PAGE1PAGE2專題03方程與不等式（五大考點(diǎn)60題）一、填空題1．（2025·江西·中考真題）不等式的解集為【答案】【分析】本題考查解一元一次不等式．根據(jù)一元一次不等式的解法，先移項(xiàng)，再系數(shù)化為，即可求解．【詳解】解：移項(xiàng)，得，系數(shù)化為，得．故答案為：．2．（2025·江西·中考真題）小美家有一輛燃油汽車(chē)和一輛純電汽車(chē)，燃油汽車(chē)耗費(fèi)6000元油費(fèi)行駛的路程與純電汽車(chē)耗費(fèi)1000元電費(fèi)行駛的路程相同，且每百公里的耗油費(fèi)比耗電費(fèi)約多50元，求純電汽車(chē)每百公里的耗電費(fèi)．設(shè)純電汽車(chē)每百公里的耗電費(fèi)為x元，可列分式方程為【答案】【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用．設(shè)純電汽車(chē)每百公里的耗電費(fèi)為x元，由每百公里的耗油費(fèi)為元，根據(jù)“燃油汽車(chē)耗費(fèi)6000元油費(fèi)行駛的路程與純電汽車(chē)耗費(fèi)1000元電費(fèi)行駛的路程相同”列出分式方程即可．【詳解】解：設(shè)純電汽車(chē)每百公里的耗電費(fèi)為x元，由每百公里的耗油費(fèi)為元，根據(jù)題意得，，故答案為：．3．（2022·江西·中考真題）甲、乙兩人在社區(qū)進(jìn)行核酸采樣，甲每小時(shí)比乙每小時(shí)多采樣10人，甲采樣160人所用時(shí)間與乙采樣140人所用時(shí)間相等，甲、乙兩人每小時(shí)分別采樣多少人？設(shè)甲每小時(shí)采樣x人，則可列分式方程為．【答案】【分析】先表示乙每小時(shí)采樣（x-10）人，進(jìn)而得出甲采樣160人和乙采樣140人所用的時(shí)間，再根據(jù)時(shí)間相等列出方程即可．【詳解】根據(jù)題意可知乙每小時(shí)采樣（x-10）人，根據(jù)題意，得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列分式方程，確定等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵．4．（2022·江西·中考真題）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是．【答案】1【分析】由一元二次方程根的判別式列方程可得答案．【詳解】解：一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得判別式，∴，解得：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式的含義是解題的關(guān)鍵．5．（2021·江西·中考真題）已知，是一元二次方程的兩根，則．【答案】1【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩根，∴，，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，若是方程()的兩根，則，．二、解答題6．（2025·江西·中考真題）系文物考古研究院用復(fù)原的青銅蒸餾器進(jìn)行了蒸餾酒實(shí)驗(yàn)．用復(fù)原的青銅蒸餾器蒸餾糧食酒和芋頭酒，需要的原材料與出酒率（）如下表：類別原材料出酒率糧食酒糧食糟醅（含大米、糯米、谷殼、大曲和蒸餾水30%芋頭酒芋頭糟醅（含芋頭、小曲和蒸餾水）20%如果第一次實(shí)驗(yàn)分別蒸餾出糧食酒和芋頭酒共16公斤；第二次實(shí)驗(yàn)分別蒸餾出糧食酒和芋頭酒共36公斤，且所用的糧食糟醅量是第一次的2倍，芋頭糟醅量是第一次的3倍．(1)求第一次實(shí)驗(yàn)分別用了多少公斤糧食糟醅和芋頭糟醅？(2)受限于當(dāng)時(shí)的生產(chǎn)條件，古代青銅裝餾器的出酒量約為現(xiàn)代復(fù)原品的80%．若糧食糟醅中大米占比約為，請(qǐng)問(wèn)，在古代要想蒸餾出這兩次實(shí)驗(yàn)得到的糧食酒總量，需要準(zhǔn)備多少公斤大米？【答案】(1)第一次實(shí)驗(yàn)用糧食糟醅和芋頭糟醅的質(zhì)量分別是40、20公斤．(2)需要準(zhǔn)備公斤大米．【分析】本題主要考查了二元一次方程組、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，審清題意、正確列出方程組和方程是解題的關(guān)鍵．（1）第一次實(shí)驗(yàn)用糧食糟醅和芋頭糟醅的質(zhì)量分別是x、y公斤，則第一次實(shí)驗(yàn)用糧食糟醅和芋頭糟醅的質(zhì)量分別是公斤，然后根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；（2）先求出兩次得到糧食酒的總質(zhì)量，設(shè)需要準(zhǔn)備z公斤大米，則糧食糟醅的質(zhì)量為，再根據(jù)題意列一元一次方程求解即可．【詳解】（1）解：第一次實(shí)驗(yàn)用糧食糟醅和芋頭糟醅的質(zhì)量分別是x、y公斤，則第一次實(shí)驗(yàn)用糧食糟醅和芋頭糟醅的質(zhì)量分別是公斤，由題意可得：，解得：．答：第一次實(shí)驗(yàn)用糧食糟醅和芋頭糟醅的質(zhì)量分別是40、20公斤．（2）解：兩次實(shí)驗(yàn)得到的糧食酒總量為公斤，設(shè)需要準(zhǔn)備z公斤大米，則糧食糟醅的質(zhì)量為，由題意可得：，解得：千克．答：需要準(zhǔn)備公斤大米．7．（2024·江西·中考真題）如圖，書(shū)架寬，在該書(shū)架上按圖示方式擺放數(shù)學(xué)書(shū)和語(yǔ)文書(shū)，已知每本數(shù)學(xué)書(shū)厚，每本語(yǔ)文書(shū)厚．(1)數(shù)學(xué)書(shū)和語(yǔ)文書(shū)共90本恰好擺滿該書(shū)架，求書(shū)架上數(shù)學(xué)書(shū)和語(yǔ)文書(shū)各多少本；(2)如果書(shū)架上已擺放10本語(yǔ)文書(shū)，那么數(shù)學(xué)書(shū)最多還可以擺多少本？【答案】(1)書(shū)架上有數(shù)學(xué)書(shū)60本，語(yǔ)文書(shū)30本．(2)數(shù)學(xué)書(shū)最多還可以擺90本【分析】本題主要考查了一元一次方程及不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，列出方程．（1）首先設(shè)這層書(shū)架上數(shù)學(xué)書(shū)有本，則語(yǔ)文書(shū)有本，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：本數(shù)學(xué)書(shū)的厚度本語(yǔ)文書(shū)的厚度，根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解即可；（2）設(shè)數(shù)學(xué)書(shū)還可以擺m本，根據(jù)題意列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)書(shū)架上數(shù)學(xué)書(shū)有本，由題意得：，解得：，．∴書(shū)架上有數(shù)學(xué)書(shū)60本，語(yǔ)文書(shū)30本．（2）設(shè)數(shù)學(xué)書(shū)還可以擺m本，根據(jù)題意得：，解得：，∴數(shù)學(xué)書(shū)最多還可以擺90本．8．（2023·江西·中考真題）今年植樹(shù)節(jié)，某班同學(xué)共同種植一批樹(shù)苗，如果每人種3棵，則剩余20棵；如果每人種4棵，則還缺25棵．(1)求該班的學(xué)生人數(shù)；(2)這批樹(shù)苗只有甲、乙兩種，其中甲樹(shù)苗每棵30元，乙樹(shù)苗每棵40元．購(gòu)買(mǎi)這批樹(shù)苗的總費(fèi)用沒(méi)有超過(guò)5400元，請(qǐng)問(wèn)至少購(gòu)買(mǎi)了甲樹(shù)苗多少棵？【答案】(1)該班的學(xué)生人數(shù)為45人(2)至少購(gòu)買(mǎi)了甲樹(shù)苗80棵【分析】（1）設(shè)該班的學(xué)生人數(shù)為x人，根據(jù)兩種方案下樹(shù)苗的總數(shù)不變列出方程求解即可；（2）根據(jù)（1）所求求出樹(shù)苗的總數(shù)為155棵，設(shè)購(gòu)買(mǎi)了甲樹(shù)苗m棵，則購(gòu)買(mǎi)了乙樹(shù)苗棵樹(shù)苗，再根據(jù)總費(fèi)用不超過(guò)5400元列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)該班的學(xué)生人數(shù)為x人，由題意得，，解得，∴該班的學(xué)生人數(shù)為45人；（2）解：由（1）得一共購(gòu)買(mǎi)了棵樹(shù)苗，設(shè)購(gòu)買(mǎi)了甲樹(shù)苗m棵，則購(gòu)買(mǎi)了乙樹(shù)苗棵樹(shù)苗，由題意得，，解得，∴m得最小值為80，∴至少購(gòu)買(mǎi)了甲樹(shù)苗80棵，答：至少購(gòu)買(mǎi)了甲樹(shù)苗80棵．