公比q.五、自我測評1.在各項(xiàng)為均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比q=2且a1a2a3……a30=230則……a30A.210B.220C.2162.（07福建文2）等比數(shù)列中，a4=4,則a2·a6等于（）A．4 B．8 C．16 D．323.（07重慶文1）在等比數(shù)列中，a1=8,a5=64,則公比q為（）4. 5.數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=3+2n則an= 6.數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn的公式。六、課后練習(xí)1.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若=（）A.12B.10C.8D.2+log352.（07湖南文4）在等比數(shù)列(n∈N﹡)中，若a1=1,a4=,則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A.2-B.2-C.2- D.2-3.（07寧夏文6）已知a,b,c,d成等比數(shù)列，且曲線y=x2-2x+3的項(xiàng)點(diǎn)是（b,c），則ad等于（）A.3 B.2 C.1 D.-24.某工廠2003年12月份的產(chǎn)值是這年1月份產(chǎn)值的m倍，則該在2003年產(chǎn)值的月平均增長率為（）A.B.C.D.5.設(shè)2a=3,2b=6,2A.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列C.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列6.已知數(shù)的前n項(xiàng)和Sn=n2-4n+1則= 7.數(shù)列中，an+1=2nan,a1=1則an= 8.設(shè)數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若是等差數(shù)列，則q= 9.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列又，n=1,2.3……（I）證明為等比數(shù)列（II）如果無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和S=，求數(shù)列的首項(xiàng)a1和公差d.（注：無窮數(shù)列各項(xiàng)的和，即當(dāng)n→∞時數(shù)列前n項(xiàng)和的極限）10.假設(shè)某市2004年新建住房400萬m2，其中有250萬m2是中低價房。預(yù)計在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%，另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬m2，那么到哪一年底，①該市歷年所建中低價房的累計面積（以2004年為累計的第一年）將首次不少于4750萬m2?②當(dāng)年建造的中低價房的面積，占該年建造住房面積的比例首次大于85%？七、快餐1．一個各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其任何項(xiàng)都等于后面兩項(xiàng)的和，則其公比是（）A． B． C． D．2．若正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝的公比q≠1,且a3,a5,a6成等差數(shù)列，則等于（）A． B． C． D．不確定3．若Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，則｛an｝是（）A．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B．等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C．等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 D．既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列4．非零實(shí)數(shù)x,y,z等差數(shù)列，x+1,y,z與x,y,z+2分別成等比數(shù)列，則y等于（）A．10 B．12 C．14 D．165．設(shè)a、b、c成等比數(shù)列，x為a、b的等差中項(xiàng)，y為b、c的等差中項(xiàng)，則=。6．如下圖，它滿足：①第n行首尾兩數(shù)均為n；②表中的遞推關(guān)系類似楊輝三角，則第n行（n≥2）第2個數(shù)是.