2025年奧數(shù)競(jìng)賽歷年真題試卷本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測(cè)試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。一、填空題（每題10分，共50分）1.有五個(gè)不同的自然數(shù)，它們的積是12345，那么這五個(gè)自然數(shù)之和的最大值是多少？2.將一個(gè)邊長(zhǎng)為10厘米的正方體木塊，削成一個(gè)體積最大的圓錐，那么這個(gè)圓錐的體積是多少立方厘米？3.已知方程x2-8x+k=0的兩個(gè)根的平方和為50，求k的值。4.在一個(gè)不透明的袋子里裝有若干個(gè)只有顏色不同的球，如果袋中有紅球10個(gè)，那么要使得從袋中隨機(jī)取出一個(gè)球是紅球的概率為1/5，袋中共有多少個(gè)球？5.已知一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為α、β、γ，且2α-β=60°，2β-γ=90°，求α的度數(shù)。二、選擇題（每題5分，共25分）6.如果一個(gè)整數(shù)同時(shí)能被6和9整除，那么它一定能被以下哪個(gè)數(shù)整除？A.12B.18C.24D.367.在一個(gè)直角三角形中，如果兩條直角邊的長(zhǎng)度分別為3和4，那么斜邊的長(zhǎng)度是多少？A.5B.7C.9D.128.已知一個(gè)圓的半徑為5厘米，那么這個(gè)圓的面積是多少平方厘米？A.15πB.20πC.25πD.30π9.如果一個(gè)數(shù)的平方根是它本身，那么這個(gè)數(shù)是？A.0B.1C.-1D.0和110.已知一個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別是2、5、8，那么這個(gè)數(shù)列的第五項(xiàng)是多少？A.11B.13C.15D.17三、解答題（共25分）11.（10分）已知一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6厘米、4厘米、5厘米，現(xiàn)在要將它的長(zhǎng)和寬都增加2厘米，高減少1厘米，那么這個(gè)新長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)的長(zhǎng)方體表面積增加了多少平方厘米？12.（15分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，(2,-3)，(3,0)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。四、證明題（共25分）13.（15分）已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，且AD=BC。求證：△ABC是等腰三角形。14.（10分）已知在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD。求證：四邊形ABCD是平行四邊形。答案與解析一、填空題1.解：將12345分解質(zhì)因數(shù)，得到12345=3×5×8×11×13。為了使五個(gè)自然數(shù)之和最大，應(yīng)該將它們按照從大到小的順序排列，即3、5、8、11、13。它們的和為3+5+8+11+13=40。答案：40。2.解：正方體的體積為10×10×10=1000立方厘米。削成的圓錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)圓錐的底面直徑等于正方體的邊長(zhǎng)，即圓錐的底面半徑為5厘米。圓錐的高等于正方體的邊長(zhǎng)，即10厘米。因此，圓錐的體積為V=1/3×π×52×10=250π/3立方厘米。答案：250π/3。3.解：設(shè)方程的兩個(gè)根為x?和x?，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有x?+x?=8，x?x?=k。又因?yàn)閤?2+x?2=50，所以(x?+x?)2-2x?x?=50，即82-2k=50，解得k=18。答案：18。4.解：設(shè)袋中共有x個(gè)球，根據(jù)題意，有10/x=1/5，解得x=50。答案：50。5.解：根據(jù)題意，有α+β+γ=180°，2α-β=60°，2β-γ=90°。將2α-β=60°變形為α=(β+60°)/2，將2β-γ=90°變形為β=(γ+90°)/2。將α和β的表達(dá)式代入α+β+γ=180°，得到(β+60°)/2+β+γ+90°=180°，即3β+2γ=330°。又因?yàn)棣?(γ+90°)/2，所以3(γ+90°)/2+2γ=330°，解得γ=30°。將γ=30°代入β=(γ+90°)/2，得到β=60°。將β=60°代入α=(β+60°)/2，得到α=60°。答案：60°。二、選擇題6.解：6和9的最小公倍數(shù)是18，所以能被6和9整除的整數(shù)一定能被18整除。答案：B。7.解：根據(jù)勾股定理，斜邊的長(zhǎng)度為√(32+42)=5。答案：A。8.解：圓的面積為π×52=25π平方厘米。答案：C。9.解：只有0和1的平方根是它本身。答案：D。10.解：等差數(shù)列的公差為5-2=3，所以第五項(xiàng)為8+3×2=14。答案：C。三、解答題11.解：原長(zhǎng)方體的表面積為2(6×4+6×5+4×5)=148平方厘米。新長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為8厘米、6厘米、4厘米，表面積為2(8×6+8×4+6×4)=208平方厘米。表面積增加了208-148=60平方厘米。答案：60平方厘米。12.解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c。將點(diǎn)(1,0)代入，得到a+b+c=0。將點(diǎn)(2,-3)代入，得到4a+2b+c=-3。將點(diǎn)(3,0)代入，得到9a+3b+c=0。解這個(gè)方程組，得到a=1，b=-6，c=5。所以二次函數(shù)的解析式為y=x2-6x+5。答案：y=x2-6x+5。四、證明題13.證明：在△ABD和△CDB中，AD=DB，BD=BD，AB=CD（已知AD=BC，所以AB=CD），所以△ABD≌△CDB（SSS）。因此，∠BAD=∠BCD，所以AB=BC。所以△