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程，找到不等關(guān)系列出不等式是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江西·中考真題）（1）計(jì)算：；（2）解不等式組：【答案】（1）3；（2）1＜x＜3【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，算術(shù)平方根的意義，零指數(shù)冪的意義解答即可；（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】（1）原式=2+2-1，=3．（2）解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x＞1，∴不等式組的解集為：1＜x＜3．【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算和解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．10．（2021·江西·中考真題）甲，乙兩人去市場(chǎng)采購(gòu)相同價(jià)格的同一種商品，甲用2400元購(gòu)買(mǎi)的商品數(shù)量比乙用3000元購(gòu)買(mǎi)的商品數(shù)量少10件．（1）求這種商品的單價(jià)；（2）甲，乙兩人第二次再去采購(gòu)該商品時(shí)，單價(jià)比上次少了20元/件，甲購(gòu)買(mǎi)商品的總價(jià)與上次相同，乙購(gòu)買(mǎi)商品的數(shù)量與上次相同，則甲兩次購(gòu)買(mǎi)這種商品的平均單價(jià)是______元/件，乙兩次購(gòu)買(mǎi)這種商品的平均單價(jià)是______元/件．（3）生活中，無(wú)論油價(jià)如何變化，有人總按相同金額加油，有人總按相同油量加油，結(jié)合（2）的計(jì)算結(jié)果，建議按相同______加油更合算（填“金額”或“油量”）．【答案】（1）這種商品的單價(jià)為60元/件；（2）48,50；（3）金額【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)這種商品的單價(jià)為元/件，通過(guò)甲乙之間購(gòu)買(mǎi)的商品數(shù)量間的數(shù)量關(guān)系列分式方程進(jìn)行求解即可；（2）利用兩次購(gòu)買(mǎi)總價(jià)÷兩次購(gòu)買(mǎi)總數(shù)量=平均單價(jià)，列式分別求出甲乙兩次購(gòu)買(mǎi)的平均單價(jià)即可；（3）對(duì)比（2）中的計(jì)算數(shù)據(jù)總結(jié)即可得解．【詳解】（1）設(shè)這種商品的單價(jià)為元/件，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原分式方程的解，則這種商品的單價(jià)為60元/件；（2）甲，乙兩人第二次再去采購(gòu)該商品時(shí)，單價(jià)為元/件，∵甲兩次購(gòu)買(mǎi)總價(jià)為元，購(gòu)買(mǎi)總數(shù)量為件，∴甲兩次購(gòu)買(mǎi)這種商品的平均單價(jià)是元/件；∵乙兩次購(gòu)買(mǎi)總價(jià)為元，購(gòu)買(mǎi)總數(shù)量為件，∴乙兩次購(gòu)買(mǎi)這種商品的平均單價(jià)是元/件；故答案為：48,50；（3）∵，∴按照甲兩次購(gòu)買(mǎi)商品的總價(jià)相同的情況下更合算，∴建議按相同金額加油更合算，故答案為：金額．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，通過(guò)題目找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，利用總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)的基本等量關(guān)系式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．11．（2021·江西·中考真題）解不等式組：，并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】，數(shù)軸見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意，先對(duì)不等式組進(jìn)行求解，然后將其解集在數(shù)軸上表示即可．【詳解】根據(jù)題意，令為①式，為②式解：由①式得，由②式得則原不等式組的解集為：．解集在數(shù)軸上表示如下：【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式組的求解，熟練掌握不等式組的解法并將其解集在數(shù)軸上進(jìn)行表示是解決本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)01：一元一次方程12．（2025·江西九江·二模）小亮利用杠桿原理（動(dòng)力動(dòng)力臂=阻力阻力臂）制作了如圖所示的天平（杠桿、托盤(pán)質(zhì)量忽略不計(jì)），然后用它來(lái)稱取物品質(zhì)量．如圖1，當(dāng)天平左盤(pán)放置質(zhì)量為的物品，右盤(pán)中放置砝碼時(shí)，天平平衡．如圖2，將某物品放在右盤(pán)后，左盤(pán)放置砝碼，才可使天平再次平衡，則該物品的質(zhì)量是g．【答案】40【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，找出等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)該藥品質(zhì)量為x克，根據(jù)“動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂”得，根據(jù)題意列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)該藥品質(zhì)量為x克，由題意可得：解得．故答案為：．13．（2025·江西撫州·二模）2025年第九屆亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)在哈爾濱召開(kāi)．吉祥物“濱濱”和“妮妮”玩偶熱銷．某商場(chǎng)現(xiàn)購(gòu)進(jìn)“濱濱”和“妮妮”玩偶共300個(gè)，已知一個(gè)“濱濱”25元，一個(gè)“妮妮”20元，共花去6750元．求購(gòu)進(jìn)“濱濱”和“妮妮”各多少個(gè)？若設(shè)購(gòu)進(jìn)“濱濱”x個(gè)，則可列方程為．【答案】【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)購(gòu)進(jìn)“濱濱”x個(gè)，根據(jù)“商場(chǎng)現(xiàn)購(gòu)進(jìn)“濱濱”和“妮妮”玩偶共300個(gè)，已知一個(gè)“濱濱”25元，一個(gè)“妮妮”20元，共花去6750元”，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)購(gòu)進(jìn)“濱濱”x個(gè)，根據(jù)題意得：，故答案為：．14．（2025·江西吉安·一模）《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)典籍，其中有一道題的大意為：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺．問(wèn)木長(zhǎng)多少尺？設(shè)木長(zhǎng)為x尺，則繩子長(zhǎng)尺，則可以列出方程為．【答案】【分析】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，根據(jù)“長(zhǎng)木長(zhǎng)繩長(zhǎng)的一半尺”列方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，故答案為：．考點(diǎn)02：二元一次方程組15．（2025·江西·二模）小亮媽媽逛超市時(shí)看中一套碗，她將碗疊成一列（如圖），測(cè)量后發(fā)現(xiàn)：用3個(gè)碗疊放時(shí)，總高度為；用5個(gè)碗疊放時(shí)，總高度為．若將10個(gè)碗疊成一列能放入消毒柜，則這個(gè)消毒柜的內(nèi)置高度至少有．【答案】【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用．