第四節(jié)等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用一、考試要求：1.理解等差數(shù)列與等比數(shù)列概念，掌握它們的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式。2.能正確的判斷和區(qū)分等差數(shù)列和等比數(shù)列，并能用其公式和性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題。二、知識梳理等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式性質(zhì)等差（等比）中項(xiàng)三、基礎(chǔ)練習(xí)1.設(shè)四、典型例題說明理由五、自我測評1.1+(1+2)+(1+2++22)+……(1+2+22+……+210)的值是()A.211-11B.211-13C.212-13D.213-112.若數(shù)列A.B.C.D.3.首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，從第m項(xiàng)到第n項(xiàng)的和為720，則 （） A．m=2，n=6 B．m=2，n=7 C．m=3，n=6 D．m=3，n1(n=1)4.數(shù)列1(n=1)(n≥2)(n≥2)6.已知數(shù)列a2k+1=a2k+3k其中k=1,2,3,……(1)求a3,a5(2)求an的通項(xiàng)公式六、課后練習(xí)（一）選擇題1、（07福建理2）數(shù)列錯誤！嵌入對象無效。3.（天津）若數(shù)列A.B.C.D.4.（2004年湖北理）已知數(shù)列A.an=xn+yn,其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列B.an=xn+yn,其中和為等差數(shù)列C.,其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列D.,其中和都為等比數(shù)列5.若A.4005B.4006C.4007D.4008二、填空題1、（07全國2文14）已知數(shù)列的通項(xiàng)，則其前n項(xiàng)和Sn=.-3、（07江西文14）已知等差數(shù)列1、（07山東文18）設(shè)七、快餐：1、數(shù)列8.（07江西理22）設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：且對于任何n,有2+（1）求（2）求數(shù)列的通項(xiàng)an。七、快餐：1、等式（）A、n為任何正整數(shù)時都成立B、僅當(dāng)n=1,2,3時成立C、當(dāng)n=4時成立，n=5時不成立D、僅當(dāng)n=4時不成立2、利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過程中，由“n=k”變到“n=k+1”時，不等式左過的變化是（）A、增加B、增加C、增加D、增加3、同一平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓有兩個不同交點(diǎn)，并且三個圓不過同一點(diǎn)，則這n個圓把平面分成（）A、2n部分B、n2部分C、2n-2部分D、n2-n+2部分4、某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)n=k（）時該命題成立，那么可以推出n=k+1時該命題也成立，現(xiàn)已知n=5時該命題不成立，那么（）A、n=4時該命題成立B、n=6時該命題不成立C、n為大于5的某個自然數(shù)時命題成立D、以上答案均不對5、用數(shù)學(xué)歸納法證明“”能被9整除的第二步中，為了使用歸納假設(shè)，應(yīng)將變形為。6、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1,，試歸納猜想出Sn的表達(dá)式為。第七節(jié)數(shù)列的綜合運(yùn)用一、考試要求：1.理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前n項(xiàng)。3.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用公式解決簡單的問題。4.掌握等差數(shù)列，等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識基本技能、基本思想方法。5.使學(xué)生具備熟練的運(yùn)算能力、邏輯思維能力以及分析問題解決問題的能力二、知識梳理：數(shù)列數(shù)列定義及有關(guān)概念通項(xiàng)公式數(shù)列求和等差數(shù)列等比數(shù)列定義等差等比中項(xiàng)通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式數(shù)列應(yīng)用三、基礎(chǔ)練習(xí)：1.