第2課時函數奇偶性的應用關鍵能力·合作學習類型一利用函數的奇偶性求解析式(數學抽象、直觀想象)【典例】已知f(x)為R上的奇函數,當x>0時,f(x)=-2x2+3x+1,求函數f(x)的解析式.四步內容理解題意條件:①f(x)為R上的奇函數,②當x>0時,f(x)=-2x2+3x+1,結論:求函數f(x)的解析式思路探求設x<0→-x>0→x>0時,f(x)=-2x2+3x+1→f(x)的解析式四步內容書寫表達設x<0,則-x>0,因為x>0時,f(x)=-2x2+3x+1,所以f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是R上的奇函數,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.即當x<0時,f(x)=2x2+3x-1.因為f(x)為R上的奇函數,故f(0)=0.綜上,f(x)的解析式為f(x)=題后反思解答此類題目的一般思路是:若函數f(x)的定義域內含0且為奇函數,則必有f(0)=0,但若為偶函數,未必有f(0)=0.【解題策略】利用函數奇偶性求解析式的方法(1)“求誰設誰”,即在哪個區(qū)間上求解析式,x就應設在哪個區(qū)間上.(2)要利用已知區(qū)間的解析式進行代入.(3)利用f(x)的奇偶性寫出-f(x)或f(-x),從而解出f(x).【跟蹤訓練】函數f(x)是在R上的偶函數,且當x<0時,f(x)=x(x-1),則當x>0時,f(x)=________.

【解析】當x>0時,-x<0,則f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1).因為函數f(x)為R上的偶函數,故f(x)=f(-x)=x(x+1).答案:x(x+1)類型二奇偶性與單調性關系的應用(數學抽象,邏輯推理)角度1比較大小

【典例】定義在R上的偶函數f(x)滿足:對任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,則 (

)

A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)【思路導引】根據題意得出函數在[0,+∞)上的單調性,結合f(x)為偶函數分析f(3),f(-2)和f(1)的大小關系.【解析】選A.根據題意,函數f(x)為偶函數,則f(-2)=f(2),函數f(x)滿足:對任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,則函數f(x)在[0,+∞)上為減函數,則f(3)<f(2)<f(1),又由f(-2)=f(2),則f(3)<f(-2)<f(1).角度2解不等式

【典例】已知偶函數f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調遞增,則滿足條件f(2x+1)<f(5)的x的取值范圍是(

)A.(-3,2) B.(-2,3)C.(-2,2) D.[-3,2]【思路導引】利用奇偶性得出函數在R上的單調性,再確定2x+1的范圍,從而求x的范圍.【解析】選A.因為函數f(x)為偶函數且在區(qū)間[0,+∞)上單調遞增,則在(-∞,0)上是減函數,f(2x+1)<f(5)?|2x+1|<5,即-5<2x+1<5,解得:-3<x<2,即x的取值范圍為(-3,2).【解題策略】1.奇偶性與單調性的關系(1)奇函數在對稱區(qū)間上的單調性相同.(2)偶函數在對稱區(qū)間上的單調性相反.2.奇偶性與單調性的應用(1)奇函數在y軸兩側連續(xù)的區(qū)間上,由f(a),f(b)的關系,利用單調性可直接得到a,b的大小關系.(2)偶函數在y軸兩側連續(xù)的區(qū)間上,由f(a),f(b)的關系,應考慮|a|,|b|的關系.【題組訓練】1.設偶函數f(x)的定義域為R,當x∈[0,+∞)時,f(x)是增函數,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關系是 (

)A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3)【解析】選A.因為函數f(x)為R上的偶函數,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).又當x∈[0,+∞)時,f(x)是增函數,且π>3>2,所以f(π)>f(3)>f(2),故f(π)>f(-3)>f(-2).2.已知函數f(x)是定義在區(qū)間[-2,2]上的偶函數,當x∈[0,2]時,f(x)是減函數,如果不等式f(1-m)<f(m)成立,則實數m的取值范圍是(

)A. B.[1,2]C.(-∞,0) D.(-∞,1)【解析】選A.根據題意,函數f(x)是定義在區(qū)間[-2,2]上的偶函數,當x∈[0,2]時,f(x)是減函數,則f(1-m)<f(m)?解得-1≤m<,則m的取值范圍為【補償訓練】已知函數f(x)在[-5,5]上是偶函數,且在[0,5]上是單調函數,若f(-4)<f(-2),則下列不等式一定成立的是 (

)A.f(-1)<f(3) B.f(2)<f(3)C.f(-3)<f(5) D.f(0)>f(1)【解析】選D.由題意可得,函數f(x)在[-5,0]上也是單調函數,再根據f(-4)<f(-2),可得函數f(x)在[-5,0]上是增函數,故函數f(x)在[0,5]上是減函數,故f(0)>f(1).類型三奇偶性與單調性的綜合應用(數學抽象,邏輯推理)【典例】已知奇函數f(x)=的定義域為R,f(1)=.(1)求實數a,b的值.(2)證明函數f(x)在區(qū)間(-1,1)上為增函數.(3)已知0<t<1,求不等式f(t)+f(t-1)<0的解集.【思路導引】(1)利用奇函數的性質和f(1)求值.(2)利用單調性的定義證明.(3)利用奇偶性轉化不等式,利用單調性解不等式.【解析】(1)根據題意,奇函數f(x)=的定義域為R,則有f(0)==0,則b=0,又由f(1)=,則有f(1)=,解得a=1,則a=1,b=0.(2)由(1)的結論,a=1,b=0,則f(x)=設-1<x1<x2<1,f(x1)-f(x2)

又由-1<x1<x2<1,則x1-x2<0,1-x1x2>0,則f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),則函數f(x)在區(qū)間(-1,1)上為增函數.(3)0<t<1,則-1<t-1<0,f(t)+f(t-1)<0?f(t)<-f(t-1)=f(1-t),又由函數f(x)為奇函數且在區(qū)間(-1,1)上為增函數,則有t<1-t,解得t<,又由0<t<1,則t的取值范圍為【解題策略】奇偶性、單調性的綜合應用利用奇偶性可以求值以及式子、性質的轉化,利用單調性主要解決不等式的轉化,在綜合性題目中要熟悉奇偶性、單調性的應用技巧,熟練應用.【跟蹤訓練】(2020·麗水高一檢測)已知函數f(x)是定義域為R的奇函數,當x>0時,f(x)=x2-2x.

(1)求出函數f(x)在R上的解析式.(2)畫出函數f(x)的圖象,并根據圖象寫出f(x)的單調區(qū)間.(3)求當f(x)=1時的x值.【解析】(1)由于函數f(x)是定義域為R的奇函數,則f(0)=0;當x<0時,-x>0,因為f(x)是奇函數,所以f(-x)=-f(x).所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2