13.3.1三角形的內(nèi)角第1課時(shí)三角形的內(nèi)角和13.3三角形的內(nèi)角與外角

你還記得在小學(xué)是如何通過(guò)剪拼的方法得出三角形的內(nèi)角和嗎？探究知識(shí)點(diǎn)

三角形的內(nèi)角和ABCABCBCBABCAABC······將三個(gè)角拼合到一起的目的是什么？為了得到一個(gè)平角.有了平角，根據(jù)平角定義，就得到了180°.知識(shí)點(diǎn)

三角形的內(nèi)角和從下圖給出的操作過(guò)程中，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？BBCCAlABCl12345直線l

與△ABC

的邊BC

有什么關(guān)系？直線l∥BC證明思路：過(guò)點(diǎn)A作直線l//BC由平行線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)移∠B和∠C由平角定義得到180°知識(shí)點(diǎn)

三角形的內(nèi)角和ABCl12345已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作直線l，使l//

BC.∵l//

BC，∴∠2=∠4(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).同理∠3=∠5.∵∠1，∠4，∠5組成平角，∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代換).∴∠1+∠4+∠5=180°(平角定義).有其他證法嗎？知識(shí)點(diǎn)

三角形的內(nèi)角和三角形的內(nèi)角和定理ABC三角形的內(nèi)角和等于180°.幾何語(yǔ)言：在△ABC

中，∠A+∠B+∠C=180°知識(shí)點(diǎn)

三角形的內(nèi)角和BBCAAl從下圖給出的操作過(guò)程中，你能發(fā)現(xiàn)其他證明的思路嗎？探究ABCl12345知識(shí)點(diǎn)

三角形的內(nèi)角和延長(zhǎng)BC，過(guò)點(diǎn)C作直線l，使l//

AB.∵l//

AB，∴∠1=∠4(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).且∠2=∠5.∵∠3，∠4，∠5組成平角，∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代換).∴∠3+∠4+∠5=180°(平角定義).ABCl12345證法2：(兩直線平行，同位角相等).通過(guò)前面的操作和證明過(guò)程，你有什么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？CAB12345lP6mCAB12345lP6mnCAB12345lP6mn借助平行線“移角”功能，將三個(gè)角轉(zhuǎn)化成一個(gè)平角.轉(zhuǎn)化思想知識(shí)點(diǎn)

三角形的內(nèi)角和①依據(jù)平角定義，得到180°除了構(gòu)造平角得到180°外，還有其他方式嗎？思路②如何添加輔助線？利用平行線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)移角添加平行線(輔助線)②兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)ABCl21F1423DEABC知識(shí)點(diǎn)

三角形的內(nèi)角和證法三證法四針對(duì)訓(xùn)練如圖，說(shuō)出各圖中∠1的度數(shù).

30°105°1（2）80°50°1（1）22°1（3）50°45°68°∠1=180°–50°–80°=50°∠1=180°–105°–30°=45°∠1=180°–22°–90°=68°例1

如圖，在△ABC

中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD

是△ABC的角平分線.求∠ADB

的度數(shù).教材P12例題第1題ACBDACBD教材P12例題第1題解：由∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分線，得在△ABD中，∠ADB=180°–∠B–∠BAD

=180°–75°–

20°=85°.∠BAD＝

∠BAC＝20°.教材P12例題第2題例2

下圖是

A，B，C三島的平面圖，C島在

A島的北偏東50°方向，B島在

A島的北偏東80°方向，C島在

B島的北偏西40°方向.從

B島看

A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從

C島看

A，B兩島的視角∠ACB呢？北北CABDE80°40°？50°？教材P12例題第2題分析：A，B，C三島的連線構(gòu)成△ABC，所求的∠ABC，∠ACB是△ABC的內(nèi)角.如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求∠ACB.北北CABDE80°40°？50°？教材P12例題第2題解：∠CAB=∠BAD–∠CAD=

80°–

50°

=30°.由

AD//

BE，得

∠BAD+∠ABE

=180°.在△ABC中，∠ACB

=

180°–∠ABC–∠CAB

=180°–60°–30°

=

90°.答：從

B島看

A，C兩島的視角∠ABC是60°，

從

C島看

A，B兩島的視角∠ACB是90°.所以∠ABE=180°–∠BAD=

180°–80°

=100°，∠ABC=∠ABE

–∠EBC=100°–

40°

=

60°.北北CABDE80°40°50°你還能給出其他解法嗎？教材P12例題第2題解：過(guò)點(diǎn)C作CF//AD，則CF//BE.∴∠1=∠3，∠2

