極坐標(biāo)與參數(shù)方程知識講解極坐標(biāo)與參數(shù)方程知識講解/極坐標(biāo)與參數(shù)方程知識講解參數(shù)方程和極坐標(biāo)系知識要點(diǎn)(一)曲線的參數(shù)方程的定義:在取定的坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù),即并且對于t每一個允許值,由方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上,那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù),簡稱參數(shù)．(二）常見曲線的參數(shù)方程如下:1．過定點(diǎn)（x0,y0),傾角為α的直線：(t為參數(shù))其中參數(shù)t是以定點(diǎn)P(x0,y0)為起點(diǎn),對應(yīng)于t點(diǎn)M(x,y)為終點(diǎn)的有向線段PM的數(shù)量,又稱為點(diǎn)P及點(diǎn)M間的有向距離.根據(jù)t的幾何意義,有以下結(jié)論.

．設(shè)A.B是直線上任意兩點(diǎn),它們對應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB,則
＝
＝
．

.線段AB的中點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值等于.2．中心在（x0,y0),半徑等于r的圓：(
為參數(shù))3．中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸（或y軸)上的橢圓：(
為參數(shù))(或)中心在點(diǎn)(x0,y0)焦點(diǎn)在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程
4．中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸（或y軸)上的雙曲線：(
為參數(shù))(或)5.頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線：（t為參數(shù),p＞0）直線的參數(shù)方程和參數(shù)的幾何意義過定點(diǎn)P(x0,y0),傾斜角為
的直線的參數(shù)方程是(t為參數(shù)).J3.2極坐標(biāo)系1.定義:在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn),引一條射線Ox,叫做極軸,再選一個長度單位和角度的正方向(通常取逆時針方向)。對于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)M,用ρ表示線段OM的長度,θ表示從Ox到OM的角,ρ叫做點(diǎn)M的極徑,θ叫做點(diǎn)M的極角,有序數(shù)對(ρ,θ)就叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。2.極坐標(biāo)有四個要素:①極點(diǎn);②極軸;③長度單位;④角度單位及它的方向.極坐標(biāo)及直角坐標(biāo)都是一、有序?qū)崝?shù)確定平面上一、點(diǎn),在極坐標(biāo)系下,一、有序?qū)崝?shù)
、
對應(yīng)惟一、P(
,
),但平面內(nèi)任一、點(diǎn)P的極坐標(biāo)不惟一、一、點(diǎn)可以有無數(shù)個坐標(biāo),這些坐標(biāo)又有規(guī)律可循的,P(
,
)(極點(diǎn)除外)的全部坐標(biāo)為(
,
＋
)或(
,
＋
),(
Z).極點(diǎn)的極徑為0,而極角任意取.若對
、
的取值范圍加以限制.則除極點(diǎn)外,平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)就惟一、,如限定
>0,0≤
＜
或
<0,
＜
≤
等.極坐標(biāo)及直角坐標(biāo)的不同是,直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)及坐標(biāo)是一一對應(yīng)的,而極坐標(biāo)系中,點(diǎn)及坐標(biāo)是一多對應(yīng)的．即一個點(diǎn)的極坐標(biāo)是不惟一的．3、直線相對于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為:⑴⑵⑶⑷⑸⑹4.圓相對于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為
:⑴⑵⑶⑷⑸⑹5.極坐標(biāo)及直角坐標(biāo)互化公式:例題(j3.1參數(shù)方程)例1.討論下列問題:1、已知一條直線上兩點(diǎn)
、
,以分點(diǎn)M（x,y）分
所成的比
為參數(shù),寫出參數(shù)方程。2.直線(t為參數(shù))的傾斜角是A．B．C．D．3.方程(t為非零常數(shù),
為參數(shù))表示的曲線是()A.直線A．直線B．圓C.橢圓D.雙曲線4.已知橢圓的參數(shù)方程是(
為參數(shù)),則橢圓上一點(diǎn)P(
,
)的離心角可以是A.
B.
C.
D.
例2把彈道曲線的參數(shù)方程