設(shè)一個(gè)碗的高度為，增加一個(gè)碗高度增加，根據(jù)題意列方程組求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：設(shè)一個(gè)碗的高度為，增加一個(gè)碗高度增加，根據(jù)題意得：，解得：．則10個(gè)碗放在一起時(shí)，它的高度為．故答案為：．16．（2025·江西贛州·二模）某港口碼頭使用A，兩種型號(hào)的機(jī)器人搬運(yùn)貨物．在內(nèi)，3臺(tái)A型機(jī)器人和2臺(tái)型機(jī)器人共搬運(yùn)貨物，且每臺(tái)型機(jī)器人比型機(jī)器人多搬運(yùn)貨物，每臺(tái)A型機(jī)器人和每臺(tái)型機(jī)器人24h的搬運(yùn)量分別是多少？【答案】每臺(tái)A型機(jī)器人的搬運(yùn)量是，每臺(tái)型機(jī)器人的搬運(yùn)量是【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，申請(qǐng)題意、正確列出二元一次方程組成為解題的關(guān)鍵．設(shè)每臺(tái)A型機(jī)器人的搬運(yùn)量是，每臺(tái)型機(jī)器人的搬運(yùn)量是，然后根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)每臺(tái)A型機(jī)器人的搬運(yùn)量是，每臺(tái)型機(jī)器人的搬運(yùn)量是，根據(jù)題意得，解得：，答：每臺(tái)A型機(jī)器人的搬運(yùn)量是，每臺(tái)型機(jī)器人的搬運(yùn)量是．17．（2025·江西新余·三模）江西省居民用電采取階梯電價(jià)的方式收費(fèi)，分檔標(biāo)準(zhǔn)如圖所示．已知小明家在2023年用電總量為2760千瓦時(shí)，交納電費(fèi)1686元；小華家在2023年用電總量為3160千瓦時(shí)，交納電費(fèi)1946元．分檔年電量水平（千瓦時(shí)/戶）第一檔第二檔（含4200）第三檔(1)求第一檔與第二檔用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)；(2)若小華家在2024年用電總量為4100千瓦時(shí)，求小華家2024年應(yīng)交納的電費(fèi)總額．【答案】(1)第一檔用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為元/千瓦時(shí)，第二檔用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為元/千瓦時(shí)(2)小華家2024年應(yīng)交納的電費(fèi)總額為2557元【分析】本題主要考查二元一次方程組的運(yùn)用，理解數(shù)量關(guān)系，正確列式求解是關(guān)鍵．（1）設(shè)第一檔用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為元/千瓦時(shí)，第二檔用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為元千瓦時(shí)，由此列二元一次方程組求解即可；（2）根據(jù)階段收費(fèi)的計(jì)算方法即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)第一檔用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為元/千瓦時(shí)，第二檔用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為元千瓦時(shí)，則，解得，答：第一檔用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為0.6元/千瓦時(shí)，第二檔用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為0.65元/千瓦時(shí)；（2）解：（元），答：小華家2024年應(yīng)交納的電費(fèi)總額為2557元．18．（2025·江西宜春·二模）（1）計(jì)算：．（2）解方程組：．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查零次冪，解二元一次方程組，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方，零次冪，絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）利用代入消元法求解即可．【詳解】（1）解：；（2），由②得③，將③代入①，得出：，解得，將代入③，得：，∴方程組的解為：．19．（2025·江西上饒·一模）清明果是上饒的特色美食之一．某美食商鋪推出了蘿卜餡清明果和肉餡清明果．下表列出了小李、小藝在該美食商鋪的購(gòu)買(mǎi)數(shù)量（單位：個(gè)）和付款金額（單位：元）．蘿卜餡清明果／個(gè)肉餡清明果／個(gè)付款金額／元小李401085小藝202080根據(jù)上表，求蘿卜餡清明果和肉餡清明果的單價(jià)．【答案】蘿卜餡清明果的單價(jià)是1.5元，肉餡清明果的單價(jià)是2.5元．【分析】本題考查二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量正確列出方程組．設(shè)蘿卜餡清明果的單價(jià)是元，肉餡清明果的單價(jià)是元，根據(jù)表格信息可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；【詳解】（1）解：設(shè)蘿卜餡清明果的單價(jià)是元，肉餡清明果的單價(jià)是元，根據(jù)題意，得，解得，答：蘿卜餡清明果的單價(jià)是1.5元，肉餡清明果的單價(jià)是2.5元．20．（2025·江西新余·一模）（1）計(jì)算：；（2）解方程組：．【答案】（1）2；（2）【分析】此題考查了解二元一次方程組，以及絕對(duì)值和零指數(shù)冪．（1）原式先計(jì)算絕對(duì)值和零指數(shù)冪，再算減法即可；（2）方程組利用加減消元法求出解即可．【詳解】解：（1）；（2），①+②得：，解得：，把2代入②得：，則方程組的解為．考點(diǎn)03：一元二次方程21．（2025·江西新余·二模）已知α，β是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果是方程的兩根，那么，．直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出，再整體代入計(jì)算求解即可．【詳解】解：是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，∴．故選：C．22．（2025·江西吉安·一模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的最小整數(shù)的值是（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】本題主要考查根的判別式，掌握根的判別式與根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)根的判別式求出的取值范圍，然后從中找到最小整數(shù)即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得，∴滿足條件的最小整數(shù)的值是，故選：D．23．（2025·江西撫州·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之積為正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了解不等式，一元二次方程的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合題意，得出，再代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【詳解】解：記關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，∵關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之積為正數(shù)，∴，即，，∴，故答案為：．24．（2025·江西吉安·一模）已知一元二次方程的兩個(gè)根分別為和，則．【答案】5【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握關(guān)于x的一元二次方程有兩根為和，則，．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個(gè)根分別為和，∴故答案為：5．25．（2025·江西上饒·一模）若a，b是一元二次方程的兩根，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得出，然后對(duì)進(jìn)行變形后整體代入即可解答．掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個(gè)根，∴，∴．故答案為：．26．（2025·江西宜春·一模）已知是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，則另外一個(gè)根的值是．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于一元二次方程，若是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得方程的另一個(gè)根的值為，故答案為：．27．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．由，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，，然后代入求值即可．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，故答案為：．28．（2025·江西九江·三模）解下列方程：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用因式分解法解方程即可；（2）先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴或，解得；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴或，解得．29．（2025·江西上饒·三模）（1）計(jì)算：；（2）解方程．【答案】（1）；（2），【分析】（1）根據(jù)計(jì)算即可；（2）利用因式分解法解答即可．【詳解】（1）解：；（2）解：，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，二次根式的化簡(jiǎn)，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，解方程，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)，解方程是解題的關(guān)鍵．30．（2025·江西撫州·一模）2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)順利閉幕，吉祥物“弗里熱”深受奧運(yùn)迷的喜愛(ài)，一商場(chǎng)以20元的進(jìn)價(jià)進(jìn)一批“弗里熱”紀(jì)念品，以40元每個(gè)的價(jià)格售出，每周可以賣(mài)出500個(gè)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，價(jià)格每漲1元，就少賣(mài)10個(gè)(1)設(shè)每件商品售價(jià)為x元時(shí)，則每件商品的利潤(rùn)為_(kāi)_____元，此時(shí)每周可以賣(mài)出______個(gè)；(2)若商場(chǎng)計(jì)劃一周的利潤(rùn)達(dá)到12000元，并且更大優(yōu)惠讓利消費(fèi)者，售價(jià)應(yīng)定為多少錢(qián)？【答案】(1)(2)售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)50元【分析】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用；（1）每個(gè)利潤(rùn)為售價(jià)減進(jìn)價(jià)元，根據(jù)“價(jià)格每漲元，就少賣(mài)個(gè)”求銷量即可；（2）利用總利潤(rùn)為每件商品的利潤(rùn)乘以銷售量，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)每件商品售價(jià)為元時(shí)，則每件商品的利潤(rùn)為元，∵價(jià)格每漲元，就少賣(mài)個(gè)，∴每周可以賣(mài)出個(gè)數(shù)為，故答案為：；（2）解：由題意得：整理得：解得：，∵更大優(yōu)惠讓利消費(fèi)者，，答：售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)元．考點(diǎn)04：分式方程31．（2025·江西撫州·一模）在物理學(xué)中，物質(zhì)的密度等于物體的質(zhì)量m與它的體積V之比，即．已知兩個(gè)物體的密度之比為，當(dāng)物體A的質(zhì)量是，物體B的質(zhì)量是時(shí)，物體B的體積比物體A的體積?。绻O(shè)物體A的體積是，那么根據(jù)題意列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；因此此題可根據(jù)題意直接進(jìn)行求解【詳解】解：設(shè)物體A的體積是，則物體B的體積是，根據(jù)題意，得．故選D．32．（2025·江西撫州·一模）以下是小張同學(xué)解分式方程的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解：．第一步．第二步．第三步經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根．第四步任務(wù)一：填空：以上解方程的過(guò)程中，第___________步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；任務(wù)二：請(qǐng)你幫他寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【答案】任務(wù)一：一；任務(wù)二：無(wú)解【分析】本題主要考查了求解分式方程，掌握解分式方程的基本步驟是解答本題的關(guān)鍵．任務(wù)一：根據(jù)解分式方程的方法進(jìn)行判斷即可；任務(wù)二：先去分母，變分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：任務(wù)一：第一步去分母時(shí)，常數(shù)項(xiàng)沒(méi)有乘以，因此第一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；任務(wù)二：解：，方程兩邊同乘以，得解得，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，∴不是原方程的根，∴原方程無(wú)解．33．（2025·江西新余·三模）下面是小軒學(xué)習(xí)“分式方程的應(yīng)用”后所作的學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并解答相應(yīng)的問(wèn)題．題目，某校準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種圖書(shū)，甲種圖書(shū)的單價(jià)比乙種圖書(shū)的單價(jià)多20元，用2000元購(gòu)買(mǎi)甲種圖書(shū)和用1200元購(gòu)買(mǎi)乙種圖書(shū)的數(shù)量相同．問(wèn)甲、乙兩種圖書(shū)的單價(jià)各是多少元？方法分析問(wèn)題列出方程解法一設(shè)……，等量關(guān)系：甲圖書(shū)數(shù)量乙圖書(shū)數(shù)量解法二設(shè)……，等量關(guān)系：甲圖書(shū)單價(jià)乙圖書(shū)單價(jià)20(1)解法一所列方程中的x表示______，解法二所列方程中的x表示______．（填序號(hào)）①甲種圖書(shū)的單價(jià)；②乙種圖書(shū)的單價(jià)；③甲種圖書(shū)購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量．(2)請(qǐng)選擇一種解法，求出甲、乙兩種圖書(shū)的單價(jià)．(3)若該校用不超過(guò)2500元錢(qián)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種圖書(shū)共60本，求甲種圖書(shū)最多能購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量．【答案】(1)①；③(2)50元，30元(3)甲種圖書(shū)最多能購(gòu)買(mǎi)35本．【分析】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，分式方程的解法，一元一次不等式的應(yīng)用．