一、解答題1．如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，已知，，將線段平移至，連接、、、，且，點(diǎn)在軸上移動(dòng)（不與點(diǎn)、重合）．（1）直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在的面積是的面積的3倍，如果存在請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在請(qǐng)說明理由；（3）點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)寫出、、三者之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．解析：（1）（2，6）；（2）（，0）或（9，0）；（3）∠OCD+∠DBA=∠BDC或∠OCD-∠DBA=∠BDC【分析】（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，確定出FC=2，OF=6，得出C（2，6）；（2）分點(diǎn)D在線段OA和在OA延長(zhǎng)線兩種情況進(jìn)行計(jì)算；（3）分點(diǎn)D在線段OA上時(shí)，∠OCD+∠DBA=∠BDC和在OA延長(zhǎng)線∠OCD-∠DBA=∠BDC兩種情況進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，過B作BE⊥x軸，垂足為E，∵A（6，0），B（8，6），∴FC=AE=8-6=2，OF=BE=6，∴C（2，6）；（2）設(shè)D（x，0），當(dāng)△ODC的面積是△ABD的面積的3倍時(shí)，若點(diǎn)D在線段OA上，∵OD=3AD，∴×6x=3××6（6-x），∴x=，∴D（，0）；若點(diǎn)D在線段OA延長(zhǎng)線上，∵OD=3AD，∴×6x=3××6（x-6），∴x=9，∴D（9，0）；（3）如圖，過點(diǎn)D作DE∥OC，由平移的性質(zhì)知OC∥AB．∴OC∥AB∥DE．∴∠OCD=∠CDE，∠EDB=∠DBA．若點(diǎn)D在線段OA上，∠BDC=∠CDE+∠EDB=∠OCD+∠DBA，即∠OCD+∠DBA=∠BDC；若點(diǎn)D在線段OA延長(zhǎng)線上，∠BDC=∠CDE-∠EDB=∠OCD-∠DBA，即∠OCD-∠DBA=∠BDC．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了點(diǎn)三角形面積的計(jì)算方法，平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是分點(diǎn)D在線段OA上，和OA延長(zhǎng)線上兩種情況．2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于給定的兩點(diǎn)P，Q，若存在點(diǎn)M，使得△MPQ的面積等于1，即S△MPQ＝1，則稱點(diǎn)M為線段PQ的“單位面積點(diǎn)”，解答下列問題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）．（1）在點(diǎn)A（1，2），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（2，﹣4）中，線段OP的“單位面積點(diǎn)”是；（2）已知點(diǎn)E（0，3），F(xiàn)（0，4），將線段OP沿y軸向上平移t（t＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，使得線段EF上存在線段OP的“單位面積點(diǎn)”，直接寫出t的取值范圍．（3）已知點(diǎn)Q（1，﹣2），H（0，﹣1），點(diǎn)M，N是線段PQ的兩個(gè)“單位面積點(diǎn)”，點(diǎn)M在HQ的延長(zhǎng)線上，若S△HMN≥S△PQN，求出點(diǎn)N縱坐標(biāo)的取值范圍．解析：（1），；（2）或；（3）見解析【分析】（1）分別根據(jù)三角形的面積計(jì)算△OPA，△DPB，△DPC，△OPD的面積即可；（2）分線段OP在線段EF下方和線段OP在線段EF上方分別求解；（3）畫出圖形，根據(jù)S△PQN=1，得到S△HMN≥，分當(dāng)xN=0時(shí)，當(dāng)xN=2時(shí)，分別結(jié)合S△HMN≥，得到不等式，求出N點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍．【詳解】解：（1）S△OPA=，則點(diǎn)A是線段OP的“單位面積點(diǎn)”，S△OPB=，則點(diǎn)B不是線段OP的“單位面積點(diǎn)”，S△OPC=，則點(diǎn)C是線段OP的“單位面積點(diǎn)”，S△OPD=，則點(diǎn)D不是線段OP的“單位面積點(diǎn)”，（2）設(shè)點(diǎn)G是線段OP的“單位面積點(diǎn)”，則S△OPG=1，∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，4），且點(diǎn)G在線段EF上，∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為0，∵S△OPG=1，線段OP為y軸向上平移t（t＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)為單位面積點(diǎn)時(shí)，當(dāng)為單位面積點(diǎn)時(shí)，綜上所述：1≤t≤2或5≤t≤6；（3）∵M(jìn)，N是線段PQ的兩個(gè)單位面積點(diǎn)，∴S△PQM=1，S△PQN=1，∵P（1，0），Q（1，-2），∴PQ=2，∴M，N的橫坐標(biāo)為0或2，∵點(diǎn)M在HQ的延長(zhǎng)線上，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為xM=2，∵S△HMN≥S△PQN，∴S△HMN≥，當(dāng)xN=0時(shí)，S△HMN=，則，∴或；當(dāng)xN=2時(shí)，S△HMN=，則，∴或．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的面積公式，并且能夠理解單位面積點(diǎn)的定義，解題關(guān)鍵是找到單位面積點(diǎn)的軌跡進(jìn)行求解．3．如圖，在下面直角坐標(biāo)系中，已知，，三點(diǎn)，其中，，滿足關(guān)系式．（1）求，，的值；（2）如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)，請(qǐng)用含的式子表示四邊形的面積；（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)，使四邊形的面積與三角形的面積相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．