7．1基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積[課標(biāo)要求]1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡單的實(shí)際問題．3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖．【必備知識】1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2．直觀圖(1)畫法：空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫．(2)規(guī)則：①夾角：原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸(或y′軸)垂直．②方向：原圖形中與x軸、y軸、z軸平行的，在直觀圖中與x′軸、y′軸、z′軸平行．③長度：原圖形中與x軸、z軸平行的，在直觀圖中長度不變，原圖形中與y軸平行的，長度變成原來的．3．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式名稱圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l4.空間幾何體的表面積與體積公式幾何體表面積體積柱體S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底·h錐體S表面積＝S側(cè)＋S底V＝13S底·臺體S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝13(S上＋S下球S＝4πR2V＝43πR【必記結(jié)論】1．與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等(祖暅原理)．2．直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系S直觀圖＝24S原圖形，S原圖形＝22S【基點(diǎn)診斷】1．判斷下列說法正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)菱形的直觀圖仍是菱形．()(2)棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分．()(3)用兩個(gè)平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．()(4)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是()A．四棱臺B．四棱錐C．四棱柱D．三棱柱解析：選C.由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，盛水部分的幾何體是四棱柱．3．如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的體積之比為()A．1∶2B．2∶3C．3∶4D．4∶5解析：選B.設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，則球的體積V1＝43πR3，圓柱的體積V2＝πR2·2R＝2πR3，∴V1∶V2＝43πR3∶2πR4．已知正四棱錐的側(cè)面都是等邊三角形，它的斜高為3，則這個(gè)正四棱錐的體積為_______.解析：如圖所示，因?yàn)镻C＝3，△PAB為等邊三角形，所以AC＝1，PA＝2，所以O(shè)C＝AC＝1，在Rt△POC中，PO＝PC所以V＝13答案：45．(人教A版必修二·P118例3)如圖，某種浮標(biāo)由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3m，圓柱高0.6m．如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要涂料________kg.(π取3.14)解析：一個(gè)浮標(biāo)的表面積為2π×0.15×0.6+4π×答案：423.9題型一基本立體圖形角度1結(jié)構(gòu)特征【例1】(多選)下列說法中正確的是()A．以直角梯形垂直于底面的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓臺B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱C．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐D．棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)解析：選AD.由圓臺定義知A正確；由棱柱定義可知，棱柱是有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊都互相平行的幾何體，故B錯(cuò)誤；底面是正多邊形的棱錐，但不能保證頂點(diǎn)在底面上的射影為底面正多邊形的中心，故C錯(cuò)誤；棱臺是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)，故D正確．角度2直觀圖【例2】已知△ABC是邊長為a的正三角形，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A．616a2B．332C．316a2D．68解析：選A.法一根據(jù)題意，建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系，再按照斜二測畫法畫出其直觀圖，如圖②所示．由斜二測畫法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝22O′C′＝68故S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12a法二易得原圖形△ABC的面積S＝34a2，所以S直觀圖＝2[變式]例2變?yōu)椋阂阎鰽BC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，則原△ABC的面積為____________．解析：法一如圖所示，在直觀圖中，正△A′B′C′的邊長為a，故點(diǎn)A′到底邊B′C′的距離是32a，作A′D′⊥x′軸于點(diǎn)D′，則△A′D′O′是等腰直角三角形，故可得O′A′＝62a.由此可得在平面圖中△ABC的高為6a，原△ABC的面積為12法二易得直觀圖的面積S＝34a2，所以S原圖形＝22S直觀圖＝答案：62a思維升華在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段．注意直觀圖與原圖形中的“三變”“三不變”：“三變”坐標(biāo)軸的夾角改變，與y軸平行的線段的長度改變減半，圖形改變“三不變”平行性不變，與x軸平行的線段長度不變，相對位置不變角度3展開圖【例3】(2024·郴州模擬)已知圓臺的上、下底面圓半徑分別為10和5，側(cè)面積為300π，AB為圓臺的一條母線(點(diǎn)B在圓臺的上底面圓周上)，M為AB的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)B出發(fā)，繞圓臺側(cè)面爬行一周到點(diǎn)M，則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為()A．30B．40C．50D．60解析：選C.圓臺上底面半徑為10，下底面半徑為5，設(shè)母線長為l，則側(cè)面積S＝πl(wèi)(10＋5)＝15πl(wèi)＝300π，解得l＝20.將圓臺所在圓錐的側(cè)面展開如圖所示，且設(shè)扇形所在圓的圓心為O，則線段M1B就是螞蟻經(jīng)過的最短距離．設(shè)OA＝R，扇形的圓心角是α，則由題意知2×5π＝αR①，2×10π＝α(20＋R)②，由①②解得α＝π2，R所以O(shè)M＝OM1＝30，OB1＝OB＝40，則M1B＝OB【對點(diǎn)練習(xí)】1.(1)如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖A′B′C′D′是邊長為2的菱形，且O′D′＝2，則原平面圖形的周長為()A．42＋4 B．46＋4C．82 D．8解析：選B.根據(jù)題意，把直觀圖還原成原平面圖形，如圖所示，其中OA＝22，OD＝4，AB＝CD＝2，則AD＝8+16＝2故原平面圖形的周長為2＋2＋26+2(2)(2024·福州檢測)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F(xiàn)是線段A1B1上的動點(diǎn)，則AF＋FC1的最小值為________．解析：將正三棱柱ABC-A1B1C1(如圖1)中的△A1B1C1沿A1B1翻折至平面ABB1A1上，如圖2所示，在圖2中，連接AC1，則AF＋FC1≥AC1，因?yàn)锳A1＝A1C1＝2，且∠AA1C1＝90°＋60°＝150°，所以AC1＝2AA1·sin∠AA1C12＝2×所以當(dāng)A，F(xiàn)，C1共線時(shí)，AF＋FC1取得最小值為6+答案：6題型二幾何體的表面積【例4】(1)(2024·濰坊模擬)如圖，圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為60°的扇形．把該圓錐截成圓臺，已知圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為13解析：設(shè)圓錐的底面半徑為R，母線長為l，則R＝1，設(shè)圓臺上底面半徑為r，母線長為l1，則r＝13由已知可得，π3l＝2πR，所以l如圖，作出圓錐、圓臺的軸截面，則有l(wèi)?l1l＝所以圓臺的側(cè)面積為π(R＋r)l1＝4×1+13π＝答案：16(2)(2024·蘭州診斷)攢尖是中國古建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，蘭州市著名景點(diǎn)三臺閣(如圖1)的屋頂部分是典型的攢尖結(jié)構(gòu)．