24.2直角三角形的性質(zhì)第24章

解直角三角形【2025-2026學(xué)年華東師大版】數(shù)學(xué)

九年級上冊

授課教師：********班級：********時(shí)間：********24.2直角三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握直角三角形的基本概念，理解并能熟練運(yùn)用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)（重點(diǎn)）。理解并掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一重要性質(zhì)，能運(yùn)用該性質(zhì)解決相關(guān)幾何問題（重點(diǎn)）。掌握直角三角形中30°

角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，明確其逆命題的正確性及應(yīng)用場景（重點(diǎn)）。經(jīng)歷直角三角形性質(zhì)的探究過程，通過觀察、猜想、驗(yàn)證和推理，培養(yǎng)邏輯思維能力和幾何證明能力（難點(diǎn)）。體會(huì)直角三角形性質(zhì)在實(shí)際生活和幾何推理中的廣泛應(yīng)用，增強(qiáng)對幾何知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)直角三角形兩銳角互余。直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。直角三角形中30°

角所對的直角邊等于斜邊的一半。教學(xué)難點(diǎn)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)的推導(dǎo)及靈活應(yīng)用。綜合運(yùn)用直角三角形的各項(xiàng)性質(zhì)解決復(fù)雜的幾何問題。直角三角形的定義有一個(gè)角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形。其中，直角所對的邊叫做斜邊，另外兩條邊叫做直角邊。通常用符號“Rt△”表示直角三角形，例如直角三角形ABC可表示為Rt△ABC，其中∠C為直角，AB為斜邊，AC、BC為直角邊。直角三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：直角三角形的兩銳角互余內(nèi)容：在直角三角形中，兩個(gè)銳角的和等于90°。推導(dǎo)：因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180°，在Rt△ABC中，∠C=90°，所以∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°。幾何語言：在Rt△ABC中，∠C=90°，則∠A+∠B=90°。應(yīng)用示例：在Rt△ABC中，∠A=35°，求∠B的度數(shù)。解答：因?yàn)镽t△ABC中，∠A+∠B=90°，∠A=35°，所以∠B=90°-35°=55°。性質(zhì)2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半內(nèi)容：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。推導(dǎo)：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線。求證：CD=1/2AB。證明：延長CD至點(diǎn)E，使DE=CD，連接AE、BE。因?yàn)镃D是斜邊AB上的中線，所以AD=DB。又因?yàn)镈E=CD，∠ADC=∠BDE（對頂角相等），所以△ADC≌△BDE（SAS）。則AC=BE，∠ACD=∠E。所以AC∥BE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）。因?yàn)椤螦CB=90°，所以∠CBE=90°。又因?yàn)锳C=BE，BC=CB，所以△ACB≌△EBC（SAS）。則AB=CE。因?yàn)镃D=1/2CE，所以CD=1/2AB。幾何語言：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，則CD=AD=DB=1/2AB。應(yīng)用示例：在Rt△ABC中，斜邊AB=10cm，求斜邊上的中線CD的長度。解答：因?yàn)樵赗t△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，所以CD=1/2AB。又因?yàn)锳B=10cm，所以CD=1/2×10=5cm。性質(zhì)3：直角三角形中30°

角所對的直角邊等于斜邊的一半內(nèi)容：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。推導(dǎo)：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°。求證：BC=1/2AB。證明：取AB的中點(diǎn)D，連接CD。因?yàn)樵赗t△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，所以CD=1/2AB=AD=DB。所以∠A=∠ACD=30°，則∠BDC=∠A+∠ACD=60°。又因?yàn)镃D=DB，所以△BDC是等邊三角形。所以BC=DB=1/2AB。幾何語言：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則BC=1/2AB。逆命題：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°。（該逆命題成立，可作為判定定理使用）應(yīng)用示例：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜邊AB=8cm，求BC的長度。解答：因?yàn)樵赗t△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，所以BC=1/2AB。又因?yàn)锳B=8cm，所以BC=1/2×8=4cm。典例講解例1在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=30°，求∠A、∠B的度數(shù)。分析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，可知∠A+∠B=90°，再結(jié)合∠A-∠B=30°，可聯(lián)立方程組求解。解答：因?yàn)樵赗t△ABC中，∠C=90°，所以∠A+∠B=90°。又因?yàn)椤螦-∠B=30°，聯(lián)立可得方程組：\(\begin{cases}∠A+∠B=90°\\∠A-∠B=30°\end{cases}\)兩式相加可得：2∠A=120°，則∠A=60°。將∠A=60°