=∠4

(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∴∠ACB

=

∠1

+∠2

=

∠3+∠4

=50°+40°=

90°

(等量代換)所以∠ABC=

180°–∠BAD

–∠4

=

180°–80°–40°=

60°.由

AD//

BE，得

∠BAD+∠ABE

=180°.北北CABDE80°40°50°12F34答：從

B島看

A，C兩島的視角∠ABC是60°，

從

C島看

A，B兩島的視角∠ACB是90°.隨堂演練教材P13練習(xí)第1題1.如圖，從A處觀測(cè)C

處的仰角∠CAD=30°，從B

處觀測(cè)C

處的仰角∠CBD=45°.從C

處觀測(cè)A，B

兩處的視角∠ACB

是多少度？CABD隨堂演練教材P13練習(xí)第1題CABD解：在△ABC中，∠ACD=180°–(∠BAD+∠CAD)

=180°–(30°

+

90°)=60°

.在△BCD中，∠BCD=

180°–(∠CBD+∠D)

=180°–(45°

+

90°)=45°

.∴∠ACB=∠ACD–∠BCD

=60°–45°

=15°

.隨堂演練教材P13練習(xí)第2題2.如圖，在△ABC中，∠A=40°，求∠B+∠C+∠ADE+∠AED

的度數(shù).CABDE隨堂演練教材P13練習(xí)第2題CABDE解：在△ADE中，∠ACD+∠AED=180°–∠A

=180°–40°=140°

.在△ABC中，∠B+∠C=180°–∠A

=180°–40°=140°

.∴∠B+∠C+∠ADE+∠AED

=140°+140°

=280°

.隨堂演練3.已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角.（1）若∠A=95°，∠B=40°，則∠C=_____；（2）若∠A:∠B

:∠C=4:5:9，則∠C=_____；（3）若∠A=2∠B=6∠C，則∠B=_____.（1）∠C=180°–∠A–∠B45°（2）設(shè)∠A=4x°，則∠B=5x°，∠C=9x°∴4x+5x+9x=180解得x=1090°54°（3）設(shè)∠C=x°，則∠A=6x°，∠B=3x°∴6x+3x+x=180解得x=18情境導(dǎo)入這是我們常用的一副直角三角尺，量一量自己手上的這兩把三角尺，其兩銳角的度數(shù)之和分別是多少？ABC對(duì)任意直角三角形，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？都是90°探究新知知識(shí)點(diǎn)1直角三角形的性質(zhì)如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A與∠B有什么關(guān)系？∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B

+

90°=180°，所以∠A+∠B=90°.由三角形的內(nèi)角和定理，得直角三角形的兩個(gè)銳角互余.ABC也就是說(shuō)直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫(xiě)成Rt△ABC.直角三角形的表示方法ABC文字語(yǔ)言幾何語(yǔ)言直角三角形的兩個(gè)銳角互余如圖，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°教材P14例題第3題例3

如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點(diǎn)E，比較∠CAE與∠DBE的大小.ACDEB教材P14例題第3題ACDEB解：在Rt△AEC中，∠CAE=

90°–∠AEC.∵∠AEC=∠BED

，∴∠CAE=∠DBE.在Rt△BDE中，∠DBE=

90°

–∠BED

.教材P14練習(xí)第1題如圖，在△ABC，中，∠ACB

=90°，CD⊥AB，垂足為

D.∠ACD

與∠B

有什么關(guān)系？為什么？針對(duì)訓(xùn)練ACDB解：∠ACD=∠B.理由：∵∠ACB

=90°，CD⊥AB，∴∠ACD

+∠BCD=90°，∠B

+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B.2.如圖，∠B=∠C=90°，AD

交BC

于點(diǎn)O，∠A

與∠D

有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：∠A=∠D.理由：∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.針對(duì)訓(xùn)練ACDBO模型歸納F(C)BAEDEFD(A)BCEFDB(A)CB(E)AFD(C)EBC(A)FD知識(shí)點(diǎn)2直角三角形的判定思考有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形嗎？CAB你有什么猜想？如何證明你的猜想？知識(shí)點(diǎn)2直角三角形的判定即△ABC是直角三角形.ABC猜想：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.已知：____________________________求證：____________________________△ABC中，∠A+∠B=90°.∠C＝90°.∠A+∠B+∠C=180°.又∵∠A+∠B

=

90°，∴∠C=180°

–90°

=90°.證明：由三角形的內(nèi)角和等于180°，得文字語(yǔ)言幾何語(yǔ)言有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形如圖，在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形ACB知識(shí)點(diǎn)2直角三角形的判定針對(duì)訓(xùn)練1.如圖，在△ABC中，∠C=25°，直線a//b，點(diǎn)A

在直線a

上，若∠1

=75°，∠2=40°，則△ABC按角分類屬于_____三角形.直角1ACBab240°65°90°教材P14練習(xí)第2題2.如圖，在△ABC

中，∠C＝90°，點(diǎn)D，E

分別在邊AB，AC

上，且∠1

＝∠2，△ADE是直角三角形嗎？為什么？針對(duì)訓(xùn)練12ABCDE∵∠C

=90°，∴∠A+∠2

=90°.∴∠ADE=90°.∵∠1

=

∠2，∴∠A+∠1

=90°.解：是直角三角形.理由：∴△ADE是直角三角形.隨堂演練1.具備下列條件的△ABC中，是直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠CB.∠A∶∠