第9講冪函數(shù)及其性質(zhì)一、冪函數(shù)的定義冪函數(shù)的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).二、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增單調(diào)遞減，單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減公共點三、冪函數(shù)的單調(diào)性①所有的冪函數(shù)在(0,+)上都有定義，并且圖象都過點(1,1).②α>0時，冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間[0,+)上是增函數(shù).③α<0時，冪函數(shù)在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.④任何冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸僅相交于原點，或不相交，任何冪函數(shù)的圖象都不過第四象限.⑤任何兩個冪函數(shù)的圖象最多有三個公共點.除(1,1)，(0,0)，(1,1)，(1,1)外，其他任何一點都不是兩個冪函數(shù)的公共點.【例題1】A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BA．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3【答案】A【練習(xí)】A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義逐個辨析即可故選：BA．5 B．1 C．2 D．4【答案】BC【分析】由冪函數(shù)的系數(shù)為，列方程求出實數(shù)的值，并檢驗函數(shù)的圖象是否過原點，得出答案．故選：BC【答案】C【分析】分別求出各冪函數(shù)的定義域和值域，得到答案.故選：C【例題2】A．27 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念及性質(zhì)，求得實數(shù)的值，得到冪函數(shù)的解析式，即可求解.故選：A.2、已知冪函數(shù)y=f(x)=xm2?2m?3（m∈Z）在(0,+∞)是嚴(yán)格減函數(shù)，且為偶函數(shù)【練習(xí)】1、已知冪函數(shù)fx=x4m?m22m∈Z的圖像關(guān)于y2、已知冪函數(shù)fx=xm2+2m?3m∈Z是偶函數(shù)，且A．?2 B．?1 C．0 D．3【解題思路】由函數(shù)fx是偶函數(shù)且在?∞,0上是增函數(shù)，可知函數(shù)fx在0,+∞上單調(diào)遞減，由冪函數(shù)的性質(zhì)可得m2+2m?3<0，結(jié)合m∈Z，即可解出m=?2或【解答過程】因為函數(shù)fx是偶函數(shù)且在?所以函數(shù)fx在0,+所以m2+2m?3<0，即(m?1)(m+3)<0，解得又因為m∈Z，所以m=?2或m=?1或m=0當(dāng)m=0或m=?2時，fx=x當(dāng)m=?1時，fx=x所以m=?1.故選：B.【答案】D【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，故選：D【練習(xí)】A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)判斷參數(shù)的大小關(guān)系，即可得答案.所以，，依次可以是，，3．故選：DA．B．C．D．【答案】A故選：A【例題4】已知冪函數(shù)fx①fx在0,+②對?x∈R，都有f求同時滿足①②的冪函數(shù)fx的解析式，并求出x∈1,4時，【解題思路】利用冪函數(shù)的性質(zhì)及題設(shè)條件可確定fx【解答過程】因為fx在0,+∞上為增函數(shù)，所以?m又?2<m<2,m∈Z，所以，m=?1或m=0又因為f?x=fx，所以f當(dāng)m=?1時，?m2?2m+3=4滿足題意；當(dāng)m=0所以fx又因為fx=x4在1,4上遞增，所以故x∈1,4時，fx的值域是【練習(xí)】1、已知冪函數(shù)fx=xA．定義域為{x|x≠0} B．值域為RC．偶函數(shù) D．減函數(shù)【解題思路】結(jié)合冪函數(shù)性質(zhì)逐項判斷即可得.【解答過程】因為冪函數(shù)fx=xα的圖象過點所以α=?1，所以fx對A、B：因為fx=x?1=故A正確、B錯誤；對C：f?x=1?x=?f對D：fx=1x在區(qū)間由f?2=?1故選：A.2、已知冪函數(shù)y=fx=x?2m2?m+3(?2<m<2，且（1）求同時滿足①②的冪函數(shù)fx（2）在（1）條件下，求x∈0,3時f【解題思路】（1）由②得函數(shù)為奇函數(shù)，對m分類討論判斷即可；（2）利用函數(shù)單調(diào)性求值域.