如圖2所示是某研究性學(xué)習(xí)小組制作的三臺閣仿真模型的屋頂部分，它可以看作是不含下底面的正四棱臺和正三棱柱的組合體．已知正四棱臺上底邊、下底邊、側(cè)棱的長度(單位：dm)分別為2，6，4，正三棱柱各棱長均相等，則該結(jié)構(gòu)的表面積為________dm2.解析：正三棱柱的側(cè)面積為2×2×2＝8dm2，底面積為2×12×2×2×sin60°＝23dm2正四棱臺中，側(cè)面梯形的高為4所以正四棱臺的側(cè)面積為4×2+6所以該結(jié)構(gòu)的表面積為8＋23+323＝343答案：343＋8【對點(diǎn)練習(xí)】2.(1)(2023·深圳模擬)以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于()A．8π B．4πC．8 D．4解析：選A.以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體為圓柱，其底面半徑r＝2，高h(yuǎn)＝2，所得圓柱的側(cè)面積S＝2πrh＝2π×2×2＝8π.(2)如圖1是文祥塔，位于浙江省溫州市泰順縣城南象山之上，初名象山塔，后人重修時(shí)易名為文祥塔．已知該塔六面七層且第七層塔身可近似地視為一個(gè)高2.8m、底面邊長為2m的正六棱柱，塔頂可近似地視為一個(gè)高1m的正六棱錐，如圖2所示，則該塔的第七層塔身及其塔頂?shù)谋砻娣e之和約為()A．45.6m2B．45.6+63mC．33.6+65mD．33.6+65+6解析：選A.如圖，設(shè)正六棱錐的底面正六邊形的中心為O，則△OAB為等邊三角形，連接點(diǎn)O與邊AB的中點(diǎn)H，連接PH，由已知可得OH⊥AB，PH⊥AB，因?yàn)檎呅蔚倪呴L為2，所以O(shè)H＝22?12＝3.又正六棱錐的高PO＝1，故正六棱錐的側(cè)面的高為PH＝1題型三幾何體的體積角度1公式法求體積·教考銜接·鏈接高考·【例5】(1)(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3則圓錐的體積為()23πB.33πC.解析:選B.設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑均為r，因?yàn)樗鼈兊母呔鶠?，且側(cè)面積相等，所以2πr×3＝πr3(2)(2025·八省聯(lián)考)底面直徑和母線長均為2的圓錐的體積為()A.33πB.πC.2π解析:選A.由題意知高h(yuǎn)=22?12=3，V=1教材溯源·(人教B版必修四P91)已知一個(gè)正方體和一個(gè)圓柱等高并且側(cè)面積相等，求這個(gè)正方體和圓柱的體積之比.解:設(shè)圓柱和正方體的高均為h，圓柱的底面半徑為R，則由側(cè)面積相等得4?2＝2πR?，∴∴V∴V正方體角度2等體積法求體積【例6】(2020·新課標(biāo)Ⅱ卷)棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1-D1MN的體積為________．解析：如圖，由正方體棱長為2及M，N分別為BB1，AB的中點(diǎn)，得S△A1MN＝2×2－2×12又易知D1A1為三棱錐D1-A1MN的高，且D1A1＝2，∴VA1-D1MN＝VD1-A1MN＝13·S△A1MN·D答案：1角度3割補(bǔ)法求體積【例7】如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形ABCD是邊長為2的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥CD，EF＝4，則該木楔子的體積為()A．823C．423解析：選A.如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，易得EG＝HF＝1，AG＝GD＝BH＝HC＝3.取AD的中點(diǎn)O，連接GO，易得GO＝2，∴S△ADG＝S△BCH＝12∴多面體的體積V＝V三棱錐E-ADG＋V三棱錐F-BCH＋V三棱柱AGD-BHC＝2V三棱錐E-ADG＋V三棱柱AGD-BHC＝13【對點(diǎn)練習(xí)】3.(1)(2024·天津卷)一個(gè)五面體ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1.并已知AD＝1，BE＝2，CF＝3.則該五面體的體積為()A．36B．C．32D．解析：選C.因?yàn)锳D，BE，CF兩兩平行，且兩兩之間距離為1，則該五面體可以分成一個(gè)側(cè)棱長為1的三棱柱和一個(gè)底面為梯形的四棱錐，其中三棱柱的體積等于棱長均為1的直三棱柱的體積，四棱錐的高為32，底面是上底為1、下底為2、高為1的梯形，故該五面體的體積V＝1(2)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，則該棱臺的體積為________．解析：如圖，過A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高，因?yàn)锳B＝2，A1B1＝1，AA1＝2，則A1O1＝12故AM＝12(AC－A1C1)＝22，則A1M＝所以所求體積為V＝13答案：7(3)已知三棱柱ABC-A1B1C1的體積為6，則四面體C-A1BC1的體積為________．解析：如圖，VC-A1BC1＝VA1-BCC1＝VA1答案：2[課下鞏固精練卷(五十三)]基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積__________________________________________________________________【基礎(chǔ)鞏固題】1．下面關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是()A．直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐B．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形C．直平行六面體是長方體D．存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體解析：選D.A中，不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體，A不正確；B中，當(dāng)平面與圓柱的母線平行或垂直時(shí)，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分，B不正確；C中，直平行六面體是平行六面體的側(cè)棱與底面垂直，所以底面可以是平行四邊形，它不是長方體，C不正確；D中，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的四面體C1-ABC，四個(gè)面都是直角三角形，D正確．2．如圖是用斜二測畫法畫出的水平放置的△AOB的直觀圖(圖中虛線分別與x′軸、y′軸平行)，則原圖形△AOB的面積是()A．8 B．16C．32 D．64解析：選C.根據(jù)題意，如圖，原圖形△AOB的底邊OB的長為4，高為16，所以其面積S＝12×4×3．如圖所示的幾何體是從棱長為2的正方體中截去到正方體的某個(gè)頂點(diǎn)的距離均為2的幾何體后的剩余部分，則該幾何體的表面積為()A．24－3π B．24－πC．24＋π D．24＋5π解析：選B.由題意知，該幾何體是從棱長為2的正方體中截去以正方體某個(gè)頂點(diǎn)為球心，2為半徑的18球后的剩余部分，則其表面積＝6×22－3×14×π×22＋18×4×π×4．(2024·廣東肇慶模擬)如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)P處，若該小蟲爬行的最短路程為43，則這個(gè)圓錐的體積為()A．1282π81C．15π3 解析：選A.設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為O，以母線OP為軸可作出圓錐側(cè)面展開圖如圖所示，∵小蟲爬行的最短路程為43，∴PP′＝43，又OP＝∴cos∠POP′＝OP2+OP'2設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，則2πr＝2π3×4，解得r＝43，∴h∴圓錐體積V＝13πr2h＝13π×5．(2024·陜西咸陽模擬)若圓臺的高是3，一個(gè)底面半徑是另一個(gè)底面半徑的2倍，母線與下底面成45°角，則這個(gè)圓臺的側(cè)面積是()A．27π B．272πC．92π D．362π解析：選B.由題意，可作該圓臺的軸截面，如圖所示，則圓臺的高h(yuǎn)＝O1O2＝BE＝3，上底面半徑r＝O2B，下底面半徑R＝O1A，即2O2B＝O1A，母線l＝AB，∠BAE＝45°.在Rt△ABE中，AE＝BE＝3，AB＝32.易知在正方形O2O1EB中，O2B＝O1E，則AO1＝2EO1＝2AE＝6，即O2B＝3.綜上，h＝3，r＝3，R＝6，l＝32，故圓臺的側(cè)面積S＝π(r＋R)l＝π(3＋6)×36．(2024·浙江金華模擬)如圖，S-ABC是正三棱錐且側(cè)棱長為a，E，F(xiàn)分別是SA，SC上的動點(diǎn)，三角形BEF的周長的最小值為2a，則側(cè)棱SA，SC的夾角為()A．30°B．60°C．20°D．90°解析：選A.把正三棱錐沿SB剪開，展開形成三個(gè)全等的等腰三角形，分別為△SBC，△SCA，△SAB′，連接BB′，交SC于點(diǎn)F，交SA于點(diǎn)E，則線段BB′的長就是△BEF的最小周長，BB′＝2a，又SB＝SB′＝a，根據(jù)勾股定理，SB2＋SB′2＝BB′2＝2a2，所以△SBB′是等腰直角三角形，∠BSB′＝90°，所以∠ASC＝90°×13＝30°，所以側(cè)棱SA，SC7．