教學設計

課程基本信息課例編號學科數(shù)學年級高二學期上學期課題數(shù)學歸納法（2）教科書書名：普通高中教科書數(shù)學A版選擇性必修2出版社：人民教育出版社出版日期：教學目標教學目標：1.明確數(shù)學歸納法的適用范圍，會正確地使用數(shù)學歸納法.2.通過3類典型的數(shù)學問題的證明，掌握用數(shù)學歸納法證明命題的一般過程，鞏固對數(shù)學歸納法的認識.3.體會數(shù)學歸納法的特殊性，認識到數(shù)學歸納法通過有限歸納無限，實現(xiàn)了從量變到質變的飛躍，感受數(shù)學歸納法的力量與魅力.教學重點：數(shù)學歸納法的應用.教學難點：正確地使用數(shù)學歸納法解決問題.教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動復習導入問題1什么時候需要應用數(shù)學歸納法？師生活動：教師引導學生要學會具體問題具體分析.例如，要證明對任意的正整數(shù)n，等式恒成立，可以直接利用多項式的乘法法則，左邊展開，合并同類項，就能得到右邊.這時，我們就不必應用數(shù)學歸納法了.再如，證明的單調性，用數(shù)學歸納法就難以實現(xiàn).例1證明：.師生活動：教師幫助學生分析這是一個涉及正整數(shù)的命題，要證明n取所有正整數(shù)，這個式子均成立.而數(shù)學歸納法能夠通過有限個步驟的推理，解決無限地問題，證明n取所有正整數(shù)時命題都成立.所以我們可以嘗試著用數(shù)學歸納法來證明一下.教師呈現(xiàn)一個錯誤解法，讓學生發(fā)現(xiàn)錯誤.學生發(fā)現(xiàn)這個解法的錯誤：這里只有第二步，而缺少了第一步，沒有證明n=1的情況.教師提醒學生注意：第一步是后面遞推的出發(fā)點，沒有它，遞推就成為無源之水.所以，我們應該先考慮當n=1時該式是否成立.當n=1時，該式的左邊就，也就.而右邊呢，就，也就.左邊等于右邊，所以n=1時該式成立.教師接著讓學生思考是不是加上第一步以后這個證明就沒問題了.學生發(fā)現(xiàn)這個解法當n=k+1時，有，直接把k給換成k+1.然后就說當n=k+1時也成立.而把k換成k+1的前提是當n=k+1時成立，而這正是我們要證明的結論，不能把它當作已經條件.教師提醒學生明確目標：我們是假設n=k時該式成立，并以此為條件證明n=k+1時該式也成立，從而證明命題的成立具有遞推性.所以，這個式子是需要我們證明的，是我們的目標.那該怎么來去證明呢？我們一定要用上假設.既然假設當n=k時該式成立，那么這個式子就成了已知條件.然后教師讓學生比較一下已知條件和要證明的式子，等號左邊多了一個這一項，那不妨在式子兩邊同時加上，就有.再進行化簡，我們的目標就達成了.說明n=k時該式成立能推出n=k+1時該式也成立，加之k的任意性，我們由這兩個步驟就可知：該式對任何都成立.方法歸納問題2怎樣正確地使用數(shù)學歸納法？師生活動：教師提醒學生注意：首先，一定不要忘了驗證第一步，我們稱這一步為歸納奠基，它為后續(xù)的證明奠定了基礎，是必不可少的.其次，我們的第二步是在第一步基礎上證明命題的成立具有遞推性，這實際上是以邏輯的推理代替了無限的驗證過程。假設P（k）為真，要用上假設，以此為已知條件，證明P（k+1）也為真，要明確“用上假設，遞推才真”.典例剖析例2已知數(shù)列滿足，（），試猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明.師生活動：學生在教師的指導下分析問題：這個數(shù)列，已知首項，又已知反映相鄰兩項關系的遞推公式.我們可以對這個式子稍加變形，把提出來，化為（），這樣我們就能清晰地看出后一項與前一項之間的關系.然后我們由，可得.同理可得，，.歸納一下：每一項的分母就是該項的序號，分子比分母小1.故猜想第n項就等于n分之n-1.().我們把這個式子記作②式.下面用數(shù)學歸納法證明一下這個猜想.第一步，當n=1時，該式左邊，右邊，猜想成立.再來看第二步，假設n=k（）時，該式成立，即，這個式子就可以作為已知條件了，要利用它.而我們此時要證明n=k+1時也成立，即證明，這是我們的目標.教師讓學生思考與之間有什么關系？學生根據(jù)遞推公式，把代入，得出，分子分母同時乘上k，就得出，也就是.這樣就證明了n=k+1時也成立.由這兩個步驟可知，猜想對任何都成立.教師歸納：我們通過“觀察——歸納——猜想——證明”的過程解決了這一問題.追問：把例2中的“”換成“”，其他條件不變，試猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明.師生活動：教師讓感興趣的同學課后思考一下這個問題，并體會初始值的改變對其通項公式繁簡程度的影響.例3設x為正實數(shù)，n為大于1的正整數(shù)，若數(shù)列1，1+x，，…，，…的前n項和為，試比較與n的大小，并用數(shù)學歸納法證明你的結論.師生活動：教師幫助學生分析思路：一種思路是不求和，而直接通過n取特殊值比較與n的大小關系，并作出猜想；另一種思路是先由等比數(shù)列的求和公式求出，再通過n取特殊值比較與n的大小關系，然后做出猜想.學生根據(jù)這兩種思路，分別用兩種方法進行解決.課堂小結問題3通過本節(jié)課，你有哪些收獲？師生活動：學生通過回顧，發(fā)現(xiàn)這節(jié)課學習了數(shù)學歸納法的應用，回答了“什么時候需要應用數(shù)學歸納法”和“怎樣正確地應用數(shù)學歸納法”這兩個問題.教師總結：數(shù)學歸納法是一種特殊的數(shù)學演繹證明方法，用于證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題，應用比較廣泛，并且某些時候是其他