解析：（1）a=2，b=3，c=4；（2）S四邊形ABOP=3-m；（3）存在，P（-3，）．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可解答；（2）四邊形ABOP的面積=△APO的面積+△AOB的面積，即可解答；（3）存在，根據(jù)面積相等求出m的值，即可解答．【詳解】解：（1）由已知可得：a-2=0，b-3=0，c-4=0，解得：a=2，b=3，c=4；（2）∵a=2，b=3，c=4，∴A（0，2），B（3，0），C（3，4），∴OA=2，OB=3，∵S△ABO=×2×3=3，S△APO=×2×（-m）=-m，∴S四邊形ABOP=S△ABO+S△APO=3+（-m）=3-m（3）存在，∵S△ABC=×4×3=6，若S四邊形ABOP=S△ABC=3-m=6，則m=-3，∴存在點(diǎn)P（-3，）使S四邊形ABOP=S△ABC．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b，c．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，將線段AB進(jìn)行平移，使點(diǎn)A剛好落在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B剛好落在y軸的負(fù)半軸上，A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，連接交y軸于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)D．（1）線段可以由線段AB經(jīng)過怎樣的平移得到？并寫出，的坐標(biāo)；（2）求四邊形的面積；（3）P為y軸上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，給出結(jié)論并說明理由．解析：（1）向左平移4個(gè)單位，再向下平移6個(gè)單位，，；（2）24；（3）見解析【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)解決問題即可．（2）利用分割法確定四邊形的面積即可．（3）分兩種情形：點(diǎn)在點(diǎn)的上方，點(diǎn)在點(diǎn)的下方，分別求解即可．【詳解】解：（1）點(diǎn)，，又將線段進(jìn)行平移，使點(diǎn)剛好落在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)剛好落在軸的負(fù)半軸上，線段是由線段向左平移4個(gè)單位，再向下平移6個(gè)單位得到，，．（2）．（3）連接．，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為在軸上，．，軸，同法可證，，，，同法可證，，，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的下方時(shí)，，，，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的上方時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化—平移，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)有分割法求四邊形的面積，學(xué)會(huì)用分類討論的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形OAB的邊OA、OB分別在x軸正半軸上和y軸正半軸上，A（a，0），a是方程的解，且△OAB的面積為6．（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）將線段OA沿軸向上平移后得到PQ，點(diǎn)O、A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)P和點(diǎn)Q（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t，△BPQ的面積為S，請(qǐng)用含t的式子表示S；（3）在（2）的條件下，設(shè)PQ交線段AB于點(diǎn)K，若PK=，求t的值及△BPQ的面積．解析：（1）B（0，3）；（2）S=（3）4【分析】（1）解方程求出a的值，利用三角形的面積公式構(gòu)建方程求出b的值即可解決問題；（2）分兩種情形分別求解：當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)；（3）過點(diǎn)K作KH⊥OA用H．根據(jù)S△BPK+S△AKH=S△AOB-S長(zhǎng)方形OPKH，構(gòu)建方程求出t，即可解決問題；【詳解】解：（1）∵，∴2（a+2）-3（a-2）=6，∴-a+4=0，∴a=4，∴A（4，0），∵S△OAB=6，∴?4?OB=6，∴OB=3，∴B（0，3）．（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，S=?PQ?PB=×4×（3-t）=-2t+6．當(dāng)點(diǎn)P在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，S=?PQ?PB=×4×（t-3）=2t-6．綜上所述，S=．（3）過點(diǎn)K作KH⊥OA用H．∵S△BPK+S△AKH=S△AOB-S長(zhǎng)方形OPKH，∴PK?BP+AH?KH=6-PK?OP，∴××（3-t）+（4-）?t=6-?t，解得t=1，∴S△BPQ=-2t+6=4．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題，一元一次方程、三角形的面積、平移變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，同時(shí)將點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，分別得到A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D．連接AC，BD（1）求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，并描出A、B、C、D點(diǎn)，求四邊形ABDC面積；（2）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，連接PA、PC使S△PAC＝S四邊形ABCD？若存在，求點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解析：（1）（0，2），（4，2），見解析，ABDC面積：8；（2）存在，P的坐標(biāo)為（7，0）或（﹣9，0）或（0，18）或（0，﹣14）．【解析】【分析】（1）根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，向上平移縱坐標(biāo)加寫出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)即可，再根據(jù)平行四邊形的面積公式列式計(jì)算即可得解；（2）分點(diǎn)P在x軸和y軸上兩種情況，依據(jù)S△PAC＝S四邊形ABCD求解可得．