(多選)(2024·邯鄲模擬)攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為θ，這個(gè)角接近30°，若取θ＝30°，側(cè)棱長為21m，則()A．正四棱錐的底面邊長為6mB．正四棱錐的底面邊長為3mC．正四棱錐的側(cè)面積為243m2D．正四棱錐的側(cè)面積為123m2解析：選AC.如圖，在正四棱錐S-ABCD中，O為正方形ABCD的中心，H為AB的中點(diǎn)，則SH⊥AB，設(shè)底面邊長為2am.因?yàn)椤蟂HO＝30°，OH＝AH＝am，所以O(shè)S＝33am，SH＝23在Rt△SAH中，a2＋233解得a＝3，所以正四棱錐的底面邊長為6m，側(cè)面積為12×68．(多選)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45°，則()A．該圓錐的體積為πB．該圓錐的側(cè)面積為43πC．AC＝22D．△PAC的面積為3解析：選AC.依題意，∠APB＝120°，PA＝2，所以O(shè)P＝1，OA＝OB＝3，A選項(xiàng)，圓錐的體積為13×π×32×B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為π×3×C選項(xiàng)，設(shè)D是AC的中點(diǎn)，連接OD，PD(圖略)，則AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P-AC-O的平面角，則∠PDO＝45°，所以O(shè)P＝OD＝1，故AD＝CD＝3?1＝2，則AC＝2D選項(xiàng)，PD＝12+12＝2，所以9．(2024·全國甲卷)已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為r1，下底面半徑均為r2，圓臺的母線長分別為2(r2－r1)，3(r2－r1)，則圓臺甲與乙的體積之比為________．解析：兩圓臺的上、下底面積對應(yīng)相等，則兩圓臺的體積之比為高之比，根據(jù)母線與半徑的關(guān)系可得甲與乙的體積之比為4r答案：610．(2024·北京卷)漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱．若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為65mm，325mm，325mm，且斛量器的高為230mm，則斗量器的高為_____mm，升量器的高為______mm.(不計(jì)量器的厚度)解析：設(shè)升、斗量器的高分別為h1mm，h2mm，升、斗、斛量器的容積分別為V1mm3，V2mm3，V3mm3，因?yàn)樯⒍?、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，所以V3＝10V2，即π×32522×230＝10×π×32522×h2，解得h2＝23.又V2＝10V1，即π×32522×23＝10×π×6522×h1答案：2357.5【綜合應(yīng)用題】11．(2024·寧德質(zhì)檢)中國古代數(shù)學(xué)家很早就對空間幾何體進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，中國傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問題為主的各種形體體積的計(jì)算公式．例如在推導(dǎo)正四棱臺(古人稱方臺)體積公式時(shí)，將正四棱臺切割成九部分進(jìn)行求解．如圖1為俯視圖，圖2為立體切面圖．E對應(yīng)的是正四棱臺中間位置的長方體；B，D，H，F(xiàn)對應(yīng)四個(gè)三棱柱，A，C，I，G對應(yīng)四個(gè)四棱錐．若這四個(gè)三棱柱的體積之和為12，四個(gè)四棱錐的體積之和為4，則該正四棱臺的體積為()A．24B．28C．32D．36解析：選B.如圖，令四棱錐的底面邊長為a，高為h，三棱柱的高為b，依題意，得四棱錐的體積為13a2h＝1，即a2h三棱柱的體積為12ahb＝3，即abh因此b＝2a，于是長方體的體積V＝b2h＝4a2h＝12，所以該正四棱臺的體積為12＋4＋12＝28.12．(2024·廣東惠州模擬)如圖①所示，在高為h的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面恰好在平面A1B1C內(nèi)(如圖②)，則容器的高h(yuǎn)為()A．22 B．3C．4 D．6解析：選B.結(jié)合題圖②知VC-A1B1C1＝113．(2024·山東濟(jì)南二模)17世紀(jì)30年代，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在《不可分量幾何學(xué)》一書中介紹了利用平面圖形旋轉(zhuǎn)計(jì)算球體體積的方法．如圖，AEB是一個(gè)半圓，圓心為O，四邊形ABCD是半圓的外切矩形．以直線OE為軸將該平面圖形旋轉(zhuǎn)一周，記△OCD、陰影部分、半圓AEB所形成的幾何體的體積分別為V1，V2，V3，則下列說法正確的是()A．V1＋V2<V3 B．V1＋V2>V3C．V1>V2 D．V1＝V2解析：選D.由旋轉(zhuǎn)體的概念可得△OCD、陰影部分、半圓AEB所形成的幾何體分別為圓錐、圓柱減去同半徑的半球、半球，易知OE＝DE，設(shè)DE＝OE＝r，故V1＝13πr2×r＝13πr3，V2＝πr2×r－12×43πr3＝13πr3，V3＝12×43πr3＝23πr3，顯然V1＝14．(多選)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，側(cè)面AA1C1C的中心為O，點(diǎn)E是側(cè)棱BB1上的一個(gè)動點(diǎn)，下列判斷正確的是()A．直三棱柱的側(cè)面積是4＋22B．直三棱柱的體積是1C．三棱錐E-AA1O的體積為定值D．AE＋EC1的最小值為22解析：選ACD.因?yàn)樵谥比庵鵄BC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，所以△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，側(cè)面全是矩形，所以其側(cè)面積為1×2×2＋12直三棱柱的體積V＝S△ABC·AA1＝12×1×1×如圖所示，因?yàn)锽B1∥平面AA1C1C，且點(diǎn)E是側(cè)棱BB1上的一個(gè)動點(diǎn)，所以三棱錐E-AA1O的高為定值22，S△AA由該棱柱的側(cè)面展開圖易知(圖略)，AE＋EC1的最小值為AA15．某校高一年級學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)客活動，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去正四棱臺ABCD-EFGH后所得的幾何體，其中AB＝BC＝2EF＝2BF＝6cm，AA1＝4cm，為增強(qiáng)其觀賞性和耐用性，現(xiàn)對該模型表面鍍上一層金屬膜，每平方厘米需要金屬2mg，不考慮損耗，所需金屬膜的質(zhì)量為________mg.解析：由題意，該幾何體側(cè)面4個(gè)面的面積和為4×4×6＝96(cm2)，底面積為6×6＝36(cm2)，正方形EFGH的面積為3×3＝9(cm2)．考慮梯形ABFE，高為BF故正四棱臺的側(cè)面積為4×12×(3＋6)×故該模型的表面積為96＋36＋9＋273＝141+273故所需金屬膜的質(zhì)量為2×141+273＝282+54答案：282＋54316．(2024·溫州模擬)魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具．自1974年魔方問世起，世界上陸續(xù)出現(xiàn)了各種各樣的魔方．魔方愛好者小明擁有一款“Zcube三面體曲面三階魔方”，它的直觀圖如圖所示，它由27個(gè)小塊構(gòu)成(其中，包含18個(gè)棱長為2cm的正方體小塊，9個(gè)底面半徑為2cm，高為2cm的14個(gè)圓柱小塊)，則該魔方的表面積為________cm2；體積為________cm3解析：魔方表面共有30個(gè)邊長為2cm的正方形，故面積為30×22＝120(cm2)，魔方表面共有6個(gè)半徑為2cm的扇形，故面積為6×π·22×14＝6π(cm2魔方表面共有14故面積為9×2π·2×2×14＝18π(cm2故該魔方的表面積為120＋6π＋18π＝(120＋24π)cm2；18個(gè)棱長為2cm的正方體小塊的體積為18×23＝144(cm3)，9個(gè)底面半徑為2cm，高為2cm的14個(gè)圓柱小塊的體積為π·22×14×2×9＝18π(cm故魔方體積為(144＋18π)cm3.答案：120＋24π144＋18π7．2球的切、接問題[題型解讀]與球的切、接問題是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，一般以客觀題的形式出現(xiàn)，考查空間想象能力、計(jì)算能力．其關(guān)鍵點(diǎn)是利用轉(zhuǎn)化思想，把球的切、接問題轉(zhuǎn)化為平面問題或特殊幾何體來解決或轉(zhuǎn)化為特殊幾何體的切、接問題來解決．【必備知識】1．正方體與球(1)內(nèi)切球：內(nèi)切球直徑2R＝正方體棱長a.(2)棱切球：棱切球直徑2R＝正方體的面對角線長2a.(3)外接球：外接球直徑2R＝正方體體對角線長3a.2．長方體與球外接球：外接球直徑2R＝體對角線長a2+b2+c23．正棱錐與球(1)內(nèi)切球：V正棱錐＝13S表·r＝13S底·h(等體積法)，r是內(nèi)切球半徑，(2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E，半徑為r，R2＝(h－R)2＋r2(正棱錐外接球半徑為R，高為h)．