代入∠A+∠B=90°，可得∠B=30°。答：∠A的度數(shù)為60°，∠B的度數(shù)為30°。例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，若∠A=60°，BC=6cm，求CD的長度。分析：先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出斜邊AB的長度，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出CD的長度。解答：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，所以∠B=30°。根據(jù)直角三角形中30°

角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得AC=1/2AB。由勾股定理可得：AB2=AC2+BC2。設(shè)AC=x，則AB=2x。又因?yàn)锽C=6cm，所以(2x)2=x2+62，即4x2=x2+36，3x2=36，x2=12，x=2√3（cm）。則AB=2x=4√3cm。因?yàn)镃D是斜邊AB上的中線，所以CD=1/2AB=1/2×4√3=2√3cm。答：CD的長度為2√3cm。例3如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，且AD=BD，求∠B的度數(shù)。分析：根據(jù)AD=BD，可得∠B=∠BAD。因?yàn)锳D平分∠CAB，所以∠CAB=2∠BAD=2∠B。再結(jié)合直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求解。解答：因?yàn)锳D=BD，所以∠B=∠BAD。因?yàn)锳D平分∠CAB，所以∠CAB=2∠BAD=2∠B。在△ABC中，∠C=90°，所以∠CAB+∠B=90°，即2∠B+∠B=90°，3∠B=90°，∠B=30°。答：∠B的度數(shù)為30°。直角三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用綜合應(yīng)用示例如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC上，且DE⊥DF。求證：AE2+BF2=EF2。分析：連接CD，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=AD=BD，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和角的關(guān)系證明△ADE≌△CDF，進(jìn)而得到相關(guān)線段的關(guān)系，最后利用勾股定理證明。證明：連接CD。因?yàn)樵赗t△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，所以CD=AD=BD，∠A=∠ACD，∠B=∠BCD。因?yàn)椤螦CB=90°，所以∠A+∠B=90°，則∠ACD+∠BCD=90°。因?yàn)镈E⊥DF，所以∠EDF=90°，則∠CDE+∠CDF=90°。又因?yàn)椤螦DE+∠CDE=∠ACD+∠CDE=90°（∠A=∠ACD），所以∠ADE=∠CDF。在△ADE和△CDF中，∠A=∠ACD，AD=CD，∠ADE=∠CDF，所以△ADE≌△CDF（ASA），則AE=CF。同理可證△CDE≌△BDF，所以CE=BF。在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，所以AE2+BF2=EF2。課堂練習(xí)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=10，則AC的長為（

）分析：根據(jù)直角三角形中30°

角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BC，再利用勾股定理求出AC。解答：因?yàn)樵赗t△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，所以∠A=30°，則BC=1/2AB=1/2×10=5。由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，即AC2+52=102，AC2=100-25=75，AC=5√3，答案選5√3。如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的中線，若CD=5，AC=6，則BC的長為（

）分析：先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出AB的長度，再利用勾股定理求出BC。解答：因?yàn)樵赗t△ABC中，CD是AB邊上的中線，CD=5，所以AB=2CD=10。由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，即62+BC2=102，BC2=100-36=64，BC=8，答案選8。已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6cm，點(diǎn)D在BC上，AD=DC，求BD的長。分析：先求出BC的長度，再根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)求出DC的長度，進(jìn)而得到BD的長。解答：在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6cm，所以BC=2AC=12cm（直角三角形中30°

角所對的直角邊等于斜邊的一半），∠C=60°。因?yàn)锳D=DC，所以△ADC是等邊三角形，則DC=AC=6cm。所以BD=BC-DC=12-6=6cm。答：BD的長為6cm。如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，點(diǎn)D在AC上，將△ADB沿直線BD翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，如果AD⊥ED，求線段DE的長。分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)得到相關(guān)角和線段的關(guān)系，再結(jié)合直角三角形的性質(zhì)和角度關(guān)系求出DE的長。解答：因?yàn)樵赗t△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，所以AB=2BC=2，AC=√3。由折疊可知，DE=AD，∠A=∠E=30°，∠ADB=∠EDB。因?yàn)锳D⊥ED，所以∠ADE=90°，則∠ADB=∠EDB=(360°-90°)/2=135°，所以∠BDC=180°-135°=45°。因?yàn)椤螩=90°，所以∠DBC=45°，則CD=BC=1。所以AD=AC-CD=√3-1，即DE=√3-1。答：線段DE的長為√3-1。課堂總結(jié)直角三角形具有三個(gè)重要性質(zhì)：兩銳角互余；斜邊上的中線等于斜邊的一半；30°