設(shè)是遞增的等差數(shù)列，前三項(xiàng)和為12，前三項(xiàng)積為48，則它的首項(xiàng)為 2.設(shè)是公比為q的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若是等差數(shù)列，則q＝ 3.設(shè)公差不等于0的等差數(shù)列和等比數(shù)列，兩數(shù)列關(guān)系為a1＝b1，a3＝b3，a7=b5,那么A．b11＝a13 B．b11＝a31 C．b11＝a63 D．b63＝a114.等差數(shù)列、的前n項(xiàng)和分別為和，若，則 。5.在等差數(shù)列中，已知＝10，＝100，則＝ 6.（07北京文10）若數(shù)列的前n項(xiàng)和，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為.2n-11四、典型例題1.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且＝（p≠q）則＝ 2.已知A（0,）B(0,-)C(4+,0)其中，設(shè)表示△ABC外接圓的面積。則＝ 。3.（07湖北文20）已知數(shù)列和滿足：且是以q為公比的等比數(shù)列。（1）證明：；（2）若,證明數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求和：.五、自我測評1.選擇（1）設(shè)等差數(shù)列滿足3=5且＞0，則前n項(xiàng)和中最大的是（ ）A． B． C． D．（2）等差數(shù)列中，≠0，若m＞1，且-+＝0，＝38則m的值為（ ）A．38 B．20 C．19 D．102、填空：（1）等比數(shù)列中，＝A，＝B，則＝ 。（2）數(shù)列中，＝1＝（n≥2）則這個數(shù)列的前n項(xiàng)和為 。3、已知數(shù)列為等差數(shù)列（公差為d且d≠0）中部分項(xiàng)組成數(shù)列……恰為等比數(shù)列，其中＝1＝5＝17求++…的值。六、課后練習(xí)1、在如圖所示的表格里，每格填上一個數(shù)字后使每一橫行成等差數(shù)列，每一列成等比數(shù)列，則a+b的值為（）2612abA、B、C、D、2、某廠去年12月份產(chǎn)量a，今年產(chǎn)量月增長率為p，則今年12月份的產(chǎn)量比去年12月份的產(chǎn)量增加了（）A、12p倍B、13p倍C、（1+p）12倍D、[（1+p）12-1]3、某企業(yè)欲實(shí)現(xiàn)在今后10年內(nèi)產(chǎn)值翻一番的目標(biāo)，則該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長率最低應(yīng)（）A、低于5%B、在5%—6%之間C、在6%—8%4、某校環(huán)保小組發(fā)現(xiàn)本市生活垃圾年增長率為b，2005年產(chǎn)生垃圾量為at,由此預(yù)測，到2010年的垃圾量為（）A、B、C、D、5、某地宜林荒地2640萬畝，從2004年開始綠化造林，第一年綠化120萬畝，以后每年比前一年多綠化60萬畝，則到哪一年可以使全部荒地得以綠化（）A、2012年B、2011年C、2013年D、2014年二、填空題：6、數(shù)列中，a1=1,則Sn=.7、A、B兩廠2005年元月份的產(chǎn)值相同，A廠每月增加的產(chǎn)值相同，B 廠每月的增長率相同，到2006年元月份，兩廠的產(chǎn)值又相同，則2005年7月產(chǎn)值較高的是廠。8、某地2005年工業(yè)垃圾有7.4×107t，為建設(shè)節(jié)約型社會，每回收1t工業(yè)舊物資相當(dāng)于減少4t工業(yè)增圾，并可節(jié)約礦石20t，若從2006年回收工業(yè)舊物資10萬t，并計劃今后每年遞增20%，則2006年—2014年可節(jié)約礦石萬t。三、（07福建文21）1、已知數(shù)列中，(1)求a3、a5(2)求的通項(xiàng)公式2、（07安徽理21）某國采用養(yǎng)老儲備金制度，公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金，數(shù)目為a1,以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d>0)，因此，歷年所交納的儲務(wù)金數(shù)目a1,a2,…是一個公差為d的等差數(shù)列，與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復(fù)利，這說是說，如果固定年利率為r(r>0),那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)閍1(1+r)n-1,第二年所交納的儲備金就變?yōu)閍2(1+r)n-2,……，以Tn表示到第n年末所累計的儲備金總額。