4．正四面體的外接球、內(nèi)切球若正四面體的棱長為a，高為h，正四面體的外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，則h＝63a，R＝645．正三棱柱的外接球球心到正三棱柱兩底面的距離相等，正三棱柱兩底面中心連線的中點(diǎn)為其外接球球心．R2＝?柱6．圓柱的外接球R＝?22+r2(R7．圓錐的外接球R2＝(h－R)2＋r2(R是圓錐外接球的半徑，h是圓錐的高，r是圓錐底面圓的半徑)．題型一外接球角度1定義法【例1】(2022·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為33和43，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．100πB．128πC．144πD．192π解析：選A.正棱臺外接球的球心必在過正棱臺上、下底面中心的連線所在直線上．設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑r1，r2，所以2r1＝332r2＝43即r1＝3，r2＝4，設(shè)球心到上下底面的距離分別為d1，d2，球的半徑為R，所以d1＝R2因?yàn)檎馀_的高為1，故|d1－d2|＝1或d1＋d2＝1，即R2?9?解得R2＝25，符合題意，所以球的表面積為S＝4πR2＝100π.思維升華由球的定義確定球心的常見情況：(1)正方體或長方體的外接球的球心是其體對角線的中點(diǎn)．(2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心的連線的中點(diǎn)．(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)．(4)正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得．角度2補(bǔ)形法—存在側(cè)棱與底面垂直【例2】(2024·湖州調(diào)研)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A．6π B．6πC．24π D．86π解析：選A.設(shè)PA＝PB＝PC＝2x，∵E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點(diǎn)，∴EF∥PB，EF＝12PB＝x，AE＝連接CF，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴CF＝3，又∠CEF＝90°，∴CE＝3?x在△AEC中，由余弦定理得cos∠EAC＝x2過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D.∵PA＝PC，∴D為AC的中點(diǎn)，∴cos∠EAC＝ADPA∴2x2+14x＝∴PA＝PB＝PC＝2，又AB＝BC＝AC＝2，∴PA，PB，PC兩兩垂直，即三棱錐P-ABC是以PA，PB，PC為棱的正方體的一部分，∴球O的直徑2R＝2+2+2＝解得R＝62則球O的體積V＝43πR3＝43π×角度3補(bǔ)形法—對棱相等【例3】(2024·江西南昌模擬)在三棱錐P-ABC中，已知PA＝BC＝213，AC＝BP＝41，CP＝AB＝A．77π B．64πC．108πD．72π解析：選A.因?yàn)槿忮F的對棱相等，所以可以把它看成長方體的面對角線，設(shè)長方體的同一頂點(diǎn)三條棱長分別為a，b，c，且長方體的面對角線長為213，41，長方體體對角線為長方體外接球直徑，即為三棱錐外接球的直徑，則2R＝a2+b2+所以球的表面積為4πR2＝77π.思維升華補(bǔ)形法的解題策略(1)側(cè)面為直角三角形，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ秃驼拿骟w，可以還原到正方體或長方體中去求解；(2)有一條側(cè)棱與底面垂直的棱錐補(bǔ)成直棱柱求解．角度4截面法【例4】在三棱錐A-BCD中，AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝2，平面ABD⊥平面CBD，則三棱錐A-BCD外接球表面積為()A．16π3 C．163π3解析：選A.取BD中點(diǎn)M，連接MA，MC，因?yàn)锳B＝AD＝BD＝2，故MA⊥BD，由于平面ABD⊥平面CBD，且交線為BD，MA?平面ABD，故AM⊥平面CBD，又BC＝CD＝2，BD＝2，故△BCD為等腰直角三角形，故MB＝MC＝MD，因此外接球的球心O在AM上，AM＝32AB＝3，BM＝12BD＝1，設(shè)球半徑為R，則OB＝R＝MB2+OM2＝AO?12思維升華與球截面有關(guān)的解題策略(1)定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑．(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，實(shí)現(xiàn)空間問題平面化的目的．【對點(diǎn)練習(xí)】1.(1)在平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD.將其沿對角線BD折成四面體A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD.若四面體A′BCD的頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的體積為()A．3πC．2π解析：選A.如圖，設(shè)BD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).因?yàn)辄c(diǎn)F為底面Rt△BCD的外心，則三棱錐A′-BCD的外接球球心必在過點(diǎn)F且與平面BCD垂直的直線l1上．又點(diǎn)E為底面Rt△A′BD的外心，則外接球球心必在過點(diǎn)E且與平面A′BD垂直的直線l2上，所以球心為l1與l2的交點(diǎn)．又FE∥CD，CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，所以FE⊥平面A′BD，所以球心為點(diǎn)F.又A′B＝A′D＝1，所以BD＝2，又CD＝1，所以BC＝3，球半徑R＝BC2＝32，故V＝43π(2)如圖，某建筑的形狀可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱，某愛好者制作了一個(gè)實(shí)心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為12cm，外層底面直徑為16cm，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為20cm的球面上，則此模型的體積為________cm3.解析：由題意，設(shè)球心為O，模型內(nèi)層圓柱底面的圓心為O1，模型外層圓柱底面的圓心為O2，點(diǎn)A，B分別在圓O1，O2上，如圖，連接AO，BO，AO1，BO2，OO1，則O2在OO1上，因?yàn)锳O＝BO＝10cm，AO1＝6cm，BO2＝8cm，在Rt△AO1O中，由勾股定理得OO1＝AO在Rt△BO2O中，由勾股定理得OO2＝BO所以內(nèi)層圓柱的高h(yuǎn)1＝16cm，外層圓柱的高h(yuǎn)2＝12cm，所以此模型的體積V＝π1622×12＋π1222答案：912π(3)(2024·濟(jì)南質(zhì)檢)若正四面體的表面積為83，則其外接球的體積為______．解析：設(shè)正四面體的棱長為a，則正四面體的表面積為4×34a2＝8法一將正四面體放入正方體內(nèi)，則正四面體的棱為正方體的面對角線，故正方體的棱長x滿足2x＝a，解得x＝2.易知正四面體的外接球即正方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為R，則R滿足2R＝3x，故R＝3，∴外接球的體積為4π法二易求得正四面體的高h(yuǎn)＝a2設(shè)正四面體的外接球半徑為R，則R＝34∴外接球的體積為4π法三易求得正四面體的高h(yuǎn)＝a2設(shè)正四面體的外接球半徑為R，則R2＝(h－R)2＋23×32a2∴外接球的體積為4π答案：43π(4)在四面體S-ABC中，SA⊥平面ABC，在△ABC中，內(nèi)角B，A，C成等差數(shù)列，SA＝AC＝2，AB＝1，則該四面體的外接球的表面積為________．解析：由題意，在△ABC中，內(nèi)角B，A，C成等差數(shù)列，可得2A＝B＋C，因?yàn)锳＋B＋C＝π，可得3A＝π，即A＝π3在△ABC中，由余弦定理的推論可得cosA＝AC2+A解得BC＝3，所以AC2＝AB2＋BC2，所以AB⊥BC，所以該四面體的外接球與該長方體的外接球是相同的，如圖所示，根據(jù)長方體的對角線長等于其外接球的直徑，可得(2R)2＝22＋12＋32，解得R2＝2，所以該四面體的外接球的表面積為S＝4πR2＝8π.答案：8π題型二內(nèi)切球【例5】(1)如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1是一塊石材，測量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若將該石材切削、打磨，加工成幾個(gè)大小相同的健身手球，則一個(gè)加工所得的健身手球的最大體積及此時(shí)加工成的健身手球的個(gè)數(shù)分別為()A．32π3，4 B．C．6π，4 D．32π解析：選D.依題意知，當(dāng)健身手球與直三棱柱的三個(gè)側(cè)面均相切時(shí)，健身手球的體積最大．易知AC＝AB2+BC2＝10，設(shè)健身手球的半徑為R，則12×(6＋8＋10)×R＝1因?yàn)锳A1＝13，所以最多可加工3個(gè)健身手球，于是一個(gè)健身手球的最大體積V＝43πR3＝43π×23＝(2)(2024·浙江慈溪中學(xué)模擬)在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．