2.1.2空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系1．了解空間中兩條直線(xiàn)的三種位置關(guān)系，理解兩異面直線(xiàn)的定義，會(huì)用平面襯托來(lái)畫(huà)異面直線(xiàn)．2．理解平行公理(公理4)和等角定理．(重點(diǎn))3．會(huì)用異面直線(xiàn)所成的角的定義找出或作出異面直線(xiàn)所成的角，會(huì)在直角三角形中求簡(jiǎn)單異面直線(xiàn)所成的角．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1空間直線(xiàn)的位置關(guān)系閱讀教材P44～P45“探究”以上的內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．1．異面直線(xiàn)(1)定義：把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)叫做異面直線(xiàn)．(2)畫(huà)法：(通常用平面襯托)圖2-1-102．空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(共面直線(xiàn))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn).,平行直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).)),異面直線(xiàn)：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).))判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩條直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，則這兩條直線(xiàn)平行．()(2)兩直線(xiàn)若不是異面直線(xiàn)，則必相交或平行．()(3)過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的連線(xiàn)，與平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)均構(gòu)成異面直線(xiàn)．()(4)和兩條異面直線(xiàn)都相交的兩直線(xiàn)必是異面直線(xiàn)．()【解析】(1)錯(cuò)誤．空間兩直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，則可能平行，也可能異面．(2)正確．因空間兩條不重合的直線(xiàn)的位置關(guān)系只有三種：平行、相交或異面．(3)錯(cuò)誤．過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的連線(xiàn)，和平面內(nèi)過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是相交直線(xiàn)．(4)錯(cuò)誤．和兩條異面直線(xiàn)都相交的兩直線(xiàn)也可能是相交直線(xiàn)．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×教材整理2公理4及等角定理閱讀教材P45“探究”以下至P46倒數(shù)第7行的內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．1．公理4文字表述：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行．這一性質(zhì)叫做空間平行線(xiàn)的傳遞性．符號(hào)表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c.2．等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，則∠PQR等于()A．30° B．30°或150°C．150° D．以上結(jié)論都不對(duì)【解析】因?yàn)锳B∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR與∠ABC相等或互補(bǔ)．因?yàn)椤螦BC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.【答案】B教材整理3異面直線(xiàn)所成的角閱讀教材P46下面的兩個(gè)自然段至P47“探究”以上的內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．1．定義：已知兩條異面直線(xiàn)a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角)．2．異面直線(xiàn)所成的角θ的取值范圍：0°<θ_≤90°.3．當(dāng)θ＝90°時(shí)，a與b互相垂直，記作a⊥b.如圖2-1-11，正方體ABCD-A′B′C′D′中異面直線(xiàn)A′B′與BC所成的角為_(kāi)_______．異面直線(xiàn)AD′與BC所成的角為_(kāi)_______．圖2-1-11【解析】∵A′B′∥AB，∴∠ABC為A′B′與BC所成的角，又∠ABC＝90°，∴A′B′與BC所成的角為90°.∵BC∥AD，∴∠D′AD為AD′與BC所成的角，因?yàn)椤螪′AD＝45°，故AD′與BC所成的角為45°.【答案】90°45°[小組合作型]空間兩直線(xiàn)位置關(guān)系的判定如圖2-1-12，正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線(xiàn)的位置關(guān)系：圖2-1-12①直線(xiàn)A1B與直線(xiàn)D1C②直線(xiàn)A1B與直線(xiàn)B1C③直線(xiàn)D1D與直線(xiàn)D1C④直線(xiàn)AB與直線(xiàn)B1C【精彩點(diǎn)撥】判斷兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，主要依據(jù)定義判斷．【自主解答】根據(jù)題目條件知道直線(xiàn)A1B與直線(xiàn)D1C在平面A1BCD1中，且沒(méi)有交點(diǎn)，則兩直線(xiàn)“平行”，所以①應(yīng)該填“平行”；點(diǎn)A1、B、B1在一個(gè)平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線(xiàn)A1B與直線(xiàn)B1C“異面”．同理，直線(xiàn)AB與直線(xiàn)B1C“異面”．所以②④都應(yīng)該填“異面”；直線(xiàn)D1D與直線(xiàn)D1C相交于D1點(diǎn)，所以③【答案】①平行②異面③相交④異面1．判定兩條直線(xiàn)平行與相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線(xiàn)平行也可以用公理4判斷．2．判定兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)有定義法和排除法，由于使用定義判斷不方便，故常用排除法，即說(shuō)明這兩條直線(xiàn)不平行、不相交，則它們異面．[再練一題]1．(1)若a、b是異面直線(xiàn)，b、c是異面直線(xiàn)，則()A．a(chǎn)∥c B．a(chǎn)、c是異面直線(xiàn)C．a(chǎn)、c相交 D．a(chǎn)、c平行或相交或異面(2)若直線(xiàn)a、b、c滿(mǎn)足a∥b，a、c異面，則b與c()A．一定是異面直線(xiàn)B．一定是相交直線(xiàn)C．不可能是平行直線(xiàn)D．