（1）寫出Tn與Tn-1（n2）的遞推關(guān)系式：（2）求證：，其中是一個等比數(shù)列，是一個等差數(shù)列。七、快餐：1、隨著計算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，電腦的價格不斷降低，若每隔4年電腦的價格降低三分之一，則現(xiàn)在價格為8100元的電腦12年后的價格可降為（）A、2400B、2700C、3000D、36002、據(jù)權(quán)威人士分析“嚴(yán)格來講，我國目前已進(jìn)入負(fù)利率時代”，“錢在銀行縮水”．以一年期存款利率1．98％為例，現(xiàn)考慮2003年物價指數(shù)3．2％和利息所得稅20％兩方面的因素，實(shí)際利息為一1．616％(即1．98％×O．8—3．2％)，這意味將100000元人民幣存入銀行，1年后實(shí)際價值變?yōu)?8384元，1616元白白“蒸發(fā)”．據(jù)初步估計2004年物價指數(shù)為2．2％，其他條件不變，請你計算一下某人年初將100000元人民幣存入銀行，1年后它的實(shí)際價值變成了()A．99464元B．99384元C．98384元D．100616元3、某工廠2004年生產(chǎn)某種產(chǎn)品2萬件，計劃從2005年開始，每年的產(chǎn)量比上一年增長20％，經(jīng)過n年這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量首次超過12萬件，則n值為(已知lg2=O.3010，lg3=O.4771)()A。10B．11C4、從2001年到2004年期間，甲每年6月1日都到銀行存入m元的一年定期教育儲蓄，若年利率為”保持不變，且每年到期的存款本息均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2005年6月1日，甲去銀行不再存款，而是將所有存款的本息全部取回，則取回的金額是(注：教育儲蓄不計利息稅)()A．m(1+n)4元B．m(1+n)5元c．m[(1+n)4一(1+n)]／n元D．m[(1+n)5一(1+n)]／n元5、據(jù)某校環(huán)保小組調(diào)查，某區(qū)垃圾的年增長率為6，2003年產(chǎn)生的垃圾量為n噸，由此預(yù)測該區(qū)下一年的垃圾量為噸，2008年的垃圾量為噸．6、有一堆物品，某層放n2個，而它的上一層比它少放(2n～1)個(n≥2)，已知這堆物品底層放100個，頂層放16個，則這堆物品共有個．解：由an=n(n+1)=420n1=-21（舍），n2=20故420是數(shù)列中的第20項(xiàng)由an=n(n+1)=421n無整數(shù)解,故421不是數(shù)列中的項(xiàng)小結(jié)：要判斷一個數(shù)是否為該數(shù)列中的項(xiàng)，可由通項(xiàng)等于這個數(shù)解出n，根據(jù)n是否為正整數(shù)便可確定這個數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)。也就是說判定某一數(shù)是否為數(shù)列中的某一項(xiàng)，其實(shí)質(zhì)就是看方程是否有整數(shù)解。例二解：（1）∵f(x)=2x-2-x，f(log2an)=-2n∴∴an2+2nan-1=0∵an>0∴（2）證明：又∵an>0∴an+1<an∴數(shù)列是遞減數(shù)列。小結(jié)：（1）中，an>0這是因?yàn)閍n為真數(shù)，解答過程要仔細(xì)，根據(jù)限制條件，做到合理取舍（2）中轉(zhuǎn)化技巧實(shí)質(zhì)上是分子分母雙雙同時“有理化”。例三解：(1)a3=3a2-2a1=7a4=3a3-2a2=15a5=3a4-2a3=31(2)a6=3a5-2a4=63a7=3a6-2a5=127即127為這個數(shù)列的第七項(xiàng)an≥an+1六、1.D2.B3.B4.B5.C6.2an≥an+1an≥an-1an≥an-1∴∴nn≥8n≤9第二節(jié)等差數(shù)列三、1.C2.D3.B4.B5.A6.C四、1.解法1：設(shè)這個數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d,則.S奇＋S偶S奇＋S偶＝354S偶＝192，S奇＝162.解法2:又S偶－S奇＝6d，∴d=5.2.解：數(shù)列的公差∴.由an>0,得3n－60<0,即n<21.∴數(shù)列的前20項(xiàng)是負(fù)數(shù)，第20項(xiàng)以后的項(xiàng)都為非負(fù)數(shù)。設(shè)Sn,分別表示數(shù)列和的前n項(xiàng)之和當(dāng)n≤20時，當(dāng)n≥20時,==n≤20,n＞20.∴n≤20,n＞20. 3.分析：1：將已知條件代入求和公式，利用二次函數(shù)知識求解。