§3.7算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)

有確定值的條件測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系討論微觀態(tài)中某一力學(xué)量時(shí)，總是以的本征值譜作為力學(xué)量的可能值。若我們同時(shí)觀測(cè)狀態(tài)中的一組不同力學(xué)量，將會(huì)得到什么結(jié)果呢？這一講我們主要討論這個(gè)問(wèn)題。主要內(nèi)容有：一個(gè)關(guān)系：力學(xué)量算符之間的對(duì)易關(guān)系

三個(gè)定理:

11算符之間的對(duì)易關(guān)系

1.1算符的基本運(yùn)算關(guān)系（1）算符之和：算符與之和定義為為任意函數(shù)一般，例如粒子的哈密頓算符是動(dòng)能算符與勢(shì)能算符之和（2）算符之積：算符與之積定義為

（1）

（2）

2算符之積對(duì)函數(shù)的作用有先后作用次序問(wèn)題一般不能顛倒個(gè)相同算符的積定義為算符的次冪

例如則為了運(yùn)算上的方便，引入量子括號(hào)（3）

（5）

3若稱(chēng)算符與是不對(duì)易的（不能交換位置）即若

稱(chēng)算符與是對(duì)易的即下面幾個(gè)經(jīng)常使用的對(duì)易關(guān)系請(qǐng)自行證明（6）

（7）

41.2坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系坐標(biāo)算符是乘數(shù)因子相互對(duì)易動(dòng)量算符是微分算符因?yàn)閯t坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符：設(shè)為任意函數(shù)（12）

（13）

5比較后可得

但是

同理可得坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符的其它對(duì)易關(guān)系式可概括為

其中※坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系是最基本的對(duì)易關(guān)系，其它力學(xué)量的對(duì)易關(guān)系均可由此導(dǎo)出。

（14a）

（14b）

(14c)

61.3角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系只證明其中一個(gè)，請(qǐng)注意證明方法記憶方法：從左至右以依次循環(huán)指標(biāo)為正，任何一個(gè)指標(biāo)錯(cuò)位即為負(fù)，相同指標(biāo)則為零。

(15)

7以相同的推導(dǎo)方法和記憶規(guī)律，有另外有

（16）

（17）

（18）

81.4幾個(gè)重要的推論

(1)(2)

（3）球坐標(biāo)下是的函數(shù)，若有徑向函數(shù)算符則

（19）

（20）

（21）

（22）

92共同本征函數(shù)完備系

2.1共同本征函數(shù)完備系帶來(lái)算符對(duì)易設(shè)兩個(gè)算符和有一個(gè)共同的本征函數(shù)，則必有及，即在態(tài)中可以同時(shí)確定這兩個(gè)力學(xué)量的數(shù)值，那么這似乎提醒我們有，但下結(jié)論過(guò)早，因?yàn)檫@只是針對(duì)某一個(gè)特殊函數(shù)（本征函數(shù)），如果和有一組完備的共同本征函數(shù)，對(duì)于任意態(tài)函數(shù)

（23）

10有則這時(shí)才說(shuō)和是對(duì)易的。這個(gè)結(jié)論可以推廣到多個(gè)算符，即如果一組算符有共同的本征函數(shù)完備系，則這組算符對(duì)易例如即在態(tài)中同時(shí)有確定值及，所以是的共同的本征函數(shù)，并且是完備的，所以

（24）

112.2逆定理：如果一組算符對(duì)易，則這組算符有組成完備系的共同的本征函數(shù)。這里僅就非簡(jiǎn)并本征函數(shù)系加以證明若算符和相互對(duì)易，對(duì)于的本征函數(shù)，有可見(jiàn)也是算符的屬于本征值的本征函數(shù)。已經(jīng)假定非簡(jiǎn)并，所以對(duì)應(yīng)的兩個(gè)本征函數(shù)和最多只能相差一個(gè)常數(shù)，所以（26）