【詳解】（1）由題意知點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣1+1，0+2），即（0，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3+1，0+2），即（4，2），如圖所示，S四邊形ABDC＝2×4＝8；（2）當(dāng)P在x軸上時(shí)，∵S△PAC＝S四邊形ABCD，∴，∵OC＝2，∴AP＝8，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，0）或（﹣9，0）；當(dāng)P在y軸上時(shí)，∵S△PAC＝S四邊形ABCD，∴，∵OA＝1，∴CP＝16，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，18）或（0，﹣14）；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，0）或（﹣9，0）或（0，18）或（0，﹣14）．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的面積，坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B為x軸正半軸上一點(diǎn)，C(0，a)，D(b，a)，其中a，b滿足關(guān)系式：|a+3|+(b-a+1)2=0.（1）a=___，b=___，△BCD的面積為______；（2）如圖2，若AC⊥BC，點(diǎn)P線段OC上一點(diǎn)，連接BP，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)Q，當(dāng)∠CPQ=∠CQP時(shí)，求證:BP平分∠ABC；（3）如圖3，若AC⊥BC，點(diǎn)E是點(diǎn)A與點(diǎn)B之間一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,CB始終平分∠ECF,當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由.解析：-3-46【解析】分析：（1）求出CD的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)等角的余角相等解答即可；（3）首先證明∠ACD=∠ACE，推出∠DCE=2∠ACD，再證明∠ACD=∠BCO，∠BEC=∠DCE=2∠ACD即可解決問題；詳解：（1）解：如圖1中，∵|a+3|+（b-a+1）2=0，∴a=-3，b=4，∵點(diǎn)C（0，-3），D（-4，-3），∴CD=4，且CD∥x軸，∴△BCD的面積=1212×4×3=6；故答案為-3，-4，6．（2）證明：如圖2中，∵∠CPQ=∠CQP=∠OPB，AC⊥BC，∴∠CBQ+∠CQP=90°，又∵∠ABQ+∠CPQ=90°，∴∠ABQ=∠CBQ，∴BQ平分∠CBA．（3）解：如圖3中，結(jié)論：=定值=2．理由：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCF=90°，∵CB平分∠ECF，∴∠ECB=∠BCF，∴∠ACD+∠ECB=90°，∵∠ACE+∠ECB=90°，∴∠ACD=∠ACE，∴∠DCE=2∠ACD，∵∠ACD+∠ACO=90°，∠BCO+∠ACO=90°，∴∠ACD=∠BCO，∵C（0，-3），D（-4，-3），∴CD∥AB，∠BEC=∠DCE=2∠ACD，∴∠BEC=2∠BCO，∴=2．點(diǎn)睛：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的角平分線，三角形的面積，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．8．已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，請(qǐng)你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）解析：（1）見解析；（2）55°；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖2，過點(diǎn)作，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，根據(jù)，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求的度數(shù)；②如圖3，過點(diǎn)作，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖1，過點(diǎn)作，則有，，，，；（2）①如圖2，過點(diǎn)作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為；②如圖3，過點(diǎn)作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．9．如圖①，將一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)折，使落在的位置；（1）若的度數(shù)為，試求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（2）如圖②，再將紙片沿對(duì)折，使得落在的位置．①若，的度數(shù)為，試求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；②若，的度數(shù)比的度數(shù)大，試計(jì)算的度數(shù)．解析：（1）；（2）①；②【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得到，由折疊的性質(zhì)可知，∠2=∠BFE，再根據(jù)平角的定義求解即可；(2)①由（1）知，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再由折疊的性質(zhì)及平角的定義求解即可；②由（1）知，∠BFE=，由可知：，再根據(jù)條件和折疊的性質(zhì)得到，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，由題意可知，∴，∵，∴，，由折疊可知．（2）①由題（1）可知，∵，，再由折疊可知：，；②由可知：，由（1）知，，又的度數(shù)比的度數(shù)大，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，屬于綜合題，有一定難度，熟記“兩直線平行，同位角相等”、“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖1，MN∥PQ，點(diǎn)C、B分別在直線MN、PQ上，點(diǎn)A在直線MN、PQ之間．