金陵中學(xué)特長(zhǎng)生數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在集合論中，集合A包含于集合B記作________。

A.A=B

B.A?B

C.A?B

D.A?B

2.函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像是一條拋物線，當(dāng)________時(shí)，拋物線開(kāi)口向上。

A.a>0

B.a<0

C.b>0

D.b<0

3.極限lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(5x^2+4x-3)的值為_(kāi)_______。

A.0

B.1/5

C.3/5

D.∞

4.在三角函數(shù)中，sin(π/2-θ)等于________。

A.sinθ

B.-sinθ

C.cosθ

D.-cosθ

5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為_(kāi)_______。

A.Sn=n(a1+an)/2

B.Sn=na1

C.Sn=n(a1+a2)/2

D.Sn=n^2(a1+an)/2

6.在空間幾何中，兩條異面直線所成的角的范圍是________。

A.[0°,90°]

B.[0°,180°]

C.[0°,45°]

D.[90°,180°]

7.指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x(a>0,a≠1)的圖像過(guò)點(diǎn)________。

A.(0,1)

B.(1,a)

C.(a,1)

D.(1,0)

8.在概率論中，事件A和事件B互斥的定義是________。

A.P(A∩B)=0

B.P(A∪B)=P(A)+P(B)

C.P(A|B)=0

D.P(A∪B)=1

9.在解析幾何中，圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程為_(kāi)_______。

A.x^2+y^2=r

B.x^2-y^2=r

C.x^2+y^2=-r

D.x^2-y^2=-r

10.在數(shù)列中，若數(shù)列{an}滿足an+1=an+d(d為常數(shù))，則稱該數(shù)列為_(kāi)_______。

A.等差數(shù)列

B.等比數(shù)列

C.調(diào)和數(shù)列

D.等差等比數(shù)列

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有________。

A.y=2x+1

B.y=-3x+2

C.y=x^2

D.y=e^x

E.y=log_a(x)(a>1)

2.下列命題中，正確的有________。

A.若lim(x→a)f(x)=A，則lim(x→a)|f(x)|=|A|

B.若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界

C.若f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上必有界

D.若f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f(x)在x=a處必連續(xù)

E.若f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處必可導(dǎo)

3.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的有________。

A.y=|x|

B.y=x^3

C.y=2sin(x)

D.y=5cos(x)

E.y=3x^2+2x+1

4.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有________。

A.∑(n=1to∞)(1/2^n)

B.∑(n=1to∞)(1/n)

C.∑(n=1to∞)(1/n^2)

D.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

E.∑(n=1to∞)(2^n/n!)

5.下列方程中，表示圓的有________。

A.x^2+y^2=1

B.x^2-y^2=1

C.(x-1)^2+(y+2)^2=4

D.x^2+y^2+2x-4y+1=0

E.x^2+y^2-2x+4y-4=0

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(-1)=-1，且f(x)的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為1/2，則a=________，b=________。

2.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則f(x)在該區(qū)間上的最小值為_(kāi)_______，最大值為_(kāi)_______。

3.極限lim(x→0)(sin(3x)/x)=________。

4.在等比數(shù)列{an}中，若a1=2，公比q=3，則該數(shù)列的前5項(xiàng)和為_(kāi)_______。

5.若直線l1:ax+by+c=0與直線l2:mx+ny+p=0平行，則a與m，b與n之間的關(guān)系為_(kāi)_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.求極限lim(x→2)[(x^2-4)/(x-2)]。

2.計(jì)算不定積分∫(x^3-2x+1)dx。

3.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求函數(shù)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。

4.在直角坐標(biāo)系中，求過(guò)點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)的直線方程。

5.計(jì)算定積分∫(from0to1)(x^2+2x+1)dx。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.C

2.A

3.B

4.C

5.A

6.A

7.A

8.A

9.A

10.A

解題過(guò)程：

1.集合A包含于集合B表示集合A中的所有元素都屬于集合B，記作A?B。

2.當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向上。

3.lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(5x^2+4x-3)=lim(x→∞)(3-2/x+1/x^2)/(5+4/x-3/x^2)=3/5。

4.根據(jù)三角函數(shù)的同角補(bǔ)函數(shù)關(guān)系，sin(π/2-θ)=cosθ。

5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=n(a1+an)/2。

6.兩條異面直線所成的角是指它們分別與某一條公垂線所成的角，范圍是[0°,90°]。

7.指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x的圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)。

8.事件A和事件B互斥的定義是它們不能同時(shí)發(fā)生，即P(A∩B)=0。

9.圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程為x^2+y^2=r。

10.若數(shù)列{an}滿足an+1=an+d(d為常數(shù))，則稱該數(shù)列為等差數(shù)列。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.A,D,E

2.A,B,C,D

3.B,C,D,E

4.A,C,D,E

5.A,C,D

解題過(guò)程：

1.函數(shù)y=2x+1是線性函數(shù)，斜率為正，單調(diào)遞增；y=e^x是指數(shù)函數(shù)，底數(shù)大于1，單調(diào)遞增；y=log_a(x)(a>1)是對(duì)數(shù)函數(shù)，底數(shù)大于1，單調(diào)遞增。y=-3x+2是線性函數(shù)，斜率為負(fù)，單調(diào)遞減；y=x^2是二次函數(shù)，開(kāi)口向上，先減后增；y=-3x+2是線性函數(shù)，斜率為負(fù)，單調(diào)遞減。