（25）

（27）

12可見(jiàn)，同時(shí)也是的屬于本征值的本征函數(shù)。同理，對(duì)的其它本征函數(shù)也有此結(jié)論。所以，和有組成完備系的共同的本征函數(shù)。例如，角動(dòng)量算符，所以它們有組成完備系的共同的本征函數(shù)，在態(tài)中，力學(xué)量同時(shí)有確定值及。氫原子哈密頓算符所以，對(duì)易，它們有組成完備系的共同的本征函數(shù)，在該態(tài)中三者同時(shí)有確定值：

（28）

132.3力學(xué)量完全集有些情況下，力學(xué)量的本征值是全部簡(jiǎn)并或部分簡(jiǎn)并的，一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)若干個(gè)本征函數(shù)。所以，只以的本征值不足以完全確定本征函數(shù)，這時(shí)必定存在和獨(dú)立且和對(duì)易的其它力學(xué)量。如果的共同的本征函數(shù)仍然有簡(jiǎn)并，則必定還存在獨(dú)立于而又和對(duì)易的其它力學(xué)量，的共同的本征函數(shù)是否還有簡(jiǎn)并？我們定義：一組相互對(duì)易而又相互獨(dú)立的力學(xué)量算符，如果它們的共同的本征函數(shù)是非簡(jiǎn)并的，即這組本征值完全確定一個(gè)共同本征函數(shù)，則這組力學(xué)量稱(chēng)為力學(xué)量完全集。在完全集中，力學(xué)量的數(shù)目一般稱(chēng)為體系的自由度。14例題一任意態(tài)

求態(tài)中的可能值、概率及。解法一可以看出是的共同本征函數(shù)所組成，列表對(duì)應(yīng)求解：15解法二由得由正交歸一性得

16例題二在對(duì)某一狀態(tài)進(jìn)行測(cè)量時(shí)，同時(shí)得到能量能唯一確定這一狀態(tài)嗎？解：能。因?yàn)槿齻€(gè)力學(xué)量對(duì)易，故共同本征態(tài)為

17例題三求粒子處于時(shí)角動(dòng)量分量和分量的平均值。解：首先應(yīng)注意，是的共同本征函數(shù)，而不對(duì)易，故不是的本征函數(shù)。利用對(duì)易關(guān)系，則

18同理

由于坐標(biāo)與的對(duì)稱(chēng)性，可得，故3不確定關(guān)系若算符和不對(duì)易時(shí)，常記為是一個(gè)力學(xué)量算符或普通的數(shù)。首先定義

（29）

（30）

（31）

19注意，仍為厄米算符，若巧妙設(shè)計(jì)積分利用的厄米性，可推出(課本p91)最后得出不確定關(guān)系(代數(shù)中二次式理論)

——不確定關(guān)系（32）

（33）

（34）

（35）

20兩個(gè)力學(xué)量不對(duì)易時(shí)，導(dǎo)致兩力學(xué)量不能同時(shí)有確定值,

或者說(shuō)，它們不能有共同本征函數(shù)。對(duì)不確定關(guān)系應(yīng)著重掌握其物理意義

例如所以可見(jiàn)，若動(dòng)量確定，；則，即位置完全不確定。試想，動(dòng)量為的自由粒子以波長(zhǎng)的狀態(tài)（平面波）彌散于空間時(shí)，你能說(shuō)出粒子的確定位置嗎？或

（36）

21反之，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)本征函數(shù)可寫(xiě)為即位于點(diǎn)的波（粒子）是許多不同波長(zhǎng)（動(dòng)量）的平面波的疊加，你能說(shuō)出該波的波長(zhǎng)（粒子的動(dòng)量）是多少嗎？總之，不確定關(guān)系所揭示的是量子力學(xué)規(guī)律的特點(diǎn)，是粒子具有波動(dòng)性的必然結(jié)果。應(yīng)用不確定關(guān)系估算一些力學(xué)量的不確定范圍可參見(jiàn)教材。