（1）根據(jù)等量關(guān)系中代數(shù)式的含義可得答案；（2）分別選擇兩個(gè)方程求解即可得到答案；（3）設(shè)甲種圖書(shū)購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量為本，則乙種圖書(shū)購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量為本，該校用不超過(guò)2500元錢(qián)的資金購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種圖書(shū)，求解的范圍，可得答案．【詳解】（1）解：由甲商品數(shù)量乙商品數(shù)量，可得：中的x表示甲種商品每件進(jìn)價(jià)x元，由甲商品進(jìn)價(jià)乙商品進(jìn)價(jià)可得：中的x表示甲種商品購(gòu)進(jìn)x件；故答案為：①，③；（2）解：解法一：，方程兩邊同乘，得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意，∴，答：甲、乙兩種圖書(shū)的單價(jià)分別為50元、30元；解法二：，方程兩邊同乘，得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意，∴，答：甲、乙兩種圖書(shū)的單價(jià)分別為50元、30元；（3）解：設(shè)甲種圖書(shū)購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量為本，則乙種圖書(shū)購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量為本，根據(jù)題意得，解得答：甲種圖書(shū)最多能購(gòu)買(mǎi)35本．34．（2025·江西南昌·二模）為迎接端午節(jié)水果銷售旺季，某商家計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷售，若用1000元購(gòu)買(mǎi)甲種水果的重量比用1800元購(gòu)買(mǎi)乙種水果多10千克，且乙種水果每千克的進(jìn)價(jià)是甲種水果進(jìn)價(jià)的2倍．(1)求甲、乙兩種水果的進(jìn)價(jià)分別是多少；(2)若甲種水果的售價(jià)為14元/千克，乙種水果的售價(jià)為26元/千克，該商家購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果共500千克，要使總銷售利潤(rùn)不低于2400元，則甲種水果最多購(gòu)進(jìn)多少千克?【答案】(1)甲種水果的進(jìn)價(jià)為10元/千克，乙種水果的進(jìn)價(jià)為20元/千克(2)300千克【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是總價(jià)與單價(jià)和數(shù)量的關(guān)系列出相應(yīng)的分式方程，利用總利潤(rùn)與每千克利潤(rùn)和千克數(shù)的關(guān)系列不等式，是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)甲種水果的進(jìn)價(jià)為x元/千克，根據(jù)1000元購(gòu)買(mǎi)甲種水果的重量比用1800元購(gòu)買(mǎi)乙種水果多10千克，列出分式方程，即可求出甲、乙兩種水果的單價(jià)分別是多少元；（2）設(shè)甲種水果購(gòu)進(jìn)a千克，根據(jù)甲種水果的售價(jià)為14元/千克，乙種水果的售價(jià)為26元/千克，該商家購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果共500千克，要使總銷售利潤(rùn)不低于2400元，列不等式即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)甲種水果的進(jìn)價(jià)為x元/千克．解得．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．所以，原分式方程的解為．則．答：甲種水果的進(jìn)價(jià)為10元/千克，乙種水果的進(jìn)價(jià)為20元/千克．（2）設(shè)甲種水果購(gòu)進(jìn)a千克．解得：．答：甲種水果最多購(gòu)進(jìn)300千克．35．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，書(shū)架寬，在該書(shū)架上按圖示方式擺放數(shù)學(xué)書(shū)和語(yǔ)文書(shū)，已知每本語(yǔ)文書(shū)的厚度是每本數(shù)學(xué)書(shū)厚度的1.5倍，且厚度和為的數(shù)學(xué)書(shū)比厚度和為的語(yǔ)文書(shū)多30本．(1)求書(shū)架上每本數(shù)學(xué)書(shū)和每本語(yǔ)文書(shū)的厚度；(2)若書(shū)架上已擺放20本語(yǔ)文書(shū)，則最多還可以擺多少本數(shù)學(xué)書(shū)？【答案】(1)每本數(shù)學(xué)書(shū)的厚度為，每本語(yǔ)文書(shū)的厚度為(2)75本數(shù)學(xué)書(shū)【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意，正確列出分式方程和一元一次不等式是解此題的關(guān)鍵．（1）設(shè)每本數(shù)學(xué)書(shū)的厚度為，則每本語(yǔ)文書(shū)的厚度為，根據(jù)題意列出分式方程，解分式方程即可得解；（2）設(shè)還可以擺本數(shù)學(xué)書(shū)，根據(jù)題意列出一元一次不等式，解不等式即可得解．【詳解】（1）解：設(shè)每本數(shù)學(xué)書(shū)的厚度為，則每本語(yǔ)文書(shū)的厚度為，由題意得：．解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解且符合題意，則，答：每本數(shù)學(xué)書(shū)的厚度為，每本語(yǔ)文書(shū)的厚度為．（2）解：設(shè)還可以擺本數(shù)學(xué)書(shū)，由題意得，，解得：答：最多還可以擺75本數(shù)學(xué)書(shū)．考點(diǎn)05：不等式與不等式組36．（2025·江西吉安·一模）若關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有3個(gè)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查不等式組整數(shù)解問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確求出不等式的解．分別解不等式①和不等式②，結(jié)合三個(gè)整數(shù)解直接求解即可得到答案．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式組有解，∴不等式組的解集為：，∵整數(shù)解共有個(gè)，∴故選：B．37．（2025·江西撫州·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在第二象限，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查各象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，解一元一次不等式組．根據(jù)第二象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)為正數(shù)即可列出不等式組，求解即可．【詳解】解：點(diǎn)在第二象限，，解得．故答案為：．38．（2025·江西九江·二模）不等式組的解集是．【答案】【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無(wú)解）”求出不等式組的解集即可．【詳解】解：解不等式，得，解不等式，得，∴不等式組的解集為，故答案為：．39．（2025·江西撫州·一模）不等式組的解集是．【答案】【分析】本題考查解一元一次不等式組，先解出不等式組中的每一個(gè)不等式，再由“同大取大、同小取小，大小小大中間找，大大小小無(wú)解”求不等式組的解集即可得到答案．熟記一元一次不等式組的解法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：，由①得；由②得；原不等式組的解集為，故答案為：．40．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）古巴比倫有這樣一個(gè)有趣的問(wèn)題：“有二田，其一比其二廣五畝．若以其一之十畝予其二，則其二之廣不逾其一之倍，問(wèn)初時(shí)其一田最小幾何？”其大意為：兩塊土地，第一塊面積比第二塊大5畝，若從第一塊取10畝給第二塊，則第二塊面積不超過(guò)第一塊的2倍，問(wèn)最初第一塊土地的最小面積為．【答案】畝【分析】本題考查了一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)第一塊土地面積為x畝，則第二塊面積為畝，根據(jù)從第一塊取10畝給第二塊，則第二塊面積不超過(guò)第一塊的2倍，列出不等式，求解即可．