【解答過程】（1）對任意的x∈R，都有f?x+fx?2<m<2且m∈Z，則當(dāng)m=?1時，fx當(dāng)m=0時，fx當(dāng)m=1時，fx故冪函數(shù)fx的解析式為f（2）x∈0,3，f故fx的值域為0,27【例題5】（1）求的解析式；2、已知冪函數(shù)fx（1）求函數(shù)fx（2）解關(guān)于x的不等式fx【解題思路】（1）根據(jù)冪函數(shù)定義求出m的值，由偶函數(shù)性質(zhì)求出符合題意的m，得到解析式；（2）由一元二次不等式的解法對a分a>1，a=1，a<1三種情況討論得到不等式的解集.【解答過程】（1）由題意，因為fx所以2m2?m=1，解得m=1當(dāng)m=1時，fx=x顯然f?x=fx當(dāng)m=?12時，此時fx的定義域為0,+故fx故函數(shù)fx（2）因為fx=x2，則不等式等價于當(dāng)a>1時，有1≤x≤a，不等式的解集為x∣1≤x≤a；當(dāng)a=1時，有x=1，不等式的解集為x∣x=1；當(dāng)a<1時，有a≤x≤1，不等式的解集為x∣a≤x≤1.綜上，當(dāng)a>1時，不等式的解集為x∣1≤x≤a；當(dāng)a=1時，不等式的解集為x∣x=1；當(dāng)a<1時，不等式的解集為x∣a≤x≤1.【練習(xí)】2、已知冪函數(shù)fx=m（1）求函數(shù)fx（2）若f1?2x<fx+2（3）若對任意x∈1,2，都存在a∈1,2，使得fx【解題思路】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)，列出關(guān)系式，即可求解；（2）由函數(shù)fx=x（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為fxmax≤at2【解答過程】（1）解：由冪函數(shù)fx=m可得m2?4m+4=12m?4>0所以fx（2）解：由函數(shù)fx=x2圖象關(guān)于則f1?2x<fx+2可化為1?2x化簡得3x2?8x?3<0，解得?13（3）解：由（1）知fx因為對?x∈1,2，使得f所以fxmax≤a由（1）可得函數(shù)fx=x2在因為存在a∈1,2，使得at2又因為t2+1>0，所以y=at所以at2?t+a?3max=2t2所以實數(shù)t的取值范圍為?∞課堂檢測1、下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．y=2x B．y=2x?1C．y=(x+1)2 【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的定義即可得解.【解答過程】根據(jù)冪函數(shù)的定義，A、B、C均不是冪函數(shù)，只有D選項y=3x2=x故選：D.2、冪函數(shù)y=fx的圖象過點4,12A．fx=x?12C．fx=x?7【解題思路】設(shè)出冪函數(shù)解析式，將點的坐標(biāo)代入即可求解.【解答過程】設(shè)冪函數(shù)fx=xa，將點4,12代入所以冪函數(shù)的解析式為fx=x?1故函數(shù)的解析式為fx=x故選：A.3、給出5個冪函數(shù)：①y=x?2；②y=x45；③y=x14；④A．①② B．②③ C．②④ D．③④【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的定義域求得正確答案.【解答過程】①y=x?2=②y=x45③y=x14④y=x23⑤y=x?4所以符合的是②④.故選：C.4、已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖像過點(8,4)，則f(x)=xA．?∞,0 B．?∞,0C．0,+∞ D．0,+∞【解題思路】先求出冪函數(shù)解析式，根據(jù)解析式即可求出值域.【解答過程】∵冪函數(shù)f(x)=xα的圖像過點∴8α=4∴f(x)=x∴f(x)的值域是0,+∞.故選：D.5、如圖的曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限內(nèi)的圖象.已知n分別取?2,?12,

A．2,12,?12,?2 B．2,?2,?【解題思路】由冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷選項.【解答過程】由冪函數(shù)的單調(diào)性可知曲線C1、C2、故選：A.6、已知冪函數(shù)f(x)=m2?2m?2xm?1(m∈R)是偶函數(shù)，且f(x)在A．?2 B．?1 C．0 D．3【解題思路】利用冪函數(shù)的定義與性質(zhì)即可得解.【解答過程】因為f(x)=(m所以m2?2m?2=1，解得m=3或又f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)，則m?1<0，即所以m=?1，此時f(x)=x故選：B.7、已知a=243A．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b【解題思路】利用冪函數(shù)的單調(diào)性判定即可．【解答過程】由y=x則可知c=3由y=x又b15=所以b<c<a．