（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，CD∥AB，點(diǎn)E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)．解析：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）120°．【分析】（1）過點(diǎn)A作AD∥MN，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根據(jù)角的和差等量代換即可得解；（2）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由鄰補(bǔ)角定義得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代換即可得解；（3）由平行線的性質(zhì)得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°即可求解．【詳解】解：（1）證明：如圖1，過點(diǎn)A作AD∥MN，∵M(jìn)N∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF＝120°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，線段、角、相交線與平行線，準(zhǔn)確的推導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵．11．綜合與實(shí)踐背景閱讀：在同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線的位置關(guān)系有相交、平行，若兩條不重合的直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，我們就說這兩條直線相交，若兩條直線不相交，我們就說這兩條直線互相平行兩條直線的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定是幾何的重要知識(shí)，是初中階段幾何合情推理的基礎(chǔ)．已知：AM∥CN，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥BC于B．問題解決：（1）如圖1，直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，過點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，在（2）問的條件下，點(diǎn)E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，則∠EBC＝．解析：（1）；（2）見解析；（3）105°【分析】（1）通過平行線性質(zhì)和直角三角形內(nèi)角關(guān)系即可求解．（2）過點(diǎn)B作BG∥DM，根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解．（3）利用（2）的結(jié)論，結(jié)合角平分線性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，設(shè)AM與BC交于點(diǎn)O,∵AM∥CN，∴∠C＝∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠A＋∠AOB＝90°，∠A＋∠C＝90°，故答案為：∠A＋∠C＝90°；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG＝90°，∴∠ABD＋∠ABG＝90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG＋∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如圖3，過點(diǎn)B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）知∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，設(shè)∠DBE＝α，∠ABF＝β，則∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝∠AFB＝β，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α＋β，∵∠AFC＋∠NCF＝180°，∠FCB＋∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α＋β，△BCF中，由∠CBF＋∠BFC＋∠BCF＝180°得：2α＋β＋3α＋3α＋β＝180°，∵AB⊥BC，∴β＋β＋2α＝90°，∴α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝15°＋90°＝105°．故答案為：105°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線性質(zhì)，畫輔助線，找到角的和差倍分關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．12．如圖1，把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長(zhǎng)方形直尺DEFG的EF邊上．（1）根據(jù)圖1填空：∠1＝°，∠2＝°；（2）現(xiàn)把三角板繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°．①如圖2，當(dāng)n＝25°，且點(diǎn)C恰好落在DG邊上時(shí)，求∠1、∠2的度數(shù)；②當(dāng)0°＜n＜180°時(shí)，是否會(huì)存在三角板某一邊所在的直線與直尺（有四條邊）某一邊所在的直線垂直？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有n的值和對(duì)應(yīng)的那兩條垂線；如果不存在，請(qǐng)說明理由．解析：（1）120，90；（2）①∠1=120°-n°，∠2=90°+n°；②見解析【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)解答；（2）①根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠ABE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠1=∠ABE，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠BCG，然后根據(jù)周角等于360°計(jì)算即可得到∠2；②結(jié)合圖形，分AB、BC、AC三條邊與直尺垂直討論求解．