【詳解】解：設(shè)第一塊土地面積為x畝，則第二塊面積為畝，根據(jù)題意：，解得：，則最初第一塊土地的最小面積為畝，故答案為：畝．41．（2025·江西宜春·一模）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的分母不能為零．利用分式的分母不能為零即可解答此題．【詳解】解：根據(jù)代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義得，解得，，故答案為：．42．（2025·江西上饒·一模）不等式的解集為．【答案】【分析】本題考查了解一元一次不等式，先移項(xiàng)再合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1，即可作答．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故答案為：．43．（2025·江西南昌·一模）不等式組的解集是．【答案】【分析】本題主要考查解一元一次不等式組，分別求出每個(gè)不等式的解集，再取它們的公共部分即可得到不等式組的解集．【詳解】解：，解不等式①得，；解不等式②得，；所以，不等式組的解集為：，故答案為：．44．（2025·江西撫州·二模）“一盔一帶，安全行動(dòng)”是全國(guó)公安部門(mén)啟動(dòng)的一項(xiàng)重要安全措施，旨在打造文明城市，提升市民文明素質(zhì)，此行動(dòng)要求電動(dòng)自行車(chē)駕駛者及其乘客必須佩戴安全頭盔，某商場(chǎng)計(jì)劃采購(gòu)一批頭盔以響應(yīng)此倡議．已知購(gòu)進(jìn)3個(gè)A型頭盔和2個(gè)B型頭盔需要225元，購(gòu)進(jìn)2個(gè)A型頭盔和3個(gè)B型頭盔需要245元．(1)購(gòu)進(jìn)1個(gè)A型頭盔和1個(gè)B型頭盔分別需要多少元？(2)如果該商場(chǎng)準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)60個(gè)這兩種型號(hào)的頭盔，總費(fèi)用不超過(guò)2600元，則至少購(gòu)進(jìn)A型頭盔多少個(gè)？【答案】(1)購(gòu)進(jìn)1個(gè)A型頭盔需要37元，購(gòu)進(jìn)1個(gè)B型頭盔需要57元(2)至少購(gòu)進(jìn)A型頭盔41個(gè)【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)1個(gè)A型頭盔需要x元，購(gòu)進(jìn)1個(gè)B型頭盔需要y元，根據(jù)題意即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型頭盔a個(gè)，則購(gòu)進(jìn)B型頭盔個(gè)，由題意可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范圍，再取其中的最小整數(shù)值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)1個(gè)A型頭盔需要x元，購(gòu)進(jìn)1個(gè)B型頭盔需要y元，由題意得解得答：購(gòu)進(jìn)1個(gè)A型頭盔需要37元，購(gòu)進(jìn)1個(gè)B型頭盔需要57元．（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A型頭盔a個(gè)，則購(gòu)進(jìn)B型頭盔個(gè)，由題意得，解得，∴a的最小值為41．答：至少購(gòu)進(jìn)A型頭盔41個(gè)．45．（2025·江西南昌·三模）南昌著名地標(biāo)建筑——滕王閣，在五一期間成為了熱門(mén)的旅游打卡景點(diǎn)．已知滕王閣的門(mén)票價(jià)格為成人票價(jià)50元/人，學(xué)生票價(jià)25元/人，若能完整背誦王勃的《滕王閣序》則可免門(mén)票．某學(xué)校組織1000名師生前往參觀，其中有200人憑借流利背誦《滕王閣序》享受免票優(yōu)惠，最終此次參觀累計(jì)花費(fèi)20250元門(mén)票費(fèi)用．(1)問(wèn)在需要購(gòu)票的師生中，學(xué)生和老師的人數(shù)各有多少？(2)已知能背出《滕王閣序》的老師人數(shù)占所有參觀滕王閣老師人數(shù)的，為控制實(shí)際購(gòu)票費(fèi)用不超過(guò)18000元，在所有老師都要背出《滕王閣序》的前提下，至少還需多少名學(xué)生背出《滕王閣序》？【答案】(1)學(xué)生790人，老師10人(2)70名【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意是解答的關(guān)鍵．（1）設(shè)在需要購(gòu)票的師生中，學(xué)生人數(shù)有x，則老師有人，根據(jù)“此次參觀累計(jì)花費(fèi)20250元門(mén)票費(fèi)用”列方程求解即可；（2）設(shè)還需要y名學(xué)生，“控制實(shí)際購(gòu)票費(fèi)用不超過(guò)18000元”列不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)在需要購(gòu)票的師生中，學(xué)生人數(shù)有x人，則老師有人，根據(jù)題意，得，解得:，則，∴在需要購(gòu)票的師生中，學(xué)生790人，老師10人；（2）解：設(shè)還需要y名學(xué)生，根據(jù)題意，得，解得答：至少還需70名學(xué)生背出《滕王閣序》．46．（2025·江西撫州·二模）某校舉行了“誦讀紅色家書(shū)講述英烈故事”的演講比賽，并計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A，B兩種獎(jiǎng)品共30個(gè)．已知種獎(jiǎng)品的單價(jià)是20元，種獎(jiǎng)品的單價(jià)是15元．(1)若該校購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品共花費(fèi)510元，求購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品的個(gè)數(shù)；(2)如果學(xué)校購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于種獎(jiǎng)品數(shù)量的．求至少購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品多少個(gè)？【答案】(1)購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品12個(gè)(2)至少購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品9個(gè)【分析】本題考查了一元一次方程，一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是列出相應(yīng)的方程或不等式；（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品個(gè)，然后列出方程進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品個(gè)．根據(jù)題意得列出，進(jìn)行求解，再根據(jù)整數(shù)的概念進(jìn)行取值．【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品個(gè)．根據(jù)題意得，，解得．答：購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品12個(gè)；（2）解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品個(gè)．根據(jù)題意得，，解得．又為正整數(shù)，的最小值為9，答：至少購(gòu)買(mǎi)種獎(jiǎng)品9個(gè)．47．（2025·江西撫州·一模）某花店計(jì)劃在國(guó)慶節(jié)來(lái)臨之前購(gòu)進(jìn)一批康乃馨和百合花，已知購(gòu)買(mǎi)2枝康乃馨和3枝百合共需40元；購(gòu)買(mǎi)3枝康乃馨和1枝百合共需25元．(1)求每枝康乃馨和百合花的價(jià)格分別是多少元？(2)若該花店準(zhǔn)備同時(shí)購(gòu)進(jìn)這兩種花共360枝，并且康乃馨的數(shù)量不多于百合花數(shù)量的2倍，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案，并說(shuō)明理由．