經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)二試題答案

一、單項(xiàng)選擇題(每題2分,共10題)1.函數(shù)\(y=x^2+1\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是(）A.1B.2C.3D.42.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為()A.0B.1C.2D.不存在3.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的行列式值是()A.-2B.2C.10D.-104.若函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)導(dǎo)數(shù)恒為0,則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)()A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.是常數(shù)函數(shù)D.有極值5.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為()A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.36.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\),\(\vec=(2,k)\),若\(\vec{a}\)與\(\vec\)平行,則\(k\)的值為()A.1B.2C.4D.87.二元函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的全微分\(dz\)為()A.\(2dx+2dy\)B.\(dx+dy\)C.\(4dx+4dy\)D.\(dx-dy\)8.線性方程組\(\begin{cases}x+y=1\\x-y=3\end{cases}\)的解是()A.\(x=2,y=-1\)B.\(x=1,y=0\)C.\(x=0,y=1\)D.\(x=-1,y=2\)9.函數(shù)\(y=e^{2x}\)的原函數(shù)是()A.\(\frac{1}{2}e^{2x}+C\)B.\(2e^{2x}+C\)C.\(e^{2x}+C\)D.\(-\frac{1}{2}e^{2x}+C\)10.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(0,1)\),則\(P(X\leq0)\)的值為()A.0.2B.0.5C.0.8D.1二、多項(xiàng)選擇題(每題2分,共10題)1.下列函數(shù)中,是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=|x|\)2.以下哪些是求導(dǎo)公式()A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)3.矩陣的運(yùn)算包括()A.加法B.乘法C.轉(zhuǎn)置D.求行列式4.下列哪些說(shuō)法正確()A.函數(shù)的駐點(diǎn)可能是極值點(diǎn)B.函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)則一定連續(xù)C.連續(xù)函數(shù)一定可導(dǎo)D.函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)5.關(guān)于定積分性質(zhì),正確的有()A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)(\(k\)為常數(shù)）B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\)6.向量的運(yùn)算有()A.加法B.數(shù)乘C.點(diǎn)積D.叉積7.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)可微的充分條件有()A.\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)B.\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在C.\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處連續(xù)D.\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處有全增量\(\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)\)8.線性方程組解的情況有()A.有唯一解B.有無(wú)窮多解C.無(wú)解D.不確定9.下列哪些是常見(jiàn)的概率分布()A.正態(tài)分布B.泊松分布C.均勻分布D.二項(xiàng)分布10.求不定積分的方法有()A.直接積分法B.換元積分法C.分部積分法D.待定系數(shù)法三、判斷題(每題2分,共10題)1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。()2.若矩陣\(A\)與矩陣\(B\)相乘有意義,則\(AB=BA\)。（)3.函數(shù)\(y=x^3\)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。()4.定積分的值與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)。()5.向量\(\vec{a}=(1,0)\)與向量\(\vec=(0,1)\)垂直。()6.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在,則函數(shù)在該點(diǎn)可微。(）7.線性方程組\(Ax=b\),若\(|A|\neq0\),則方程組有唯一解。（)8.隨機(jī)變量\(X\)的期望\(E(X)\)一定是\(X\)可能取值中的一個(gè)。()9.函數(shù)\(y=\sinx\)的一個(gè)原函數(shù)是\(-\cosx+C\)。()10.若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上可積,則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）四、簡(jiǎn)答題(每題5分,共4題)1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的極值點(diǎn)與極值。答案:對(duì)\(y\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x\),令\(y^\prime=0\),即\(3x(x-2)=0\),解得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\),\(y^\prime\gt0\);\(0\ltx\lt2\),\(y^\prime\lt0\);\(x\gt2\),\(y^\prime\gt0\)。所以\(x=0\)是極大值點(diǎn),極大值為\(y(0)=2\);\(x=2\)是極小值點(diǎn),極小值為\(y(2)=-2\)。2.計(jì)算矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣。答案:先求行列式\(|A|=1×4-2×3=-2\)。伴隨矩陣\(adj(A)=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\),則\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。3.計(jì)算定積分\(\int_{1}^{2}(x+\frac{1}{x})dx\)。答案:\(\int_{1}^{2}(x+\frac{1}{x})dx=\int_{1}^{2}xdx+\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx\)。\(\int_{1}^{2}xdx=[\frac{1}{2}x^2]_{1}^{2}=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\),\(\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx=[\lnx]_{1}^{2}=\ln2-\ln1=\ln2\),所以結(jié)果為\(\frac{3}{2}+\ln2\)。4.簡(jiǎn)述隨機(jī)變量期望和方差的意義。答案:期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平;方差衡量隨機(jī)變量取值相對(duì)于期望的離散程度,方差越大,取值越分散,方差越小,取值越集中在期望附近。五、討論題(每題5分,共4題)1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調(diào)性與漸近線。答案:對(duì)\(y=\frac{1}{x-1}\)求導(dǎo)得\(y^\prime=-\frac{1}{(x-1)^2}\lt0\),定義域?yàn)閈(x\neq1\),所以在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減。當(dāng)\(x\to1\)時(shí),\(y\to\infty\),所以\(x=1\)是垂直漸近線;當(dāng)\(x\to\pm\infty\)時(shí),\(y\to0\),所以\(y=0\)是水平漸近線。2.討論矩陣可逆的條件及可逆矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用。答案:矩陣\(A\)可逆的充要條件是\(|A|\neq0\)。在實(shí)際中,可逆矩陣常用于求解線性方程組,通過(guò)\(A^{-1}\)可快速得到方程組的解;在密碼學(xué)中用于加密和解密信息,對(duì)信息矩陣進(jìn)行可逆變換提高安全性。3.討論二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)極值存在的條件與判斷方法。答案:二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)極值存在的必要條件是在極值點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)為0或不存在。充分條件是:設(shè)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)某鄰域有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),令\(A=f_{xx}(x_0,y_0)\),\(B=f_{xy}(x_0,y_0)\),\(C=f_{yy}(x_0,y_0)\),當(dāng)\(AC-B^2\gt0\)且\(A\gt0\)時(shí)為極小值點(diǎn),\(AC-B^2\gt0\)且\(A\lt0\)時(shí)為極大值點(diǎn),\(AC-B^2\lt0\)時(shí)不是極值點(diǎn)。4.討論概率在風(fēng)險(xiǎn)管理中的作用。答案:概率在風(fēng)險(xiǎn)管理中作用重大。可通過(guò)概率計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的可能性大小,對(duì)不同風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行量化評(píng)估。利用概率分布預(yù)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)損失的范圍和可能性,從而制定合理的風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對(duì)策略,如確定保險(xiǎn)費(fèi)率、投資組合的風(fēng)險(xiǎn)控制等,