解法1：∵∴，∴∴==∵a1>0,∴∵∴若為偶數(shù)，當(dāng)時，Sn最大.若為奇數(shù)，當(dāng)時,Sn最大.分析2：利用二次函數(shù)知識求解解：依題意∴,此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)。∵a1>0.(≠m),∴d<0.此二次函數(shù)的圖象開口向下?！摺鄷r，最大，但中，.∴若為偶數(shù)，當(dāng)時，Sn最大.若為奇數(shù)，當(dāng)時，Sn最大.五、1.A2.C3.B4.25.－1106.【解析】(1)依題意，有2a22a2+11d>0,①A3A3+6d<0.②又∵a3=12.∴a1=a3-2d=12-2d.③把③分別代入①、②中，得24+7d>024+7d>03+d<03+d<0∴（2）＝==∵∴故當(dāng)n=6時，Sn有最大值?！嘣赟1，S2……，S12中，S6最大.六、1.A2.C3.C4.A5.C6.7.108.09.【解析】（1）設(shè)數(shù)列.(2).(3)是首項(xiàng)為149，公差為-3的等差數(shù)列。當(dāng)時，。當(dāng)。綜上所述，第三節(jié)等比數(shù)列二、1.如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)之比都等于同一常數(shù)q，這個數(shù)列叫等比數(shù)列.q叫等比數(shù)列的公比。2.an=a1qn-1SnSn4.①am+an=ap+aq②a1<0,0<q<1,a1>0,0<q<1或a1<0q>1三、1.D2.B3.4.5125(n=1)2n-1(n5(n=1)2n-1(n≥2)四、例一a=6解解：設(shè)原來的等比數(shù)列的三項(xiàng)分為a=6解或則或q=3q=3∴原等比數(shù)列為2，6，18或例二解：設(shè)an+1＋x=3(an+x)則an+1=3an+2x∴2x=2得x=1∴an+1=3an+2可化為an+1+1=3(an+1)∴是以a1+1=3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列故例三解：若q=1時，則≠2Sq∴q≠1由已知可得∴q3(2q6―q3―1)=0∴∵q≠1∴293+1=0得q=5，（n=1）25，（n=1）2n-1,(n≥2)五、1.B2.C3.A4.5.an=6.解:∵①對任意正整數(shù)n都成立∴當(dāng)n≥2時,有②①－②可得(n≥2)∴14(n=1)2n+1(n=2,3……14(n=1)2n+1(n=2,3……)所以an=顯然①S1=an=14②當(dāng)n≥2時Sn=a1+a2+a3+……+an=14+23+24+25+……+2n+1=14+綜上可得Sn=2n+2+6六、1.B2.B3.B4.C5.A6.677.8.q=19.解：(I)∵lga1,lga2,lga4成等差數(shù)列∴2lga2=lga1+lga4,即設(shè)等差數(shù)列(II)如果無窮等比數(shù)列∴n≥10故到2013年底，該市所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬m2(2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列三、1.B2.D3.D4.B5.2406.6.解：（1）設(shè)公比為q，則∴(2)設(shè)公差為d,則2=1+(n+1)d,∴(n+1)d=1=四、1.解：∴2.解:均為正整數(shù)∴①∴∴a1q3=8②1+2d+q4=21,1+4d+q2=13,∴8q+8q2=48∴q2+q=6解得：q=2或－3（舍）∴a1=1∴∴1+2d+q4=21,1+4d+q2=13,3.解：（I）設(shè)的公差為d，的公比為q,則依題意有q>0且解得d=2,q=2.所以an=1+（n-1）d=2n-1,bn=qn-1=2n-1.(II)Sn=1+①2Sn=2+②②-①得Sn=2+2+,=2+2×=2+2×=6-.五、1.D2.C3.C4.6或75.26.解：（1）M,An,Bn共線，∴∴an=2n∵的第三項(xiàng)為8，公比為4，∴,a1+a2+……+an=n(n+1)∴a1b1+a2b2+……+anbn=(2n-3)n(n-1)同理a1b1+a2b2+……an-1bn-1=(2n-5)(n-1)n∴anbn=(2n-3)n(n+1)-(2n-5)(n-1)n=n(6n-8)=2nbn∴bn=3n-4∴故點(diǎn)列在同一條直線上，方程為y+1=3(x-1)即3x-y-4=0六、1.A2.C3.C4.B5.C6.357.-88.-29.(I)解：方程x2-(3k+2k)x+3k·2+=0的兩個根為x1=3k,x2=2k.當(dāng)k=1時，x1=3,x2=2,所以a1=2;當(dāng)k=2時，x1=6,x2=4,所以a3=4;當(dāng)k=3時，x1=9,x2=8,所以a3=8;當(dāng)k=4時，x1=12,x2=16,所以a7=12;因?yàn)閚≥4時，2n>3n,所以a2n=2n(n≥4)(II)S2n=a1+a2+…+a2n=(3+6+…+3n)+(2+22+…+2n)=10.