在鱉臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1，則其內(nèi)切球表面積為()A．3π B．3πC．3?22π D．2解析：選C.因?yàn)樗拿骟wABCD四個(gè)面都為直角三角形，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，所以AB⊥BD，AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥CD，設(shè)四面體ABCD內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，則VABCD＝VO-ABC＋VO-ABD＋VO-ACD＋VO-BCD＝13r(S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD)，所以r＝3因?yàn)樗拿骟wABCD的表面積為SABCD＝S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD＝1＋2，四面體ABCD的體積VABCD＝13×12×所以內(nèi)切球表面積S＝4πr2＝3?22方法指導(dǎo)(1)多面體內(nèi)切球的球心與半徑的確定①內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等．②正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合．③正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合．④體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法．(2)正四面體的內(nèi)切球的半徑r＝612a，其半徑是外接球半徑的三分之一(a【對點(diǎn)練習(xí)】2.(1)(2024·陜西榆林三模)已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱與底面邊長的比值為3，若三棱錐P-ABC外接球的表面積為818π，則三棱錐P-ABCA．1 B．22C．928 解析：選B.如圖，△ABC為等邊三角形，設(shè)D為BC中點(diǎn)，PH⊥平面ABC，AB＝a(a>0)，則PA＝3a，所以AH＝23AD＝設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R，由正棱錐的性質(zhì)可知球心為O在PH上，則OH2＋AH2＝R2，即263a?R2＋33a2＝R2，所以由4πR2＝4π·5464a2＝所以三棱錐P-ABC的高為26(2)已知三棱錐P-ABC的棱長均為4，先在三棱錐P-ABC內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球O1，然后再放入一個(gè)球O2，使得球O2與球O1及三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面都相切，則球O2的表面積為________．解析：設(shè)底面三角形ABC的中心為O，PO⊥底面ABC，則O1，O2在PO上，取BC的中點(diǎn)D，作截面PAD，球O1，球O2與PD切于N，E，連接O1N，O2E，如圖所示．依題意得S△ABC＝12×4×4×sin60°＝43底面ABC的外接圓半徑為2r1＝4sin60°＝43點(diǎn)P到平面ABC的距離為d＝42所以VP-ABC＝13S△PBC＝S△PAB＝S△PAC＝12×4×4×sin60°＝43設(shè)球O1的半徑為R，所以VP-ABC＝VO1-PAB＋VO則1623＝1343故PO1＝6，設(shè)球O2的半徑為r，則rR＝PO2PO1＝所以球O2的表面積為S＝4π662＝2答案：23題型三與球切、接有關(guān)的最值問題【例6】(2024·廣東深圳二模)已知正三棱錐的外接球半徑R為1，則該正三棱錐的體積的最大值為()A．16327B．34C．解析：選C.如圖所示，設(shè)該正三棱錐的高為h，底面外接圓的半徑為r，底面面積為S，由球的截面圓的性質(zhì)，可得OA2＝AO12+OO12，即R2＝r2＋(解得R＝?2+r22?＝1，即r2＝2h－由錐體的體積公式，正四棱錐的體積為V＝13S?＝13×3S△O1BC·h＝13設(shè)f(x)＝(2x－x2)·x＝2x2－x3(0<x<2)，可得f′(x)＝4x－3x2＝x(4－3x)，當(dāng)x∈0，43時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈43，2時(shí)，f′(所以當(dāng)x＝43時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，最大值為f43所以正三棱錐體積的最大值為Vmax＝34思維升華與球切、接有關(guān)最值問題的求解策略(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題：通過引入?yún)?shù)，建立關(guān)于這個(gè)參變量的函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決，有時(shí)要用導(dǎo)數(shù)法求最值．(2)轉(zhuǎn)化為平面幾何問題：根據(jù)題目的特征，尋找或確定一個(gè)數(shù)量關(guān)系比較集中的平面，將題目的其他條件逐步向該平面轉(zhuǎn)移，然后利用幾何方法或三角方法來解決．(3)利用基本不等式：可通過引入變量建立數(shù)學(xué)模型，然后利用基本不等式等求其最值．【對點(diǎn)練習(xí)】3.(2024·新疆烏魯木齊一模)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1＝4，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D在上底面A1B1C1(包括邊界)上運(yùn)動，則三棱錐D-ABC的外接球體積的最大值為()A．46πB．83πC．86πD．123π解析：選C.因?yàn)锳C＝BC＝2，∠ACB＝90°，所以△ABC的外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)O1，且AO1＝BO1＝2，取A1B1的中點(diǎn)E，連接O1E，則O1E∥AA1，所以O(shè)1E⊥平面ABC；設(shè)三棱錐D-ABC的外接球的球心為O，則O在O1E上，設(shè)OO1＝x，DE＝t0≤t≤因?yàn)镺A＝OD＝R，所以2+x2＝4?x2+因?yàn)?≤t≤2，所以74≤x≤2，因?yàn)镽2＝2＋x2，所以8116≤R2即外接球半徑的最大值為6，所以三棱錐D-ABC的外接球的體積的最大值為V＝43π63＝86[課下鞏固精練卷(五十四)]球的切、接問題__________________________________________________________________【基礎(chǔ)鞏固題】1．已知在三棱錐P-ABC中，AC＝2，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，則其外接球體積為()A．4π3C．32π3 D．4解析：選A.AB＝AC2+BC2＝3，設(shè)PB＝h，則由PA＝2PB，可得3+?2＝2h，解得h＝1，可將三棱錐P-ABC還原成如圖所示的長方體，則三棱錐P-ABC的外接球即為長方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為R，則2R2．已知一個(gè)三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個(gè)體積為4πA．63 B．123C．183 D．243解析：選C.根據(jù)已知可得球的半徑等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形內(nèi)切圓的半徑等于1，即底面三角形的高等于3，邊長等于23，所以這個(gè)三棱柱的表面積等于3×23×3．(2024·四川資陽模擬)已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為3，高為6，則三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面積為()A．3πC．6πD．12π解析：選A.如圖，取棱AB的中點(diǎn)D，連接CD，作PH⊥平面ABC，垂足為H，則PH＝6.由正三棱錐的性質(zhì)可知H在CD上，且CH＝2DH.因?yàn)锳B＝3，所以CD＝332，則CH＝3.因?yàn)镻H＝6，所以PC＝3+6＝3，則三棱錐P-ABC的表面積S＝34×9×4＝93，設(shè)三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的半徑為r，則VP-ABC從而三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面積為4πr2＝3π4．(2024·江蘇南京、鹽城一模)三星堆古遺址作為“長江文明之源”，被譽(yù)為人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一．3號坑發(fā)現(xiàn)的神樹紋玉琮，為今人研究古蜀社會中神樹的意義提供了重要依據(jù)．玉琮是古人用于祭祀的禮器，有學(xué)者認(rèn)為其外方內(nèi)圓的構(gòu)造，契合了古代“天圓地方”觀念，是天地合一的體現(xiàn)．如圖，假定某玉琮形狀對稱，由一個(gè)空心圓柱及正方體構(gòu)成，且圓柱的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，圓柱的高為12cm，圓柱底面外圓周和正方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O上，則球O的表面積為()A．