【答案】(1)每枝康乃馨5元，每枝百合10元(2)購(gòu)買(mǎi)康乃馨240枝，百合120枝，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用．（1）根據(jù)購(gòu)買(mǎi)2支康乃馨和3支百合共需40元；購(gòu)買(mǎi)3支康乃馨和1支百合共需25元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)題意，先設(shè)出購(gòu)買(mǎi)康乃馨m支，費(fèi)用為w元，即可得到w關(guān)于m的函數(shù)式，再根據(jù)康乃馨的數(shù)量不多于百合花數(shù)量的2倍，可以求得m的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到最省錢(qián)的方案．【詳解】（1）解：設(shè)每枝康乃馨x元，每枝百合y元，根據(jù)題意得：，解得，答：每枝康乃馨5元，每枝百合10元；（2）解：最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案是購(gòu)買(mǎi)康乃馨240枝，百合120枝，理由如下：設(shè)購(gòu)買(mǎi)康乃馨m枝，則購(gòu)買(mǎi)百合枝，費(fèi)用為W元，，，，∵，∴當(dāng)時(shí)，W取得最小值，此時(shí)，即最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案是購(gòu)買(mǎi)購(gòu)買(mǎi)康乃馨240枝，百合120枝．48．（2025·江西新余·二模）某市為響應(yīng)國(guó)家家電補(bǔ)貼政策，推出了購(gòu)買(mǎi)節(jié)能家電的補(bǔ)貼方案．補(bǔ)貼方案具體如下：購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)節(jié)能冰箱可獲得300元補(bǔ)貼，購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)節(jié)能空調(diào)可獲得500元補(bǔ)貼，每戶家庭購(gòu)買(mǎi)節(jié)能家電的總補(bǔ)貼金額不超過(guò)2000元．(1)小明家購(gòu)買(mǎi)了若干臺(tái)節(jié)能冰箱和節(jié)能空調(diào)，共獲得補(bǔ)貼1900元，且小明家購(gòu)買(mǎi)的節(jié)能冰箱比節(jié)能空調(diào)多1臺(tái)，小明家購(gòu)買(mǎi)了節(jié)能冰箱和節(jié)能空調(diào)各多少臺(tái)？(2)如果小明家希望購(gòu)買(mǎi)節(jié)能冰箱和節(jié)能空調(diào)的總臺(tái)數(shù)為6臺(tái)，且總補(bǔ)貼金額不超過(guò)2000元，求小明家最多可以購(gòu)買(mǎi)多少臺(tái)節(jié)能空調(diào)？【答案】(1)小明家購(gòu)買(mǎi)了3臺(tái)節(jié)能冰箱，2臺(tái)節(jié)能空調(diào)(2)小明家最多可以購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)節(jié)能空調(diào)【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出方程組以及不等式為解題關(guān)鍵．（1）設(shè)小明家購(gòu)買(mǎi)了x臺(tái)節(jié)能冰箱，y臺(tái)節(jié)能空調(diào)，根據(jù)小明家購(gòu)買(mǎi)了若干臺(tái)節(jié)能冰箱和節(jié)能空調(diào)，共獲得補(bǔ)貼1900元，且小明家購(gòu)買(mǎi)的節(jié)能冰箱比節(jié)能空調(diào)多1臺(tái)，列出方程組求解即可；（2）設(shè)小明家購(gòu)買(mǎi)了m臺(tái)節(jié)能空調(diào)，則購(gòu)買(mǎi)了臺(tái)節(jié)能冰箱，根據(jù)總補(bǔ)貼金額不超過(guò)2000元，列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)小明家購(gòu)買(mǎi)了x臺(tái)節(jié)能冰箱，y臺(tái)節(jié)能空調(diào)，根據(jù)題意，得解得，答：小明家購(gòu)買(mǎi)了3臺(tái)節(jié)能冰箱，2臺(tái)節(jié)能空調(diào)．（2）設(shè)小明家購(gòu)買(mǎi)了m臺(tái)節(jié)能空調(diào)，則購(gòu)買(mǎi)了臺(tái)節(jié)能冰箱，根據(jù)題意，得，解得．答：小明家最多可以購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)節(jié)能空調(diào)．49．（2025·江西撫州·一模）（1）計(jì)算：（2）解不等式組：【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解一元一次不等式組，掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算零指數(shù)冪，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算加減即可；（2）先分別解不等式組中的兩個(gè)不等式，再確定解集的公共部分即可．【詳解】解：（1）；（2）解不等式①，得，解不等式②，得，原不等式組的解集是．50．（2025·江西吉安·一模）小宇同學(xué)在做練習(xí)時(shí)，有一道不等式組題是這樣的：解不等式組，小宇仿照用解方程組所使用的加減消元法，做了如下的解答：第一步：由，得；第二步：化簡(jiǎn)，得；第三步：原不等式組的解集為．(1)小宇的解法是從第______步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的；(2)請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程，并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】(1)一(2)見(jiàn)詳解【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式的解法和步驟是解題的關(guān)鍵；（1）按照解一元一次不等式組的步驟，即可判斷；（2）先求出兩個(gè)不等式的解集，再求出公共解，進(jìn)而可表示在數(shù)軸上；【詳解】（1）解：小宇的解法是從第一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的，故答案為：一；（2）解：，解①得，解②得，故該不等式組的解集為．51．（2025·江西九江·一模）某工廠生產(chǎn)型號(hào)和型號(hào)兩種扎染圖案掛件，每天只能生產(chǎn)一種型號(hào)的掛件．如果生產(chǎn)2天型號(hào)掛件和3天型號(hào)掛件，一共可以生產(chǎn)2100個(gè)；如果生產(chǎn)1天型號(hào)掛件和2天型號(hào)掛件，一共可以生產(chǎn)1300個(gè)．(1)每天能生產(chǎn)型號(hào)掛件或型號(hào)掛件多少個(gè)？(2)工廠接到一個(gè)旅游節(jié)的訂單，要求用10天時(shí)間至少交付3800個(gè)掛件，在完成訂單任務(wù)的前提下，請(qǐng)問(wèn)至少要安排生產(chǎn)型號(hào)掛件多少天？【答案】(1)每天能生產(chǎn)型號(hào)掛件300個(gè)，或型號(hào)掛件500個(gè)(2)4天【分析】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用；（1）設(shè)該工廠每天能生產(chǎn)型號(hào)掛件個(gè)，或型號(hào)掛件個(gè)．根據(jù)如果生產(chǎn)2天型號(hào)掛件和3天型號(hào)掛件，一共可以生產(chǎn)2100個(gè)；如果生產(chǎn)1天型號(hào)掛件和2天型號(hào)掛件，一共可以生產(chǎn)1300個(gè)，再建立方程組解題即可；（2）設(shè)應(yīng)安排生產(chǎn)型號(hào)掛件天，則生產(chǎn)型號(hào)掛件天．根據(jù)用10天時(shí)間至少交付3800個(gè)掛件，再建立不等式解題即可.【詳解】（1）解：設(shè)該工廠每天能生產(chǎn)型號(hào)掛件個(gè)，或型號(hào)掛件個(gè)．根據(jù)題意，得，解得，答：該工廠每天能生產(chǎn)型號(hào)掛件300個(gè)，或型號(hào)掛件500個(gè)．（2）解：設(shè)應(yīng)安排生產(chǎn)型號(hào)掛件天，則生產(chǎn)型號(hào)掛件天．根據(jù)題意，得，解得．答：至少要安排生產(chǎn)型號(hào)掛件4天．52．（2025·江西九江·一模）（1）計(jì)算：．