2.lim(x→a)f(x)=A，根據(jù)極限的定義，|f(x)|在x→a時(shí)也趨近于|A|，所以A正確。f(x)在[a,b]上連續(xù)，根據(jù)Weierstrass極值定理，f(x)在[a,b]上必有界，所以B正確。f(x)在[a,b]上可積，根據(jù)Riemann積分的定義，f(x)在[a,b]上必有界，所以C正確。f(x)在x=a處可導(dǎo)，根據(jù)可導(dǎo)的定義，f(x)在x=a處必連續(xù)，所以D正確。f(x)在x=a處連續(xù)，不一定可導(dǎo)，例如f(x)=|x|在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)，所以E錯(cuò)誤。

3.y=x^3是多項(xiàng)式函數(shù)，處處可導(dǎo)；y=2sin(x)是三角函數(shù)，處處可導(dǎo)；y=5cos(x)是三角函數(shù)，處處可導(dǎo)；y=3x^2+2x+1是多項(xiàng)式函數(shù)，處處可導(dǎo)；y=|x|在x=0處不可導(dǎo)，因?yàn)樽笥覍?dǎo)數(shù)不相等。所以B,C,D,E可導(dǎo)。

4.∑(n=1to∞)(1/2^n)是等比數(shù)列，公比為1/2，收斂；∑(n=1to∞)(1/n)是調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散；∑(n=1to∞)(1/n^2)是p級(jí)數(shù)，p=2>1，收斂；∑(n=1to∞)(-1)^n/n是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿足Leibniz判別法，收斂；∑(n=1to∞)(2^n/n!)是指數(shù)級(jí)數(shù)除以階乘，收斂。所以A,C,D,E收斂。

5.x^2+y^2=1表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓；(x-1)^2+(y+2)^2=4表示以(1,-2)為圓心，半徑為2的圓；x^2+y^2+2x-4y+1=0可化為(x+1)^2+(y-2)^2=4，表示以(-1,2)為圓心，半徑為2的圓；x^2+y^2-2x+4y-4=0可化為(x-1)^2+(y+2)^2=2，表示以(1,-2)為圓心，半徑為√2的圓。所以A,C,D表示圓。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.a=2,b=-6

2.最小值為f(a)，最大值為f(b)

3.3

4.62

5.a/b=m/n

解題過(guò)程：

1.由f(1)=3，得a+b+c=3；由f(-1)=-1，得a-b+c=-1；由頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為1/2，得-b/(2a)=1/2，即b=-a。聯(lián)立方程組解得a=2,b=-6,c=-1。

2.根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小值和最大值分別取在端點(diǎn)處，即最小值為f(a)，最大值為f(b)。

3.lim(x→0)(sin(3x)/x)=lim(x→0)(3sin(3x)/(3x))=3*lim(x→0)(sin(3x)/(3x))=3*1=3。

4.等比數(shù)列的前5項(xiàng)和為S5=a1*(1-q^5)/(1-q)=2*(1-3^5)/(1-3)=2*(1-243)/(-2)=2*(-242)/(-2)=242。

5.直線l1與直線l2平行，則它們的斜率相等，即-a/b=m/n，即a/b=m/n。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.4

2.x^4/4-x^2+x+C

3.最大值為4，最小值為-1

4.x-2y+3=0

5.7/3

解題過(guò)程：

1.lim(x→2)[(x^2-4)/(x-2)]=lim(x→2)[(x-2)(x+2)/(x-2)]=lim(x→2)(x+2)=4。

2.∫(x^3-2x+1)dx=∫x^3dx-∫2xdx+∫1dx=x^4/4-x^2+x+C。

3.f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，得x=2。f(1)=-2，f(2)=-1，f(3)=0。所以最大值為max{f(1),f(2),f(3)}=0，最小值為min{f(1),f(2),f(3)}=-2。

4.直線斜率k=(0-2)/(3-1)=-1。直線方程為y-y1=k(x-x1)，即y-2=-1(x-1)，即x+y-3=0，即x-2y+3=0。

5.∫(from0to1)(x^2+2x+1)dx=[x^3/3+x^2+x](from0to1)=(1/3+1+1)-(0+0+0)=7/3。

知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)：

1.函數(shù)基礎(chǔ)：函數(shù)的概念、定義域、值域、圖像、性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)等。

2.極限與連續(xù)：數(shù)列極限、函數(shù)極限、極限運(yùn)算法則、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量、連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)（介值定理、最大值最小值定理）等。

3.導(dǎo)數(shù)與微分：導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、物理意義、求導(dǎo)法則（四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、隱函數(shù)求導(dǎo)法則、參數(shù)方程求導(dǎo)法則）、高階導(dǎo)數(shù)、微分的概念、幾何意義、物理意義等。

4.不定積分：原函數(shù)與不定積分的概念、基本積分公式、積分運(yùn)算法則（線性運(yùn)算法則、湊微分法、換元積分法、分部積分法）等。

5.定積分：定積分的概念、幾何意義、性質(zhì)、牛頓-萊布尼茨公式、定積分的計(jì)算方法（換元積分法、分部積分法）、反常積分等。

6.多元函數(shù)微積分：偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、梯度、多元函數(shù)的極值、條件極值等。

7.級(jí)數(shù)：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念、收斂性、級(jí)數(shù)審斂法（正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、絕對(duì)收斂與條件收斂）、冪級(jí)數(shù)、泰勒級(jí)數(shù)等。

8.常微分方