72πcm2 B．162πcm2C．216πcm2 D．288πcm2解析：選C.不妨設(shè)正方體的邊長為2a，球O的半徑為R，則圓柱的底面半徑為a，因?yàn)檎襟w的體對角線即為球O直徑，故2R＝2利用勾股定理得62＋a2＝R2＝3a2，解得a2＝18，球的表面積為S＝4πR2＝4π×3×18＝216π.5．(2024·青島調(diào)研)一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱(底面為等邊三角形，側(cè)棱與底面垂直)的兩個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面都相切，若棱柱的體積為483，則球的表面積為()A．16π B．4πC．8π D．32π解析：選A.由題意，設(shè)正三棱柱的底面邊長為a，則其內(nèi)切球的半徑r＝13×所以正三棱柱的高h(yuǎn)＝2r＝33a棱柱的體積V＝34a2·?＝所以球的表面積S＝4πr2＝4π·36a6．(2022·全國乙卷)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為()A．13 B．C．33 D．解析：選C.該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點(diǎn)O組成的圓錐體積最大．設(shè)圓錐的高為h(0<h<1)，底面半徑為r，則圓錐的體積V＝13πr2h＝13π(1－h(huán)2)則V′＝13π(1－3h2令V′＝13π(1－3h2)＝0，得h＝3所以V＝13π(1－h(huán)2)h在0在33所以當(dāng)h＝337．(多選)已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動點(diǎn)M，N，若線段MN的最小值為3－1，則下列說法中正確的是()A．正方體的外接球的表面積為12πB．正方體的內(nèi)切球的體積為43C．正方體的棱長為2D．線段MN的最大值為23解析：選ABC.設(shè)正方體的棱長為a，則正方體外接球的半徑為體對角線長的一半，即32a；內(nèi)切球的半徑為棱長的一半，即12∵M(jìn)，N分別為外接球和內(nèi)切球上的動點(diǎn)，∴MNmin＝32解得a＝2，即正方體的棱長為2，∴正方體外接球的表面積為4π×32＝12π，內(nèi)切球的體積為43線段MN的最大值為3＋1，故D錯(cuò)誤．8．(多選)傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)．如圖是一個(gè)圓柱容球，O1，O2為圓柱下、上底面的圓心，O為球心，EF為底面圓O1的一條直徑，若球的半徑r＝2，則()A．球與圓柱的表面積之比為1∶2B．平面DEF截得球的截面面積最小值為165C．四面體CDEF的體積的取值范圍為0D．若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則PE＋PF的取值范圍為2+2解析：選BCD.由球的半徑為r，可知圓柱的底面半徑為r，圓柱的高為2r，則球的表面積為4πr2，圓柱的表面積為2πr2＋2πr·2r＝6πr2，所以球與圓柱的表面積之比為2∶3，故A錯(cuò)誤；ABCD所在截面如圖所示，過點(diǎn)O作OG⊥DO1于點(diǎn)G，則由三角形相似可得OGDO2＝O設(shè)點(diǎn)O到平面DEF的距離為d1，平面DEF截得球的截面圓的半徑為r1，則d1≤OG，所以平面DEF截得球的截面面積最小值為165由題可知四面體CDEF的體積等于2VE-DCO1，點(diǎn)E到平面DCO又S△DCO1＝所以2VE-DCO由題可知點(diǎn)P在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)P在底面的射影為P′，則PP′＝2，PE＝22+P'E2，PF＝22+設(shè)t＝P′E2，則t∈[0，42]，PE＋PF＝22所以(PE＋PF)2＝22+t+22+16?t所以PE＋PF∈2+259．已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．解析：圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)該為該圓錐的內(nèi)切球，如圖，圓錐母線長BS＝3，底面半徑BC＝1，其高SC＝BS不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線BS切于點(diǎn)D，令OD＝OC＝r，由△SOD∽△SBC，得ODOS即r22?r＝13，解得r＝2答案：210．已知圓錐PO的頂點(diǎn)為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長為6，則圓錐PO的內(nèi)切球表面積與圓錐側(cè)面積之和為________．解析：因?yàn)槿龡l母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長為6，所以△ABC為圓錐底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長AB＝BC＝CA＝62由正弦定理可得底面圓的半徑R＝12×62sin如圖，圓錐軸截面三角形的內(nèi)切圓半徑即為圓錐內(nèi)切球半徑r，軸截面三角形面積為12×46×2內(nèi)切球的表面積為4π62?432＝4π120?486，圓錐的側(cè)面積為12×6×所以其和為608?36答案：608?36【綜合應(yīng)用題】11．(2024·廣東汕頭三模)將一個(gè)體積為36π的鐵球切割成正三棱錐的機(jī)床零件，則該零件體積的最大值為()A．162 B．163C．82 D．83解析：選D.設(shè)正三棱錐的底面邊長為a，高為h，球半徑為R，由球的體積為36π，則43πR3＝36π，解得R∴33a2＋(h－3)2＝9，即13a2＋h2－6h＝0，故a2＝－3h2∴正三棱錐的體積為V＝13×34a2?＝312(－3h2＋18h)∴V′＝312(－9h2＋36h由V′>0得0<h<4，此時(shí)函數(shù)V單調(diào)遞增，由V′<0得4<h<6，此時(shí)函數(shù)V單調(diào)遞減，∴當(dāng)h＝4時(shí)，V取得最大值，且最大值為312(－3×43＋18×42)＝8312．金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體，如圖，某金剛石的表面積為183，現(xiàn)將它雕刻成一個(gè)球形裝飾物，則可雕刻成的最大球體積是()A．18πB．92πC．6π D.6π解析：選D.如圖，設(shè)底面ABCD的中心為O，BC，AD中點(diǎn)分別為H，M，連接OH，EO，EH，MF，HF，EM，設(shè)金剛石的邊長為a，則由題知，8×12a2sin60°＝23a2＝183，所以a在等邊△EBC中，BC邊上的高EH＝EC2?CH2在Rt△EOH中，EO＝EH2?OH2由題可知，最大球即為金剛石的內(nèi)切球，由對稱性易知球心在O點(diǎn)，與平面EBC的切點(diǎn)在線段EH上，球的半徑即為截面EMFH內(nèi)切圓的半徑，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，由等面積法可知322·32＝332·r，解得r＝62，所以內(nèi)切球的半徑為R＝62，則內(nèi)切球體積為V＝43πR313．如圖，在多面體中，四邊形ABCD為矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通過添加一個(gè)三棱錐可以將該多面體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，那么添加的三棱錐的體積為________，補(bǔ)形后的直三棱柱的外接球的表面積為________．解析：如圖，添加的三棱錐為直三棱錐E-ADF，可以將該多面體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱ADF-BCE，因?yàn)镃E⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，所以S△BCE＝12直三棱柱ADF-BCE的體積V＝S△BCE·AB＝12×添加的三棱錐的體積為13方法一如圖，分別取AF，BE的中點(diǎn)M，N，連接MN，與AE交于點(diǎn)O，因?yàn)樗倪呅蜛FEB為矩形，所以O(shè)為AE，MN的中點(diǎn)，在直三棱柱ADF-BCE中，CE⊥平面ABCD，所以FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°，所以上、下底面為等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即為點(diǎn)O，AO即為球的半徑，因?yàn)锳M＝12AF＝2所以AO2＝AM2＋MO2＝12所以外接球的表面積為4π·AO2＝6π.方法二因?yàn)镃E，CB，CD兩兩垂直，故將直三棱柱ADF-BCE補(bǔ)成長方體，設(shè)外接球的半徑為R，則4R2＝12＋12＋22＝6，所以外接球的表面積S＝4πR2＝6π.答案：1314．如圖，已知平行四邊形ABCD中，AC＝AB＝m，∠BAD＝120°，將△ABC沿對角線AC翻折至△AB1C所在的位置，若二面角B1-AC-D的大小為120°，則過A，B1，C，D四點(diǎn)的外接球的表面積為________．