小測卷(二十八)利用空間向量求距離1．解析：由正方體的性質知，AB1∥DC1，D1B1∥DB，AB1∩D1B1＝B1，DC1∩DB＝D，易得平面AB1D1∥平面BDC1，則兩平面間的距離可轉化為點B到平面AB1D1的距離．以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則Aa，0，0，B所以CA1連接A1C，由CA1且AB1∩B1D1＝B1，可知A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一個法向量為n＝1，?1，1，則兩平面間的距離d＝BA·n答案：C2．解析：因為在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，不妨設AB＝d，AD＝|d|＝|b|＝|c|＝a，d·b＝0，d·c＝b·c＝a×a×12＝1所以AC1＝|d＋b＋c|＝d2+b2+cC1E·AC1＝?12c·(d＋b＋c)＝－12(c·d＋c所以E到直線AC1的距離為d＝C1E答案：A3．解：(1)證明：因為BC∥平面PAD，BC?平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BC∥AD.取PA的中點F，連接BF、EF，因為E是棱PD的中點，所以EF∥AD且EF＝12AD因為BC∥AD且BC＝12AD，所以EF∥BC且EF＝BC所以四邊形BCEF為平行四邊形，則CE∥BF，因為CE?平面PAB，BF?平面PAB，所以CE∥平面PAB.(2)取AD的中點O，連接PO，CO.因為△PAD是正三角形，所以PO⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，因為BC∥AD，BC＝12AD，O為AD的中點，所以BC∥AO且BC＝AO所以四邊形ABCO為平行四邊形，則CO∥AB，因為AB⊥AD，則CO⊥AD，以點O為坐標原點，OC、OD、OP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，－1，0)、C(1，0，0)、P0，0，3、D(0，1，0)，所以AC設DE＝λDP＝λ0，?1，3＝0，?λ，則AE＝AD+DE＝(0，2，0)＋設平面ACE的法向量n＝(x1，y1，z1)，所以n令z1＝2－λ，得n＝3λ，?設點B到平面ACE距離為d，d＝AB·當λ＝0時，d＝0；當0<λ≤1時，1λ≥1，則0<d＝3當且僅當λ＝1時等號成立．綜上，點B到平面ACE距離的取值范圍是0，214．解：(1)證明：取AC的中點O，連接A1O，BO，∠A1AC＝60°，A1A＝2，AO＝1，所以A1O＝3，A1O⊥AC，由題設可知，△ABC為邊長為2的等邊三角形，所以BO＝3，由A1B＝6，A1B2＝A1O2＋BO2，所以A1O⊥BO，又AC∩BO＝O，AC，BO?平面ABC，所以A1O⊥平面ABC，因為A1O?平面A1ACC1，所以平面A1ACC1⊥平面ABC.(2)以OA所在直線為x軸，以OB所在直線為y軸，以OA1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，所以A(1，0，0)，B0，3，0，C(－1，0，0)，C1?2，0，BA1＝0，?3，3，設CM＝λCC1(0≤λ≤1)，可得M?λ?1，0，設平面A1BM的法向量為m＝(x，y，z)，則m即?3y+3z＝0，?1?λx?3y+3λz＝0，取y＝λ＋1，則所以m＝(3(λ－1)，λ＋1，λ＋1)，因為OA1＝0，0，3設平面A1BM與平面ABC的夾角為θ，cosθ＝m·解得λ＝15，所以M?MA1＝65，0，所以點M到直線A1B1距離d＝MA15．解：(1)如圖1，記平面α與直線CD，PD的交點分別為E，F(xiàn)，則平面AEF為平面α，因為平面AEF∥平面PBC，平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面PBC∩平面ABCD＝BC，所以AE∥BC，同理EF∥PC，又AB∥CD，即AB∥EC，所以四邊形ABCE是平行四邊形，故EC＝AB＝1，又CD＝2，故E是CD的中點，由中位線定理的推論，可知F是PD的中點，由條件易得SABCD＝12(AB＋CD)·AD＝12×(1＋2)×1＝32，S由PD⊥底面ABCD，得VF-ADE＝13SADE·DF＝13×12×DF＝16DF，故平面α將四棱錐P-ABCD分成兩部分幾何體的體積之比為15或5(2)由CD，PD，DA兩兩垂直，建立空間直角坐標系如圖2，記PD的長為t，則P(0，0，t)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，E(0，1，0)，則EC＝(0，1，0)，BC＝(－1，1，0)，PC＝(0，2，－t)，設平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，則有n·BC＝0，n取y＝t，得平面PBC的法向量n＝(t，t，2)，由條件易知點E到平面PBC距離為EC·nn＝66，即t2所以n＝(1，1，2)，PA＝(1，0，－1)，故直線PA與平面PBC所成角θ滿足sinθ＝PA·6．解：(1)在圖①中，連接AC，交BE于O，∵四邊形ABCE是邊長為2的菱形，∠BCE＝60°，∴AC⊥BE，OA＝OC＝3，在圖②中，相交直線OA，OC1均與BE垂直，∴∠AOC1是二面角A-BE-C1的平面角，∵AC1＝6，∴OA2＋OC12＝AC12，∴OA⊥OC1，∠AOC1＝90°，∴平面(2)以O為坐標原點，OA，OB，OC1正方向為x則D32，?32，0，C10，0，3，A∴DC1＝?32，AC1＝?3，0，設DP＝λDC1＝?則AP＝AD