解（I）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q(q∈R),由a7=a1q6=1,得a1=q-6,從而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1.因?yàn)閍4,a5+1,a6成等差數(shù)列，所以a4+a6=2(a5+1),即q-3+q-1=2(q-2+1),q-1(q-2+1)=2(q-2+1).所以q=,故an=a1qn-1=q-6qn-1=64().(II)Sn=快餐：1B2C3C4B562600第五節(jié)數(shù)列的通項(xiàng)及求和答案3(n=1)3(n=1)2n(n>1)三、1.2.3.n24.105.4n2n(n>1)四、例一解：（1）易求an=10-2n(2)∴=要使總成立，需恒成立,即m<8，∴m的最大值為7五、1.C2.C3.C4.1205.6.解：(1)a2=a1+(-1)1=0a3=a2+31=3a4=a3+(-1)2=4a5=a4+32=13∴a3=3a5=13(2)a2k+1=a2k+3k=a2k-1+(-1)k+3k∴a2k+1-a2k-1=3k+(-1)k同理a2k-1-a2k-3=3k-1+(-1)k-1a3-a1∴(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+……+a3-a1=(3k+3k-1+……3)+[(-1)k+(-1)k-1+…+(-1)]得=an的通項(xiàng)公式為n為奇數(shù)時n為偶數(shù)時六、(一)1.B2.B3.B4.C5.B（二）1.-2.1103.100a100a1+a2+a3=7,(三)1.解：（1）由已知得：解得：a2=2.設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為q，由a2=2,可得a1=又S3=7，可知即2q2-5q+2=0,解得q1=2,q2=.由題意得q>1,∴q=2.∴a1=1.故數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)為an=2n-1.(2)由于bn=1na3n+1,n=1,2,…，由（1）得an+1=23n∴bn=1n23n=3nln2又bn+1-bn=3ln2n∴｛bn｝是等差數(shù)列?！郥n=b1+b2+…+bn===故Tn=2.解（1）由an=整理得1-an=-(1-an-1).又1-a1≠0，所以｛1-an｝是首項(xiàng)為1-a1,公比為-等比數(shù)列，得an=1-(1-a1)(-)(2)方法一：由（1）可知0<an<,故bn>0.那么，b=a(3-2an+1)-an2(3-2an)=又由（1）知an>0且an≠1,故b因此bn<bn+1，n為正整數(shù)。方法二：由（1）可知0<an<，an≠1,因?yàn)閍n+1=所以bn+1=an+1由an≠1可得an(3-2an)<()3,即an2(3-2an)<()即bn<bn+1,n為正整數(shù)?？觳停?。C2。B3。B4。B5。1或136。-92第六節(jié)數(shù)學(xué)歸納法（答案）二、1.(1)P1,P0(2)Pk,Pk+12.(1)n0,n0=1(2)n=k,k+1三、1.C2.B3.B4.B5.k3+5k+3k(k2+1)+66.1×4+2×7+……+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]2四、證明：（1）當(dāng)n=1時,左邊=1=右邊顯然成立（2）假設(shè)n=k時，命題成立，即1+4+7+……+(3k-2)=則n=k+1時，=即n=k+1時等式也成立由（1）（2）知，對任何等式成立2.證明：（1）當(dāng)n=1時，f(1)=(2×1+7)×3+9=36,能被36整除（2）假設(shè)n=k時，f(k)能被36整除即能被36整除則當(dāng)n=k+1時,f(k+1)=[2(k+1)+7]=由歸納假設(shè)3[]能被36整除而3k-1-1是偶數(shù)∴18(3k-1-1)能被36整除∴f(k+1)能被36整除由（1）（2）可知，對任何能被36整除3.證明：（1）一個圓將平面分成2個區(qū)域，而當(dāng)n=1時，n2-n+2=2,因此結(jié)論當(dāng)n=1時成立（2）假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即k個圓最多把平面分成k2-k+2個區(qū)域，在此基礎(chǔ)上增加一圓，為使區(qū)域最多，應(yīng)使新增的圓與前k個圓都交于兩點(diǎn)，于是新增2k個交點(diǎn)。這2k個交點(diǎn)將新圓分成2k段弧，這2k段弧將所有經(jīng)過的區(qū)域一分為二，因此新增2k個區(qū)域，這樣k+1個圓最多把平面分成(k2-k+2)+2k=(k+1)2-