故選：C．8、已知冪函數(shù)fx的圖象過點12,A．x1fxC．fx1x【解題思路】根據(jù)題意可得fx【解答過程】設(shè)冪函數(shù)fx因為fx的圖象經(jīng)過點12,24所以fx因為函數(shù)fx=x則當(dāng)0<x1<所以x1fx故選項A,又因為函數(shù)fx則當(dāng)0<x1<x2故選項D正確，選項B錯誤.故選：D.9、若冪函數(shù)fx=xα圖象過點12,1A．?∞,2 B．2,+∞ C．?2,2【解題思路】由已知條件求出α的知，分析函數(shù)fx在R上的單調(diào)性，由fa+2<f【解答過程】由已知條件可得f12=12所以，函數(shù)fx在R由fa+2<f2a可得a+2<2a故選：B.（1）求此冪函數(shù)的表達(dá)式和定義域；課后作業(yè)1、下列函數(shù)中冪函數(shù)的是（

）A．y=3x B．y=x2+2 C．y=【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的定義直接得出結(jié)果.【解答過程】A：函數(shù)y=3x為一次函數(shù)，故A不符合題意；B：函數(shù)y=xC：函數(shù)y=(x+1)D：函數(shù)y=x故選：D.2、已知冪函數(shù)fx的圖象過點3,19，則fA．4 B．3 C．14 【解題思路】先用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)解析式fx=x【解答過程】設(shè)冪函數(shù)fx=x得19=3所以fx則f2故選：C．3、已知冪函數(shù)y=(m2?m?1)xmA．2 B．?2或1 C．?1或2 D．?1【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的概念求出m，再由函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限得出即可．【解答過程】解：因為y=m2?m?1xm是冪函數(shù)，所以m當(dāng)m=?1時，y=x當(dāng)m=2時，y=x綜上，m=?1．故選：D．4、下列函數(shù)中定義域為R的是（

）A．y=x12C．y=x23【解題思路】將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為根式，再根據(jù)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可得到答案.【解答過程】y=x12y=x54y=x23y=x?1故選：C.5、下列函數(shù)中，值域為0,+∞的是（

A．fx=xC．fx=1【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義域、冪函數(shù)的性質(zhì)、以及基本不等式可直接求得選項中各函數(shù)的值域進(jìn)行判斷即可.【解答過程】由已知f(x)=x值域為0,+∵x>0，∴fx=x+1f(x)=1x+1因為定義域為x∈?1,+∞，f(x)=1?1x(x>1)，1x∈故選：C.6、如圖，已知冪函數(shù)y=xa,y=xbA．c<b<a B．a(chǎn)<c<bC．c<a<b D．a(chǎn)<b<c【解題思路】由冪函數(shù)在0,+∞【解答過程】由題意結(jié)合圖象可知a<0<c<1<b.故選：B.7、冪函數(shù)y=xm2?2m?3m∈Z的圖象關(guān)于y軸對稱，且在A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】首先根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，確定m得到取值，再回代函數(shù)確定函數(shù)的奇偶性，即可求解.【解答過程】因為冪函數(shù)y=xm2?2m?3，所以m2?2m?3<0，解得：因為m∈Z，得m=0,1,2當(dāng)m=0時，函數(shù)y=x?3是奇函數(shù)，不關(guān)于當(dāng)m=1時，函數(shù)y=x?4是偶函數(shù)，關(guān)于當(dāng)m=2時，函數(shù)y=x?3是奇函數(shù)，不關(guān)于所以m=1.故選：A.8、若a=1323，b=1523，c=4A．a(chǎn)<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c【解題思路】利用冪函數(shù)y=x23【解答過程】因為a=1323，又y=x23所以1523故選：D.9、已知冪函數(shù)f(x)=a2?2a?2xa(a∈RA．(?∞,?5)∪(1,+∞) B．(?∞,?1)∪(5,+【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)求出a的值，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解不等式的解集.【解答過程】解：因為函數(shù)f(x)=a2?2a?2xa(a∈R)為冪函數(shù)，所以又冪函數(shù)f(x)=a2?