化成普通方程.例3.將下列數(shù)方程化成普通方程.①,②,③,④,⑤．eq\o\ac(○,6)eq\o\ac(○,7)例4.直線3x－2y＋6=0,令y=tx＋6(t為參數(shù)).求直線的參數(shù)方程.例5.已知圓錐曲線方程是若t為參數(shù),
為常數(shù),求該曲線的普通方程,并求出焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離;若
為參數(shù),t為常數(shù),求這圓錐曲線的普通方程并求它的離心率。例6.在圓x2＋2x＋y2=0上求一點(diǎn),使它到直線2x＋3y－5=0的距離最大.例7.在橢圓4x2＋9y2=36上求一點(diǎn)P,使它到直線x＋2y＋18=0的距離最短(或最長).例8.已知直線;l:及雙曲線(y-2)2-x2=1相交于A.B兩點(diǎn),P點(diǎn)坐標(biāo)P(-1,2)。求:（1）|PA|.|PB|的值;（2）弦長|AB|;弦AB中點(diǎn)M及點(diǎn)P的距離。例9.已知A(2,0),點(diǎn)B,C在圓x2+y2=4上移動,且有
求
重心G的軌跡方程。例10.已知橢圓和圓x2+(y-6)2=5,在橢圓上求一點(diǎn)P1,在圓上求一點(diǎn)P2,使|P1P2|達(dá)到最大值,并求出此最大值。例11.已知直線l過定點(diǎn)P(-2,0),及拋物線C:x2+y-8=0相交于A.B兩點(diǎn)。(1)若P為線段AB的中點(diǎn),求直線l的方程;(2)若l繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動,求AB的中點(diǎn)M的方程.例12.橢圓上是否存在點(diǎn)P,使得由P點(diǎn)向圓x2+y2=b2所引的兩條切線互相垂直？若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,說明理由。例題(J3.2極坐標(biāo)系)例1討論下列問題:1.在同一極坐標(biāo)系中及極坐標(biāo)M（－2,40°)表示同一點(diǎn)的極坐標(biāo)是（)(A)(－2,220°)(B)(－2,140°)(C)(2,－140°)(D)(2,－40°)2．已知△ABC的三個頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A(4,0°),B(－4,－120°),C(2
＋2,30°),則△ABC為()。(A)正三角形(B)等腰直角三角形(C)直角非等腰三角形(D)等腰非直角三角形3.在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)M(－2,1),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,當(dāng)極角在(－π,π]內(nèi)時,M點(diǎn)的極坐標(biāo)為（）（A）（
,π－argtg(－
)）（B）（－
,argtg(－
)（C）（－
,π－argtg
）（D）（
,－π＋argtg
）例2..把點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)。例3.把點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)。例4.已知正三角形ABC中,頂點(diǎn)A.B的極坐標(biāo)分別為,試求頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)。例5.化圓的直角方程x2+y2-2ax=0為極坐標(biāo)方程。例6.化圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程。例7.討論下列問題:1．在極坐標(biāo)系里,過點(diǎn)M（4,30°)而平行于極軸的直線
的方程是（)(A)
＝2(B)
＝－2(C)
(D)
2.在極坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)M1(4,arcsin
),M2(－6,－π－arccos(－
)),則線段M1M2的中點(diǎn)極坐標(biāo)為（)（A)(－1,arccos
)（B)(1,arcsin
)(C）(－1,arccos(－
))(D）(1,－arcsin
)3.已知P點(diǎn)的極坐標(biāo)是(1,π),則過點(diǎn)P且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是（)。(A)ρ=1(B)ρ＝cosθ(C)ρcosθ=－1(D)ρcosθ=14.若ρ>0,則下列極坐標(biāo)方程中,表示直線的是（)。(A)θ=
(B)cosθ=
(0≤θ≤π)(C)tgθ=1(D)sinθ=1(0≤θ≤π)5.若點(diǎn)A(－4,
π)及B關(guān)于直線θ=
對稱,在ρ>0,－π≤θ<π條件下,B的極坐標(biāo)是。6.直線ρcos(θ－)=1及極軸所成的角是。7.直線ρcos(θ－α)=1及直線ρsin(θ－α)=1的位置關(guān)系是。8.直線y=kx＋1(k<0且k≠－
)及曲線ρ2sinθ－ρsin2θ＝0的公共點(diǎn)的個數(shù)是()。(A)0(B)1(C)2(D)3例8.討論下列問題;1.圓的半徑是1,圓心的極坐標(biāo)是(1,0),則這個圓的極坐標(biāo)方程是（)。(A)ρ＝cosθ(B)ρ＝sinθ(C)ρ＝2cosθ(D)ρ＝2sinθ2.極坐標(biāo)方程分別是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的兩個圓的圓心距是()。(A)2(B)
(C)1(D)
3.在極坐標(biāo)系中和圓ρ=4sinθ相切的一條直線方程是()(A)ρsinθ=2(B)ρcosθ=2(C)ρsinθ=4(D)ρcosθ=44.圓
＝Dcosθ－Esinθ及極軸相切的充分必要條件是()(A）D·E＝0(B）D2＋E2＝0(C）D＝0,E≠0(D）D≠0,E＝05.圓

2
sinθ－2cosθ的圓心的極坐標(biāo)為。6.若圓的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ,則這個圓的面積是。7.若圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ,則這個圓的直角坐標(biāo)方程為。8.設(shè)有半徑為4的圓,它在極坐標(biāo)系內(nèi)的圓心的極坐標(biāo)為(－4,0),則這個圓的極坐標(biāo)方程為。例9.當(dāng)a、b、c滿足什么條件時,直線及圓
相切？例10.試把極坐標(biāo)方程
化為直角坐標(biāo)方程,并就m值的變化討論曲線的形狀