角所對的直角邊等于斜邊的一半。這些性質(zhì)在幾何證明和計(jì)算中應(yīng)用廣泛，要熟練掌握其幾何語言和推導(dǎo)過程。在解決直角三角形相關(guān)問題時(shí)，要善于結(jié)合圖形，綜合運(yùn)用各項(xiàng)性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，通過分析、推理得出結(jié)論。注意性質(zhì)的逆命題的應(yīng)用，如直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°，可幫助我們快速解決相關(guān)問題。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解新課導(dǎo)入歸納已經(jīng)學(xué)過的直角三角形的性質(zhì).回顧(1)直角三角形的兩個(gè)銳角互余.(2)直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方(勾股定理).直角三角形還具備哪些特殊性質(zhì)呢，接下來我們一起探索.探索畫出Rt△ABC，并畫出斜邊AB上的中線CD，量一量，看看CD與AB有什么關(guān)系.ABCD發(fā)現(xiàn)CD恰好是AB的一半.驗(yàn)證ABCD已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線.求證：CD=AB.證明ABCDE延長CD至點(diǎn)E，使DE=CD，連接AE、BE.∵CD是斜邊AB上的中線，∴

AD=BD又∵DE=CD，∴四邊形ACBE是平行四邊形，ABCDE又∵∠ACB=90°，∴四邊形ACBE是矩形，∴CE=AB，∴CD=CE=AB由此，我們得到直角三角形的又一條性質(zhì)：(3)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.例如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°.求證：BC=ABABC證明作斜邊AB上的中線CD，∵∠A=30°，∴∠B=60°，∴△CBD是等邊三角形.ABCD則CD=AB=AD=BD.(性質(zhì)3)∴BC=BD=AB.由此可知：直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.1.已知直角三角形兩條直角邊的長分別為1cm和cm.求斜邊上中線的長.隨堂演練解:設(shè)斜邊長為x，則x2=12+()2

x2=4

解得x=2由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知，斜邊上中線的長為1cm.2.小明沿傾斜角為30°的山坡，從山腳步行到山頂?shù)母锩沂考o(jì)念碑，共走了120m.求山頂?shù)母叨?解:由題意可畫出如圖的直角三角形.

其中AB=120m，∠B=30°.

由30°角所對直角邊等于斜邊的

一半可知AC=60m.

即山頂?shù)母叨葹?0m.ABCB返回1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，若AB＝4，則CD的長為(

)A．1B．2C．3D．4B返回2．如圖，一根木棍斜靠在與地面(OM)垂直的墻(ON)上，設(shè)木棍的中點(diǎn)為P，若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行，在此滑動(dòng)過程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離(

)A．變小

B．不變C．變大

D．無法判斷70°返回3．如圖，在Rt△ABC中，D是AB的中點(diǎn)．(1)若∠A＝20°，則∠BCD＝________；(2)若∠BDC＝60°，AB＝6，則BC＝________；(3)若CD＝3，BC＝2，則AC＝________．34．如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一點(diǎn)，且AD⊥AB，E是BD的中點(diǎn)，連結(jié)AE.求證：∠AEC＝∠C．返回C5.如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝4，則AC的長為(

)A．1B．1.5C．2D．2.5返回D返回6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則AP的長不可能是(

)A．3.5B．4.2C．5.8D．7返回7.如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測量學(xué)校A與河對岸公園B之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)C，測量出AC＝3km，利用測量儀器測得∠A＝30°，∠C＝90°，則學(xué)校與公園之間的直線距離AB＝________km.返回38．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BD＝1，則AD＝________．9．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AD⊥AB交BC于點(diǎn)D，AD＝4，求BC的長．返回解：∵AD⊥AB，∠B＝30°，∴BD＝2AD＝8，∠ADB＝60°，∵∠C＝30°，∴∠DAC＝∠ADB－∠C＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴DC＝AD＝4，∴BC＝BD＋DC＝8＋4＝12.10．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的點(diǎn)，DE