解析：由已知得△B1AC與△DAC均為邊長是m的正三角形，取AC中點(diǎn)G，連接DG，B1G，如圖，則有DG⊥AC，B1G⊥AC，于是得∠B1GD是二面角B1-AC-D的平面角，則∠B1GD＝120°，顯然有AC⊥平面B1GD，即有平面B1GD⊥平面B1AC，平面B1GD⊥平面DAC，令正△B1AC與正△DAC的中心分別為E，F(xiàn)，過E，F(xiàn)分別作平面B1AC，平面DAC的垂線，則兩垂線都在平面B1GD內(nèi)，它們交于點(diǎn)O，從而得點(diǎn)O是過A，B1，C，D四點(diǎn)的外接球球心，連接OA，則OA為該外接球半徑，由已知得GE＝GF＝13GD＝13·32·m＝在Rt△OGF中，OG＝GFcos而AG＝m2，在Rt△OGA中，OA2＝AG2＋OG2＝712m所以過A，B1，C，D四點(diǎn)的外接球的表面積為4π·OA2＝73πm2答案：73πm7．3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系[課標(biāo)要求]1.借助長方體，在直觀認(rèn)識空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義，了解基本事實(shí)和定理．2.能運(yùn)用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題．【必備知識】1．與平面有關(guān)的基本事實(shí)及推論(1)平面的基本事實(shí)文字語言圖形語言符號語言基本事實(shí)1過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?有且只有一個(gè)平面α，使A∈α，B∈α，C∈α基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l基本事實(shí)4平行于同一條直線的兩條直線平行a∥b且b∥c?a∥c(2)基本事實(shí)1的三個(gè)推論(確定平面的依據(jù))自然語言圖形語言推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面2.空間直線、平面之間的位置關(guān)系(1)空間中直線與直線的位置關(guān)系(2)空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語言符號語言公共點(diǎn)直線與平面相交a∩α＝A1個(gè)平行a∥α0個(gè)在平面內(nèi)a?α無數(shù)個(gè)平面與平面平行α∥β0個(gè)相交α∩β＝l無數(shù)個(gè)3.等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．[提醒]如果兩個(gè)角的兩邊平行且方向都相同或都相反，則兩角相等；若一邊同向，另一邊反向則互補(bǔ)．4．異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：0，π2【必記結(jié)論】1．平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線．2．分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線平行或異面．【基點(diǎn)診斷】1．判斷下列說法正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．()(2)若a，b是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，且a?α，b?β，則a，b是異面直線．()(3)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說α，β相交于A點(diǎn)，記作α∩β＝A.()(4)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，則c與b不可能是平行直線．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．下列命題正確的是()A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C．圓心和圓上兩點(diǎn)可確定一個(gè)平面D．梯形可確定一個(gè)平面解析：選D.對于A，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A不正確；對于B，一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，若點(diǎn)在直線上，則它們不能確定平面，故B不正確；對于C，當(dāng)圓上兩點(diǎn)為一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，它們與圓心三點(diǎn)共線，不能確定平面，故C不正確；對于D，梯形的兩個(gè)底邊所在直線平行，可確定一個(gè)平面，故D正確．3．若直線a不平行于平面α，且a?α，則下列結(jié)論成立的是()A．α內(nèi)的所有直線與a是異面直線B．α內(nèi)不存在與a平行的直線C．α內(nèi)存在唯一一條直線與a平行D．α內(nèi)的所有直線與a都相交解析：選B.由題意可知直線a與平面α相交，所以平面α內(nèi)所有直線與a相交或異面，且α內(nèi)不存在與直線a平行的直線，故A，C，D不正確．4．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線A1D與D1C所成的角為()A．π6B．π4C．π解析：選C.正方體中，A1B∥D1C，所以A1D與A1B所成的角即異面直線A1D與D1C所成的角，因?yàn)椤鰽1BD為正三角形，所以A1D與A1B所成的角為π3，所以異面直線A1D與D1C所成的角為π5．已知空間中兩個(gè)角α，β，且角α與角β的兩邊分別平行，若α＝70°，則β＝________．解析：根據(jù)等角定理知α＝β或α＋β＝180°，若α＝70°，則β＝70°或110°.答案：70°或110°6．三個(gè)平面最多能把空間分為________部分，最少能把空間分成________部分．解析：三個(gè)平面可將空間分成4，6，7，8部分，所以三個(gè)平面最少可將空間分成4部分，最多分成8部分．答案：84題型一基本事實(shí)的應(yīng)用【例1】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，連接D1F，CE.求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．證明：(1)如圖所示，連接CD1，EF，A1B，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，所以EF∥A1B，且EF＝12A1B又因?yàn)锳1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF與CD1能夠確定一個(gè)平面ECD1F，即E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝12CD1所以四邊形CD1FE是梯形，所以直線CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，如圖，則P∈CE，且P∈D1F，因?yàn)镃E?平面ABCD，D1F?平面A1ADD1，所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又因?yàn)槠矫鍭BCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．[變式]若本例中平面BB1D1D與A1C交于點(diǎn)M，求證：B，M，D1三點(diǎn)共線．證明：如圖所示，連接BD1，BD，B1D1，A1C，因?yàn)锽D1與A1C均為正方體ABCD-A1B1C1D1的體對角線，所以BD1與A1C相交，設(shè)BD1與A1C的交點(diǎn)為O，則B，O，D1三點(diǎn)共線，因?yàn)锽D1?平面BB1D1D，所以A1C與平面BB1D1D的交點(diǎn)和A1C與BD1的交點(diǎn)重合，即M與O重合，故B，M，D1三點(diǎn)共線．方法指導(dǎo)共面、共線、共點(diǎn)問題的證明方法(1)證明共面方法：①納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．②輔助平面法：先證有關(guān)點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余點(diǎn)、線確定平面β，最后證明平面α，β重合．(2)證明共線方法：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證明其他各點(diǎn)都在這條直線上．②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．(3)證明線共點(diǎn)方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．【對點(diǎn)練習(xí)】1.(1)在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，若EF∩HG＝P，則點(diǎn)P()A．一定在直線BD上B．一定在直線AC上C．在直線AC或BD上D．不在直線AC上，也不在直線BD上解析：選B.因?yàn)镋F∩HG＝P，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，所以EF在平面ABC內(nèi)，HG在平面ACD內(nèi)，所以P既在平面ABC內(nèi)，又在平面ACD內(nèi)，所以P在平面ABC和平面ACD的交線上，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.