【詳解】解：（1）∠1=180°-60°=120°，∠2=90°；故答案為：120，90；（2）①如圖2，∵∠ABC=60°，∴∠ABE=180°-60°-n°=120°-n°，∵DG∥EF，∴∠1=∠ABE=120°-n°，∠BCG=180°-∠CBF=180°-n°，∵∠ACB+∠BCG+∠2=360°，∴∠2=360°-∠ACB-∠BCG=360°-90°-（180°-n°）=90°+n°；②當(dāng)n=30°時(shí)，∵∠ABC=60°，∴∠ABF=30°+60°=90°，AB⊥DG（EF）；當(dāng)n=90°時(shí)，∠C=∠CBF=90°，∴BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；當(dāng)n=120°時(shí)，∴AB⊥DE（GF）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線角的計(jì)算，垂線的定義，主要利用了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，讀懂題目信息并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．13．直線AB∥CD，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AP，CP．（1）如圖①，點(diǎn)P在直線AB，CD之間，當(dāng)∠BAP＝60°，∠DCP＝20°時(shí)，求∠APC的度數(shù)；（2）如圖②，點(diǎn)P在直線AB，CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于K，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖③，點(diǎn)P在直線CD下方，當(dāng)∠BAK＝∠BAP，∠DCK＝∠DCP時(shí)，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．解析：（1）80°；（2）∠AKC＝∠APC，理由見解析；（3）∠AKC＝∠APC，理由見解析【分析】（1）先過P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根據(jù)∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP進(jìn)行計(jì)算即可；（2）過K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，進(jìn)而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，進(jìn)而得到∠AKC＝∠APC；（3）過K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，進(jìn)而得到∠AKC＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根據(jù)已知得出∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝∠APC，進(jìn)而得到∠BAK﹣∠DCK＝∠APC．【詳解】（1）如圖1，過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；（2）∠AKC＝∠APC．理由：如圖2，過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，∴∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，∴∠AKC＝∠APC；（3）∠AKC＝∠APC理由：如圖3，過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAK＝∠BAP，∠DCK＝∠DCP，∴∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，∴∠AKC＝∠APC．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是作出平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角相等計(jì)算．14．已知AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）請(qǐng)?jiān)跈M線上填上合適的內(nèi)容，完成下面的解答：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí)，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度數(shù)；解：過點(diǎn)P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是；因?yàn)锳B∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是；所以∠C＝（），所以∠APC＝（）+（）＝∠A+∠C＝97°．（2）當(dāng)點(diǎn)P，Q在線段EF上移動(dòng)時(shí)（不包括E，F(xiàn)兩點(diǎn)）：①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立嗎？請(qǐng)說明理由；②如圖3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，請(qǐng)直接寫出∠M，∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．解析：（1）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由見解答過程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可完成填空；（2）結(jié)合（1）的輔助線方法即可完成證明；（3）結(jié)合（1）（2）的方法，根據(jù)∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可證明∠PMQ，∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：過點(diǎn)P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；因?yàn)锳B∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是平行于同一條直線的兩條直線平行；所以∠C＝（∠CPH），所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：過點(diǎn)P作直線PH∥AB，QG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；②如圖3，過點(diǎn)P作直線PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，∴