密度函數(shù)題目及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)\)，則\(f(x)\)滿足（）A.\(f(x)\geq0\)B.\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=0\)C.\(f(x)\leq1\)D.\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=2\)2.已知隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)=\begin{cases}k,&0\ltx\lt2\\0,&其他\end{cases}\)，則\(k\)的值為（）A.\(0.5\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(4\)3.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}\)，則\(X\)服從（）A.\(N(0,1)\)B.\(N(1,1)\)C.\(N(0,2)\)D.\(N(1,2)\)4.若隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(P(X\leq0.5)\)為（）A.\(0.25\)B.\(0.5\)C.\(0.75\)D.\(1\)5.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)\)關(guān)于\(x=\mu\)對(duì)稱，則\(E(X)\)等于（）A.\(0\)B.\(\mu\)C.\(1\)D.無(wú)法確定6.已知隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)=\begin{cases}3x^{2},&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)在\(x=0.5\)處的值為（）A.\(0.125\)B.\(0.25\)C.\(0.5\)D.\(0.75\)7.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)\)滿足\(f(x)=f(-x)\)，則\(E(X)\)為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.任意實(shí)數(shù)8.若隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)=\begin{cases}\lambdae^{-\lambdax},&x\geq0\\0,&x\lt0\end{cases}\)（\(\lambda\gt0\)），則\(E(X)\)為（）A.\(\frac{1}{\lambda}\)B.\(\lambda\)C.\(\frac{1}{\lambda^{2}}\)D.\(\lambda^{2}\)9.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)\)使得\(\int_{a}^f(x)dx=0.6\)，則\(P(a\ltX\ltb)\)等于（）A.\(0.3\)B.\(0.4\)C.\(0.6\)D.\(0.8\)10.已知隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)=\begin{cases}c\sinx,&0\ltx\lt\pi\\0,&其他\end{cases}\)，則\(c\)的值為（）A.\(0.5\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(4\)多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.概率密度函數(shù)\(f(x)\)具有的性質(zhì)有（）A.\(f(x)\geq0\)B.\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)C.\(P(a\ltX\ltb)=\int_{a}^f(x)dx\)D.\(f(x)\)連續(xù)2.以下函數(shù)可以作為概率密度函數(shù)的是（）A.\(f(x)=\begin{cases}1,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)B.\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)C.\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2},&-1\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)D.\(f(x)=\begin{cases}e^{-x},&x\geq0\\0,&x\lt0\end{cases}\)3.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)\)，則（）A.\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt\)是\(X\)的分布函數(shù)B.\(F^{\prime}(x)=f(x)\)（在\(f(x)\)的連續(xù)點(diǎn)處）C.\(P(X=a)=\int_{a}^{a}f(x)dx=0\)（對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量）D.\(f(x)\)唯一確定\(X\)的分布4.若隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)\)關(guān)于\(x=\mu\)對(duì)稱，則（）A.\(E(X)=\mu\)B.\(D(X)\)與\(\mu\)有關(guān)C.\(P(X\lt\mu)=0.5\)D.\(f(\mu+x)=f(\mu-x)\)5.已知隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)\)，且\(Y=g(X)\)，則求\(Y\)的概率密度的方法有（）A.分布函數(shù)法B.公式法（當(dāng)\(g(x)\)單調(diào)時(shí)）C.直接代入法D.圖形法6.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)\)滿足\(\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\mu\)，\(\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^{2}f(x)dx=\sigma^{2}\)，則（）A.\(E(X)=\mu\)B.\(D(X)=\sigma^{2}\)C.\(E(X^{2})=\mu^{2}+\sigma^{2}\)D.\(D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\)7.下列關(guān)于概率密度函數(shù)\(f(x)\)和分布函數(shù)\(F(x)\)的關(guān)系正確的是（）A.\(F(x)\)是\(f(x)\)的原函數(shù)B.\(f(x)\)是\(F(x)\)的導(dǎo)數(shù)（在\(f(x)\)的連續(xù)點(diǎn)處）C.\(F(x)\)單調(diào)不減D.\(F(-\infty)=0,F(+\infty)=1\)8.若隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)\)是偶函數(shù)，則（）A.\(E(X)=0\)B.\(P(X\lt0)=0.5\)C.\(f(-x)=f(x)\)D.\(D(X)\)與\(E(X)\)無(wú)關(guān)9.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)\)滿足\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)外為\(0\)，則（）A.\(P(X\lta)=0\)B.\(P(X\gtb)=0\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=1\)D.\(X\)的取值范圍在\([a,b]\)10.已知隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)\)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)\(a,b\)（\(a\ltb\)），有（）A.\(P(a\leqX\leqb)=\int_{a}^f(x)dx\)B.\(P(a\ltX\ltb)=\int_{a}^f(x)dx\)C.\(P(a\leqX\ltb)=\int_{a}^f(x)dx\)D.\(P(a\ltX\leqb)=\int_{a}^f(x)dx\)判斷題（每題2分，共10題）1.概率密度函數(shù)\(f(x)\)一定是連續(xù)函數(shù)。（）2.若\(f(x)\)是隨機(jī)變量\(X\)的概率密度，則\(f(x)\)的積分一定為\(1\)。（）3.對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量\(X\)，\(P(X=a)=0\)，所以\(X\)不可能取到值\(a\)。（）4.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)\)關(guān)于\(x=0\)對(duì)稱，則\(E(X)=0\)。（）5.分布函數(shù)\(F(x)\)唯一確定概率密度函數(shù)\(f(x)\)。（）6.若隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)\)滿足\(f(x)\gt0\)恒成立，則\(X\)可以取任意實(shí)數(shù)。（）7.已知隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)\)，則\(D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\)。（）8.概率密度函數(shù)\(f(x)\)越大，隨機(jī)變量\(X\)在該點(diǎn)取值的概率越大。（）9.若\(f_1(x)\)和\(f_2(x)\)都是概率密度函數(shù)，則\(f_1(x)+f_2(x)\)也是概率密度函數(shù)。（）10.對(duì)于隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)\)，\(\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)表示\(X\)的方差。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述概率密度函數(shù)的性質(zhì)。答：非負(fù)性，即\(f(x)\geq0\)；規(guī)范性，\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)；\(P(a\ltX\ltb)=\int_{a}^f(x)dx\)。2.已知隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)=\begin{cases}kx,&0\ltx\lt2\\0,&其他\end{cases}\)，求\(k\)的值。答：由\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)，即\(\int_{0}^{2}kxdx=1\)，\(k[\frac{1}{2}x^{2}]_{0}^{2}=1\)，\(2k=1\)，得\(k=0.5\)。3.如何根據(jù)概率密度函數(shù)求隨機(jī)變量的期望？答：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量\(X\)，期望\(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)，若\(f(x)\)在不同區(qū)間有不同表達(dá)式，需分段積分計(jì)算。4.簡(jiǎn)述分布函數(shù)\(F(x)\)與概率密度函數(shù)\(f(x)\)的關(guān)系。答：\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt\)，在\(f(x)\)的連續(xù)點(diǎn)處\(F^{\prime}(x)=f(x)\)，\(F(x)\)單調(diào)不減，\(F(-\infty)=0,F(+\infty)=1\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論概率密度函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題中隨機(jī)變量分布的聯(lián)系。答：概率密度函數(shù)描述隨機(jī)變量在各個(gè)取值點(diǎn)附近的概率分布情況。在實(shí)際問(wèn)題中，如測(cè)量誤差、產(chǎn)品壽命等，通過(guò)確定合適的概率密度函數(shù)，能分析隨機(jī)變量取值規(guī)律，為決策等提供依據(jù)。2.舉例說(shuō)明如何利用概率密度函數(shù)計(jì)算事件發(fā)生的概率，并討論其意義。答：例如已知\(X\)的概率密度\(f(x)\)，求\(P(a\ltX\ltb)\)，就用\(\int_{a}^f(x)dx\)計(jì)算。其意義在于能量化隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小，助于風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、質(zhì)量控制等工作。3.討論當(dāng)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度函數(shù)\(f(x)\)發(fā)生變化時(shí)，其期望和方差如何變化。答：若\(f(x)\)變化，期望\(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)可能改變，因?yàn)榉e分值依賴\(f(x)\)。方差\(D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\)也會(huì)變，\(E(X^{2})=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f(x)dx\)同樣受\(f(x)\)影響。4.結(jié)合具體例子，談?wù)劯怕拭芏群瘮?shù)在數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用。答：在分析學(xué)生考試成績(jī)分布時(shí)，可假設(shè)成績(jī)\(X\)服從某種概率密度函數(shù)。通過(guò)計(jì)