（2）解不等式組：【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了二次根式的加減，特殊角的三角函數(shù)值，求不等式組的解集．（1）先代入特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再合并同類二次根式即可；（2）先分別求出兩個(gè)不等式的解集，再根據(jù)同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無(wú)解求出不等式組的解集即可．【詳解】解：（1）原式．（2）解不等式①，得，解不等式②，得，不等式組的解集為．53．（2025·江西新余·二模）學(xué)校組織部分師生到某紅色教育基地進(jìn)行研學(xué)活動(dòng)，此次研學(xué)活動(dòng)中，在該基地購(gòu)買(mǎi)門(mén)票的信息如下：信息一門(mén)票類別單價(jià)/元購(gòu)票總額/元學(xué)生票2500成人票2000信息二：購(gòu)買(mǎi)學(xué)生票的數(shù)量是購(gòu)買(mǎi)成人票數(shù)量的2倍．(1)求學(xué)生票和成人票的單價(jià)分別是多少？(2)該學(xué)校決定再次組織50名師生到該基地研學(xué)，若購(gòu)買(mǎi)門(mén)票的費(fèi)用不超過(guò)2800元，求此次研學(xué)活動(dòng)最多能安排多少位老師參加?【答案】(1)學(xué)生票單價(jià)為50元，則成人票單價(jià)為80元；(2)此次研學(xué)活動(dòng)最多能安排位老師．【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用等知識(shí)．（1）由題意得學(xué)生票、成人票單價(jià)分別為元、元，根據(jù)題意找到等量關(guān)系構(gòu)造出分式方程即可解決問(wèn)題．（2）設(shè)此次研學(xué)活動(dòng)安排了位老師，根據(jù)題意找到不等量關(guān)系構(gòu)造出不等式即可解決最值問(wèn)題．【詳解】（1）解：由題意得學(xué)生票、成人票單價(jià)分別為元、元，依題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的根且符合題意，∴答：學(xué)生票單價(jià)為50元，則成人票單價(jià)為80元；（2）解：此次研學(xué)活動(dòng)安排了位老師，則安排了個(gè)學(xué)生，依題意得：，解得：，答：此次研學(xué)活動(dòng)最多能安排位老師．54．（2025·江西吉安·一模）2024年10月30日，神舟十九號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，神舟十九號(hào)航天員乘組順利進(jìn)駐中國(guó)空間站．某航模商店購(gòu)進(jìn)A、兩種航空模型進(jìn)行銷售，已知購(gòu)進(jìn)種航空模型和種航空模型各1個(gè)共65元，購(gòu)進(jìn)A種航空模型2個(gè)和種航空模型1個(gè)共需90元．(1)求A、兩種航空模型進(jìn)價(jià)分別多少元；(2)某商店計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)、兩種航空模型共80個(gè)，若、兩種航空模型的售價(jià)分別是40元和50元，要使獲得的利潤(rùn)不低于1100元，請(qǐng)問(wèn)至少購(gòu)買(mǎi)種航空模型多少個(gè)？【答案】(1)種航空模型進(jìn)價(jià)為25元，種航空模型進(jìn)價(jià)為40元(2)至少購(gòu)買(mǎi)種航空模型60個(gè)【分析】本題考查二元一次方程組與一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程組與不等式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)A種航天飛船模型每件的進(jìn)價(jià)為x元，B種航天飛船模型每件的進(jìn)價(jià)為y元，根據(jù)購(gòu)進(jìn)種航空模型和種航空模型各1個(gè)共65元，購(gòu)進(jìn)A種航空模型2個(gè)和種航空模型1個(gè)共需90元，列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)種航模個(gè)，根據(jù)利潤(rùn)不低于1100元，列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)A種航空模型進(jìn)價(jià)為元/個(gè)，種航空模型進(jìn)價(jià)為元/個(gè)．依題意可得，解得，答：A種航空模型進(jìn)價(jià)為25元，種航空模型進(jìn)價(jià)為40元．（2）解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種航模個(gè)，由題意可得：解得，答：至少購(gòu)買(mǎi)A種航空模型60個(gè)．55．（2025·江西·二模）某商家銷售兩款盲盒．已知購(gòu)進(jìn)4個(gè)款盲盒的費(fèi)用與購(gòu)進(jìn)5個(gè)款盲盒的花費(fèi)相同，每個(gè)款盲盒的進(jìn)價(jià)比每個(gè)款盲盒的進(jìn)價(jià)多20元．(1)每個(gè)款盲盒和每個(gè)款盲盒的進(jìn)價(jià)分別是多少元？(2)根據(jù)網(wǎng)上預(yù)定的情況，該商家計(jì)劃用不超過(guò)17000元的資金購(gòu)進(jìn)A，B兩款盲盒共200個(gè)，求最多可以購(gòu)進(jìn)款盲盒的個(gè)數(shù)．【答案】(1)每個(gè)A款盲盒進(jìn)價(jià)100元，每個(gè)B款盲盒進(jìn)價(jià)80元；(2)最多購(gòu)買(mǎi)A款盲盒50個(gè)．【分析】本題主要考查一元一次方程和一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用．（1）根據(jù)題意，設(shè)每個(gè)B款盲盒的進(jìn)價(jià)是x元，則每個(gè)A款盲盒的進(jìn)價(jià)是元，根據(jù)題意列出一元一次方程即可得到答案；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A款盲盒m個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)B款盲盒個(gè)，根據(jù)題意列出一元一次不等式即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)每個(gè)B款盲盒的進(jìn)價(jià)是x元，則每個(gè)A款盲盒的進(jìn)價(jià)是元．由題意可得，解得，則．即每個(gè)A款盲盒進(jìn)價(jià)100元，每個(gè)B款盲盒進(jìn)價(jià)80元；（2）解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)A款盲盒m個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)B款盲盒個(gè)．，解得，因?yàn)閙為整數(shù)，所以m最大為50，即最多購(gòu)買(mǎi)A款盲盒50個(gè)．56．（2025·江西撫州·一模）騎電動(dòng)車(chē)時(shí)佩戴安全頭盔至關(guān)重要，可以減少意外傷害，某商店銷售進(jìn)價(jià)分別為45元/個(gè)、36元/個(gè)的甲、乙兩種安全頭盔，下表是近兩天的銷售情況：時(shí)間甲頭盔銷量（個(gè)）乙頭盔銷量（個(gè)）銷售金額（元）周一10101150周二8121120(1)求甲、乙兩種頭盔的銷售單價(jià)；(2)甲、乙兩種頭盔共售出60個(gè)，為實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)達(dá)到950元的目標(biāo)，求至少需要賣(mài)多少個(gè)甲頭盔．【答案】(1)甲頭盔的銷售單價(jià)為65元，乙頭盔的銷售單價(jià)為50元(2)至少需要賣(mài)19個(gè)甲頭盔【分析】本題主要考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；（1）設(shè)甲頭盔的銷售單價(jià)為x元，乙頭盔的銷售單價(jià)為y元，由題意可得方程組，進(jìn)而求解即可；（2）設(shè)賣(mài)出m個(gè)甲頭盔，則賣(mài)出了個(gè)乙頭盔，由題意可得，進(jìn)而求解即可【詳解】（1）解：設(shè)甲頭盔的銷售單價(jià)為x元，乙頭盔的銷售單價(jià)為y元．根據(jù)題意得，解得．答：甲頭盔的銷售單價(jià)為65元，乙頭盔的銷售單價(jià)為50元；（2）解：設(shè)賣(mài)出m個(gè)甲頭盔，則