(2)如圖，P，Q，R，S分別是正方體或四面體所在棱的中點(diǎn)，則在下列圖形中，這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()解析：選D.A中，由PQ與SR相交，知P，Q，R，S四點(diǎn)共面；B中，由QR與PS相交，知P，Q，R，S四點(diǎn)共面；C中，由PQ∥SR，知P，Q，R，S四點(diǎn)共面；D中，由QR和PS是異面直線，并且任意兩個(gè)點(diǎn)的連線既不平行也不相交，知四點(diǎn)不共面．題型二空間兩條直線的位置關(guān)系判斷【例2】(1)(多選)下列推斷中，正確的是()A．M∈α，M∈β，α∩β＝l?M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合解析：選ABD.對于A，因?yàn)镸∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事實(shí)3可知M∈l，故A正確；對于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直線AB?α，AB?β，即α∩β＝AB，故B正確；對于C，若l∩α＝A，則有l(wèi)?α，A∈l，但A∈α，故C錯(cuò)誤；對于D，有三個(gè)不共線的點(diǎn)在平面α，β中，α，β重合，故D正確．(2)(多選)(2024·重慶名校聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC1上(不包含端點(diǎn))運(yùn)動時(shí)，下列直線中一定與直線OP異面的是()A．AB1B．A1CC．A1AD．AD1解析：選BCD.對于A，如圖①，連接AB1，C1D，BD，當(dāng)P為BC1的中點(diǎn)時(shí)，OP∥DC1∥AB1，故A不正確；對于B，如圖②，連接A1C，A1C1，AC，因?yàn)锳1C?平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O?A1C，P?平面AA1C1C，所以直線A1C與直線OP一定是異面直線，故B正確；對于C，如圖②，因?yàn)锳1A?平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O?A1A，P?平面AA1C1C，所以直線A1A與直線OP一定是異面直線，故C正確；對于D，如圖③，連接AD1，D1C，AC，因?yàn)锳D1?平面AD1C，O∈平面AD1C，O?AD1，P?平面AD1C，所以直線AD1與直線OP一定是異面直線，故D正確．思維升華(1)判斷空間中兩條直線的位置關(guān)系的方法：①構(gòu)造幾何體(如正方體、空間四邊形等)模型來判斷；②利用排除法．(2)異面直線的判定方法：①反證法；②直接法．【對點(diǎn)練習(xí)】2.(1)空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是()A．平行B．異面C．相交或平行D．平行或異面或相交均有可能解析：選D.根據(jù)條件作出示意圖，容易得到以下三種情況，由圖可知AB與CD有相交、平行、異面三種情況．(2)(多選)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，以下四個(gè)選項(xiàng)正確的是()A．直線AM與CC1是相交直線B．直線AM與BN是平行直線C．直線BN與MB1是異面直線D．直線AM與DD1是異面直線解析：選CD.因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDD1C1外，點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點(diǎn)M，所以直線AM與CC1是異面直線，故A錯(cuò)誤；取DD1的中點(diǎn)E，連接AE(圖略)，則BN∥AE，但AE與AM相交，所以AM與BN不平行，故B錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)B1與直線BN都在平面BCC1B1內(nèi)，點(diǎn)M在平面BCC1B1外，BN不過點(diǎn)B1，所以BN與MB1是異面直線，故C正確；同理D正確．題型三異面直線所成的角【例3】(1)(2021·全國乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為()A．π2B．C．π4D．解析：選D.法一如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接C1P，BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則BC1＝22BP＝B1在△BPC1中，cos∠PBC1＝BP2+BC12法二如圖，連接BC1，A1B，A1P，PC1，則易知AD1∥BC1，所以直線PB與AD1所成的角等于直線PB與BC1所成的角，由P為正方形A1B1C1D1的對角線B1D1的中點(diǎn)，知A1，P，C1三點(diǎn)共線，且P為A1C1的中點(diǎn)，易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1為等邊三角形，所以∠A1BC1＝π3，又P為A1C1所以可得∠PBC1＝12∠A1BC1＝π故直線PB與AD1所成的角為π6(2)在空間四邊形ABCD中，AD＝2，BC＝23，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF＝7，則異面直線AD與BC所成角的大小為________．解析：設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接EO，F(xiàn)O，所以EO∥AD，F(xiàn)O∥BC，則∠EOF(或其補(bǔ)角)就是異面直線AD與BC所成的角，且EO＝12在△EOF中，根據(jù)余弦定理得cos∠EOF＝EO2+F從而異面直線AD與BC所成角的大小為30°.答案：30°思維升華求兩條異面直線所成角的方法(1)平移法：將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線，形成三角形求解；(2)補(bǔ)形法：在該幾何體的某側(cè)補(bǔ)接上同樣一個(gè)幾何體，在這兩個(gè)幾何體中找異面直線相應(yīng)的位置，形成三角形求解．【對點(diǎn)練習(xí)】3.(1)若正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，高為6，則直線AE1和EF所成角的大小為()A．π6B．C．π3D．解析：選C.如圖所示，EF∥E1F1，則∠AE1F1即為所求．∵AF＝EF＝1，EE1＝6，且∠AFE＝2π3，∴AE＝∴cos∠AE1F1＝AE∴∠AE1F1＝π3即直線AE1和EF所成角的大小為π3(2)如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧BC的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為()A．33 B．C．306 D．解析：選D.如圖，過點(diǎn)E作圓柱的母線交下底面于點(diǎn)F，連接AF，易知F為AD的中點(diǎn)，設(shè)四邊形ABCD的邊長為2，則EF＝2，AF＝2，所以AE＝22連接ED，則ED＝6.因?yàn)锽C∥AD，所以異面直線AE與BC所成的角即為∠EAD(或其補(bǔ)角)．在△EAD中，cos∠EAD＝6+4?62所以異面直線AE與BC所成角的余弦值為66[課下鞏固精練卷(五十五)]空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系__________________________________________________________________【基礎(chǔ)鞏固題】1．如果直線a?平面α，直線b?平面β，且α∥β，則a與b的位置關(guān)系為()A．共面B．平行C．異面D．平行或異面解析：選D.由題意，a與b不可能相交，當(dāng)共面時(shí)平行，不共面時(shí)為異面直線．2．已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線l，m，n.“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B.由m，n，l在同一平面內(nèi)，可能有m，n，l兩兩平行，所以m，n，l可能沒有公共點(diǎn)，所以不能推出m，n，l兩兩相交．由m，n，l兩兩相交且m，n，l不經(jīng)過同一點(diǎn)，可設(shè)l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A?n，所以點(diǎn)A和直線n確定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m?α，所以m，n，l在同一平面內(nèi)．3．(2024·廣東佛山檢測)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，平面ECD⊥平面ABCD，且ED＝EC＝2CD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM、EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM、EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM、EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM、EN是異面直線解：選A.如圖所示，連接BD，BE，MN，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，則BD經(jīng)過點(diǎn)N，且點(diǎn)N為BD中點(diǎn)，M是線段ED的中點(diǎn)，所以在△EBD中，MN∥EB，又ED＝EC＝2CD，且由正方形性質(zhì)可知BD＝2CD，所以EM＝12DE＝22CD＝12BD＝BN，即四邊形EBNM為等腰梯形，又BM，EN