數(shù)學二考研試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$x=0$處（）A.連續(xù)B.可導C.有定義D.極限不存在2.若$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2$，則$f(0)$等于（）A.0B.1C.2D.不存在3.設函數(shù)$y=e^{2x}$，則$y^\prime$為（）A.$e^{2x}$B.$2e^{2x}$C.$e^{x}$D.$2e^{x}$4.曲線$y=x^3$在點$(1,1)$處的切線斜率是（）A.1B.2C.3D.45.不定積分$\intx^2dx$等于（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$\frac{1}{2}x^2+C$C.$x^3+C$D.$3x^3+C$6.定積分$\int_{0}^{1}xdx$的值為（）A.$\frac{1}{2}$B.1C.2D.37.設函數(shù)$z=x+y$，則$\frac{\partialz}{\partialx}$等于（）A.0B.1C.$x$D.$y$8.向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,4)$，則$\vec{a}$與$\vec$（）A.垂直B.平行C.夾角為$60^{\circ}$D.夾角為$30^{\circ}$9.矩陣$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$的行列式的值為（）A.0B.1C.2D.310.函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可導，且$f^\prime(x)>0$，則$f(x)$在$[a,b]$上（）A.單調(diào)遞減B.單調(diào)遞增C.先增后減D.先減后增二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\sqrt{x}$2.以下哪些是求導的基本公式（）A.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$B.$(\sinx)^\prime=\cosx$C.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$D.$(e^x)^\prime=e^x$3.下列積分計算正確的有（）A.$\int\cosxdx=\sinx+C$B.$\int\sinxdx=-\cosx+C$C.$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$D.$\inte^xdx=e^x+C$4.曲線$y=f(x)$的拐點可能出現(xiàn)在（）A.$f^{\prime\prime}(x)=0$的點B.$f^{\prime\prime}(x)$不存在的點C.$f^\prime(x)=0$的點D.$f(x)$的間斷點5.多元函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處可微的充分條件有（）A.$f_x(x_0,y_0)$和$f_y(x_0,y_0)$都存在B.$f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處連續(xù)C.$\Deltaz-f_x(x_0,y_0)\Deltax-f_y(x_0,y_0)\Deltay=o(\rho)$（$\rho\to0$）D.$f_x(x,y)$和$f_y(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處連續(xù)6.向量$\vec{a}=(1,-1,2)$，$\vec=(2,1,-1)$，則（）A.$\vec{a}\cdot\vec=-1$B.$\vec{a}\times\vec=(-1,5,3)$C.$|\vec{a}|=\sqrt{6}$D.$\vec{a}$與$\vec$夾角的余弦值為$-\frac{1}{6}$7.下列關于矩陣的說法正確的有（）A.單位矩陣與任何同階方陣相乘結果仍為該方陣B.可逆矩陣一定是方陣C.若$AB=O$，則$A=O$或$B=O$D.矩陣的轉(zhuǎn)置滿足$(AB)^T=B^TA^T$8.函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上滿足羅爾定理的條件有（）A.在$[a,b]$上連續(xù)B.在$(a,b)$內(nèi)可導C.$f(a)=f(b)$D.$f(a)\neqf(b)$9.下列哪些是二階線性常系數(shù)齊次微分方程$y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=0$的特征方程根的情況（）A.兩個不相等的實根B.兩個相等的實根C.一對共軛復根D.無實根10.對于二元函數(shù)$z=f(x,y)$，以下說法正確的有（）A.駐點一定是極值點B.極值點可能是駐點C.偏導數(shù)存在的點不一定是駐點D.駐點處偏導數(shù)一定為0三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$在$x=1$處極限存在。（）2.若函數(shù)$f(x)$在$x=x_0$處可導，則在該點一定連續(xù)。（）3.函數(shù)$y=x^4$的二階導數(shù)為$y^{\prime\prime}=12x^2$。（）4.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關，與積分變量用什么字母表示無關。（）5.多元函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處兩個偏導數(shù)都存在，則函數(shù)在該點一定可微。（）6.向量$\vec{a}=(1,2)$與向量$\vec=(-2,1)$垂直。（）7.方陣$A$滿足$A^2=A$，則$A$為單位矩陣。（）8.函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的最大值一定是極大值。（）9.二階線性常系數(shù)齊次微分方程的通解一定包含兩個任意常數(shù)。（）10.二元函數(shù)$z=f(x,y)$的偏導數(shù)$f_x(x,y)$和$f_y(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處連續(xù)是函數(shù)在該點可微的必要條件。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$的極值。答案：先求導$f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$f^\prime(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。$f^{\prime\prime}(x)=6x-6$，$f^{\prime\prime}(0)=-6\lt0$，$f(0)=2$為極大值；$f^{\prime\prime}(2)=6\gt0$，$f(2)=-2$為極小值。2.計算定積分$\int_{0}^{\pi}\sinxdx$。答案：根據(jù)積分公式$\int\sinxdx=-\cosx+C$，由牛頓-萊布尼茨公式，$\int_{0}^{\pi}\sinxdx=-\cosx|_{0}^{\pi}=-(\cos\pi-\cos0)=-(-1-1)=2$。3.求函數(shù)$z=x^2y+xy^2$的偏導數(shù)$\frac{\partialz}{\partialx}$和$\frac{\partialz}{\partialy}$。答案：求$\frac{\partialz}{\partialx}$時，把$y$看成常數(shù)，$\frac{\partialz}{\partialx}=2xy+y^2$；求$\frac{\partialz}{\partialy}$時，把$x$看成常數(shù)，$\frac{\partialz}{\partialy}=x^2+2xy$。4.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求其逆矩陣。答案：先求行列式$|A|=1\times4-2\times3=-2$。伴隨矩陣$A^{}=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$，則$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$處的連續(xù)性。答案：$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1(x\neq1)$，$\lim\limits_{x\to1}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2$，但$f(1)$無定義，所以函數(shù)在$x=1$處不連續(xù)，為可去間斷點。2.討論多元函數(shù)$z=x^2+y^2$的幾何意義及極值情況。答案：$z=x^2+y^2$幾何意義是旋轉(zhuǎn)拋物面。求偏導數(shù)$z_x=2x$，$z_y=2y$，令$z_x=z_y=0$，得駐點$(0,0)$。$A=z_{xx}=2$，$B=z_{xy}=0$，$C=z_{yy}=2$，$AC-B^2=4\gt0$且$A\gt0$，所以$(0,0)$是極小值點，極小值為$0$。3.討論向量組線性相關和線性無關的判定方法。答案：對于向量組$\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\cdots,\vec{\alpha}_n$，可通過定義看是否存在不全為零的數(shù)$k_1,k_2,\cdots,k_n$使$k_1\vec{\alpha}_1+k_2\vec{\alpha}_2+\cdots+k_n\vec{\alpha}_n=\vec{0}$成立，成立則線性相關，否則線性無關。也可通過向量組構成矩陣的秩判斷，秩小于向量個數(shù)線性相關，秩等于向量個數(shù)線性無關。4.討論一階線性非齊次微分方程$y^\prime+P(x)y=Q(x)$的求解思路。答案：先求對應的齊次方程$y^\prime+P(x)y=0$的通解，分離變量積分得$y=Ce^{-\intP(x)dx}$。再用常數(shù)變易法，設非齊次方程解為$y=C(x)e^{-\intP(x)dx}$，代入原非齊次方程求出$C(x)$，進而得到非齊次方程的通解$y=e^{-\intP(x)dx}(\intQ(x)e^{\int