不可能是相交直線(xiàn)【解析】(1)若a、b是異面直線(xiàn)，b、c是異面直線(xiàn)，那么a、c可以平行，可以相交，可以異面．(2)若a∥b，a、c是異面直線(xiàn)，那么b與c不可能平行，否則由公理4知a∥c.【答案】(1)D(2)C公理4、等角定理的應(yīng)用如圖2-1-13，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn)．圖2-1-13(1)求證：四邊形BB1M(2)求證：∠BMC＝∠B1M1【精彩點(diǎn)撥】(1)欲證四邊形BB1M【自主解答】(1)∵ABCD-A1B1C1D1∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M、M1分別為棱AD、A1D1的中點(diǎn)，∴AM＝A1M1且AM∥A1M∴四邊形AMM1A1∴M1M＝AA1且M1M∥AA又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四邊形BB1M(2)法一由(1)知四邊形BB1M∴B1M1∥BM同理可得四邊形CC1M∴C1M1∥CM由平面幾何知識(shí)可知，∠BMC和∠B1M1∴∠BMC＝∠B1M1法二由(1)知四邊形BB1M∴B1M1＝BM同理可得四邊形CC1M∴C1M1＝CM又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C∴∠BMC＝∠B1M11．空間兩條直線(xiàn)平行的證明一是定義法：即證明兩條直線(xiàn)在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)；二是利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線(xiàn)，梯形，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；三是利用公理4：找到一條直線(xiàn)，使所證的直線(xiàn)都與這條直線(xiàn)平行．2．求證角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．[再練一題]2．如圖2-1-14，已知在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD圖2-1-14求證：(1)四邊形MNA1C1(2)∠DNM＝∠D1A1【證明】(1)如圖，連接AC，在△ACD中，∵M(jìn)，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，∴MN是△ACD的中位線(xiàn)，∴MN∥AC，MN＝eq\f(1,2)AC.由正方體的性質(zhì)得：AC∥A1C1，AC＝A1C∴MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2)A1C1，即MN≠A1C1∴四邊形MNA1C1(2)由(1)可知MN∥A1C1又∵ND∥A1D1，∴∠DNM與∠D1A1而∠DNM與∠D1A1∴∠DNM＝∠D1A1[探究共研型]求異面直線(xiàn)所成的角探究1已知直線(xiàn)a，b是兩條異面直線(xiàn)，如圖2-1-15，如何作出這兩條異面直線(xiàn)所成的角？圖2-1-15【提示】如圖，在空間中任取一點(diǎn)O，作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，則兩條相交直線(xiàn)a′，b′所成的銳角(或直角)角θ即兩條異面直線(xiàn)a，b所成的角．探究2異面直線(xiàn)a與b所成角的大小與什么有關(guān)，與點(diǎn)O的位置有關(guān)嗎？通常點(diǎn)O取在什么位置？【提示】異面直線(xiàn)a與b所成角的大小只由a，b的相互位置有關(guān)，與點(diǎn)O的位置選擇無(wú)關(guān)，一般情況下為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O常選取在兩條異面直線(xiàn)中的一條上．如圖2-1-16，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，若EF＝eq\r(3)，求異面直線(xiàn)AD、BC所成角的大?。畧D2-1-16【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)求異面直線(xiàn)所成角的方法，將異面直線(xiàn)AD、BC平移到同一平面上解決．【自主解答】如圖，取BD的中點(diǎn)M，連接EM、FM.因?yàn)镋、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，所以EM綊eq\f(1,2)AD，F(xiàn)M綊eq\f(1,2)BC，則∠EMF或其補(bǔ)角就是異面直線(xiàn)AD、BC所成的角．因?yàn)锳D＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(\r(3),2)，則sin∠EMH＝eq\f(\r(3),2)，于是∠EMH＝60°，則∠EMF＝2∠EMH＝120°.所以異面直線(xiàn)AD、BC所成的角為∠EMF的補(bǔ)角，即異面直線(xiàn)AD、BC所成的角為60°.求兩異面直線(xiàn)所成的角的三個(gè)步驟1．作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線(xiàn)所成的角．2．證：證明作出的角就是要求的角．3．計(jì)算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二證三計(jì)算”來(lái)概括．同時(shí)注意異面直線(xiàn)所成角θ的取值的范圍是0°<θ≤90°.[再練一題]3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求A1B與B1D1【解】如圖，連接BD、A1D，∵ABCD-A1B1C1D1∴DD1綊BB1，∴四邊形DBB1D1為平行四邊形，∴BD∥B1D1.∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的對(duì)角線(xiàn)，∴A1B＝BD＝A1D，△A1BD是正三角形，∴∠A1BD＝60°.∵∠A1BD是銳角，∴∠A1BD是異面直線(xiàn)A1B與B1D1所成的角，∴A1B與B1D1所成的角為60°.1．對(duì)于任意的直線(xiàn)l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線(xiàn)m，使m與l()A．平行 B．相交C．垂直 D．互為異面直線(xiàn)【解析】不論l∥α，l?α還是l與α相交，α內(nèi)都有直線(xiàn)m使得m⊥l.【答案】C2．下列命題中，正確的結(jié)論有()①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；②如果兩條相交直線(xiàn)和另兩條相交直線(xiàn)分別平行，那么這兩組直線(xiàn)所成的銳角(或直角)相等；③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；④如果兩條直線(xiàn)同時(shí)平行于第三條直線(xiàn)，那么這兩條直線(xiàn)互相平行．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【解析】由公理4及等角定理知，只有②④正確．【答案】B3．已知角α和角β的兩邊分別平行且一組邊方向相同，另一組邊的方向相反，若α＝45°，則β＝________.【解析】由等角定理可知β＝135°.【答案】135°4．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，與棱AA1【解析】如圖，與棱AA1垂直且異面的棱有DC，BC，D1C1