小測(cè)卷(二十四)與球有關(guān)的切、接問題1．解析：如圖所示：設(shè)△ABC的中心為O1，則OO1⊥平面ABC，又O1B?平面ABC，故OO1⊥O1B，因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以O(shè)1B＝23又因?yàn)榍騉的表面積為8π，所以4πR2＝8π，解得R＝2，即OB＝2，所以O(shè)O1＝OB2即球心O到平面ABC的距離為63答案：B2．解析：依題意，作球的剖面圖如下：其中，O是球心，E是圓錐的頂點(diǎn)，EC是圓錐的母線，由題意可知43πR3＝36π，R則OD＝1，DE＝3－1＝2，DC＝32?12＝2∴圓錐的側(cè)面積為S＝12·EC·2π·DC＝12×23×2π答案：B3．解析：作出圖象如圖所示，由已知得球心在幾何體的外部，設(shè)球心到幾何體下底面的距離為x，則R2＝x2＋522＝(x＋1)2＋522，解得x＝2，∴R2＝∴該球體的體積V＝4π3×412答案：C4．解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的高為2＋4?r所以圓錐的體積V＝13πr22+令t＝4?r2(0≤t<2)，則r2＝4－t所以V(t)＝13π(4－t2)(2＋t)＝13π(－t3－2t2＋4則V′(t)＝13π(－3t2－4t＋4)＝－13π(t＋2)(3當(dāng)0≤t<23時(shí)，V′(t)>0，當(dāng)23<t<2時(shí)，V′(所以V(t)在0，23所以當(dāng)t=23，即r=423時(shí)，圓錐的體積最大，此時(shí)圓錐的高為83，母線長(zhǎng)為l=設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為R，圓錐的截面如圖所示，則AD=83，AC=463，DC=423，AO=83-R，因?yàn)椤鰽OE∽△ACD，所以O(shè)ECD=AOAC，R4答案：D5．解析：由題意，設(shè)球O的半徑為R，則43πR3＝6π?R＝6由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝52?AC＝10△ABC外接圓半徑r＝AC2根據(jù)線面垂直模型知：R2＝PA24＋r2?PA＝2×答案：A6．解析：將該多面體放入正方體中，如圖所示．由于多面體的棱長(zhǎng)為1,所以正方體的棱長(zhǎng)為2，因?yàn)樵摱嗝骟w是由棱長(zhǎng)為2的正方體連接各棱中點(diǎn)所得，所以該多面體外接球的球心為正方體體對(duì)角線的中點(diǎn)，其外接球直徑等于正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，即2R＝2×2，所以所以該多面體外接球的體積V＝43πR3＝4π答案：A7．解析：棱長(zhǎng)為2的正方體的外接球的直徑2R＝4+4+4＝23，故半徑R＝所以牟合方蓋的體積為433π×43πR3＝4所以正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為23－163答案：C8．解析：設(shè)外接球球心為O，等邊三角形ABC的外心為O1，等邊三角形A1B1C1的外心為O2，O1，O，O2三點(diǎn)共線，則O1O2是正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的高，設(shè)臺(tái)體的高為h，設(shè)外接球的半徑為R，過B作BD⊥B1O2，垂足為D，根據(jù)正棱臺(tái)的性質(zhì)可知BD∥O1O2，BD＝O1O2，設(shè)等邊三角形ABC的外接圓半徑為r1，由正弦定理得r1＝23設(shè)等邊三角形A1B1C1的外接圓半徑為r2，由正弦定理得r2＝62在直角三角形BB1D中，BD＝422?所以O(shè)1O2＝23+1當(dāng)球心O在O1O2線段上，則R2?22+當(dāng)球心O在O1O2的延長(zhǎng)線上時(shí)，則R2?2所以正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的外接球表面積為4π×42＝64π.答案：B9．解析：設(shè)梯形ABCD為圓臺(tái)的軸截面，則內(nèi)切圓O為圓臺(tái)內(nèi)切球的大圓，如圖，設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，則O1，O，O2共線，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD，連接OD，OE，OA，則OD，OA分別平分∠ADC，∠DAB，故∠OAD＋∠ODA＝π2，∠DOA＝π2，OE⊥故R2＝r1r2＝3，解得R＝3，故圓臺(tái)的高為2R＝23，母線長(zhǎng)為r1＋r2＝4，圓臺(tái)的表面積為π(12＋32)＋π(1＋3)×4＝26π，球O的表面積S＝4πR2＝12π.答案：ACD10．解析：如圖，取棱AB的中點(diǎn)D，連接CD，PD，則正三棱錐P-ABC中，AB⊥CD，AB⊥PD.因?yàn)镻D，CD?平面PCD，且PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PCD，則AB⊥PC，故A正確；作PH⊥平面ABC，垂足為H，則PH＝6.由正三棱錐的性質(zhì)可知H在CD上，且CH＝2DH.因?yàn)锳B＝3，所以CD＝332，則CH＝因?yàn)镻H＝6，所以PC＝3+6＝3，則三棱錐P-ABC的表面積S＝34設(shè)三棱錐P-ABC的外接球的球心為O，半徑為R，則O在PH上，連接OC，則R2＝CH2＋OH2＝(PH－OH)2，即R2＝3＋OH2＝6?OH2，解得R2＝27則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4πR2＝27π2設(shè)三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的半徑為r，則VP-ABC＝13×解得r＝64，從而三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面積為4πr2＝3π答案：ABD11．解析：因?yàn)镾＝πrl＝3πl(wèi)＝23π，解得l＝2，即圓錐母線長(zhǎng)為2，則高h(yuǎn)＝1，設(shè)圓錐外接球半徑為r2，如圖，則在△AOO2中，由勾股定理得AO22＝AO2+OO22，即r22＝外接球表面積為S＝4πr2設(shè)內(nèi)切球O1的半徑為r1，O1D垂直于PA交于點(diǎn)D，如圖，則在△PDO1中，PO12＝DO12＋PD2，即(1－r1)2＝r12過點(diǎn)P作平面α，截圓錐OP的截面面積最大時(shí)，如圖，因?yàn)閔<r，故恰好△PAC為等腰直角三角形時(shí)取到最大值，點(diǎn)C在圓錐底面上，S△PAC＝12設(shè)圓錐OP有一內(nèi)接長(zhǎng)方體，其中一個(gè)上頂點(diǎn)為E，上平面中心為O3，EO3＝r3，如圖，則PO3＝33r當(dāng)長(zhǎng)方體上平面為正方形時(shí)，上平面面積最大，長(zhǎng)方體體積為V＝12(2r3)2·1?33r3，V當(dāng)r3∈0，23時(shí)，V′>0，當(dāng)r3∈23故Vmax＝12432·1?答案：ACD12．解析：如圖，將四面體ABCD補(bǔ)成直三棱柱ADE-BFC.因?yàn)楫惷嬷本€BC和AD所成角的余弦值為22所以cos∠CBF＝±223，sin∠CBF＝當(dāng)cos∠CBF＝22由余弦定理可得CF＝BC2由正弦定理可得底面外接圓(M為圓心)的直徑2r＝CFsin而MO＝AB2＝1，所以球O的半徑R＝MO所以球O的表面積S＝4πR2＝10π.當(dāng)cos∠CBF＝－223時(shí)，CF＝同理可得球O的半徑R＝1062，所以球O的表面積S＝4πR2答案：AC13．解析：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，圓臺(tái)上、下底面圓半徑分別為r1，r2，則圓臺(tái)的高h(yuǎn)＝2r＝22，如圖為圓臺(tái)的軸截面圖形，可得母線長(zhǎng)l＝r1＋r2，故S圓臺(tái)＝πr1+r22+r1故V圓臺(tái)＝13h·πr答案：14214．解析：若球O半徑為r，則43πr3＝36π，可得r又外接球的球心O在正六棱錐的內(nèi)部，如圖所示，若H為底面中心，正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為a，底面邊長(zhǎng)為b，易知HA＝HD＝b，則體高PH＝a2?b2>3，且OH＝a2?b2－3，則OA2＝OH2＋HA2?r2＝a2?b2?3所以PH＝a26>3，即a由棱錐的體積V＝13令t＝a2>18，f(t)＝t2－t336?f′(t)＝t當(dāng)18<t<24時(shí)f′(t)>0，f(t)遞增；當(dāng)t>24時(shí)f′(t)<0，f(t)遞減；所以f(t)max＝f(24)＝242－24336＝192，故Vmax＝當(dāng)且僅當(dāng)a＝26，b＝22時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)答案：16315．解析：設(shè)圓柱的底面半徑為R，小球的半徑為r，且r<R，由圓柱與球的性質(zhì)知AB2＝(2r)2＝(2R－2r)2＋(2R－2r)2，即r2－4Rr＋2R2＝0，∵r<R，∴r＝2?2R＝2?∴球A的體積為V＝43πr3＝4球B的表面積S1＝4πr2＝4π，圓柱的側(cè)面積S2＝2πR·2R＝4πR2＝6+42∴圓柱的側(cè)面積與球B的表面積之比為3+22答案：4π16．解析：由題意可將四面體ABCD放在一個(gè)長(zhǎng)方體中，如圖所示，設(shè)長(zhǎng)寬高為a，b，c，則a2+設(shè)外接球的半徑為R1，則R1＝a2在△ABC中，cos∠ABC＝55，則sin∠ABC＝2設(shè)△ABC的外接圓